۳- دایره و تقارن نمودارها

در جلسه قبل با رسم نمودار آشنا شدیم. در اینجا معادله و رسم دایره و تقارن نمودارها را بررسی میکنیم.

۱ا

آنچه گذشت: رسم نمودار و تقاطع نمودار با محورها

اصل بنیادی هندسه تحلیلی: نقطه $(x,~y)$ بر روی نمودار یک معادله قرار دارد اگر و فقط اگر مختصات نقطه در آن معادله صدق کنند.

تکنیک نقطه یابی برای رسم نمودارها: بر اساس این روش، ما تا حد امکان نقاطی را که در معادله صدق می کنند پیدا کرده و آنها را در یک جدول می نویسیم. سپس، این نقاط را در صفحه مختصات یافته و در انتها نقاط را به هم وصل می کنیم. شکل بالا را ببینید.

تعریف: مولفه $x$ نقطه ای که نمودار یک معادله محور $x$ ها را در آن قطع می کند، “تقاطع با محور $x$” می نامند. این نقطه تقاطع را می توان با قرار دادن مقدار $y=0$ در معادله مورد نظر یافت.

تعریف: مولفه $y$ نقطه ای که نمودار یک معادله محور $y$ ها را در آن قطع می کند، “تقاطع با محور $y$ ” می نامند. این نقطه تقاطع را می توان با قرار دادن مقدار $x=0$ در معادله مورد نظر یافت.

دایره و تقارن: دایره

یافتن معادله یک دایره

تاکنون یاد گرفته ایم که چگونه می توان نمودار یک معادله را در صفحه $xy$ رسم کرد. هرچند؛ عکس اینکار را نیز می توان انجام داد. یعنی می توان با داشتن یک نمودار، معادله جبری توصیف کننده آن نمودار را نیز یافت.

البته مجوز اینکار به اصل بنیادی هندسه تحلیلی باز می گردد. ایده این است که اگر بتوان یک نمودار را با یک معادله جبری نشان داد، آنگاه می توان از قوانین جبری برای بررسی آن معادله جبری استفاده کرد.

به عنوان مثالی از این اصل، معادله توصیف کننده یک دایره به مرکز $(h,~k)$ و شعاع $r$ را می یابیم.

بنا به تعریف، دایره مجموعه همه نقاط مانند $ P(x,~y)$ است که از مرکز دایره به مختصات $ C(x,~y)$ به فاصله ثابت $r$ می باشند.

بنابراین، نقطه $P(x,~y)$ روی دایره قرار دارد اگر و فقط اگر $d(P,~C)=r$. به بیان دیگر

$\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}=r~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~~~~(x-h)^{2}+(y-k)^{2} =r^{2}$

که به عنوان فرمول دایره شناخته می شود.

معادله دایره:

معادله دایره ای به شعاع $r$ و مرکز $(h,~k)$ به صورت زیر است:

$ (x-h)^{2}+(y-k)^{2} =r^{2}$

این معادله را شکل استاندارد معادله دایره می نامند. اگر مرکز دایره بر مبدا مختصات منطبق باشد آنگاه معادله دایره به صورت مقابل خواهد بود:

$ x^{2}+y^{2} =r^{2}$

رسم یک دایره با معادله مشخص

سوال: معادله $x^{2}+y^{2}=25$ را رسم کنید.

پاسخ: معادله بالا را به شکل

$x^{2}+y^{2}=5^{2}$

بازنویسی می کنیم. حال با مقایسه این معادله و معادله کلی دایره در می یابیم که این رابطه معادله دایره ای به مرکز مبدا مختصات، یعنی نقطه $(0,~0)$، و شعاع 5 می باشد. چنین دایره ای را در زیر رسم کرده ایم:

سوال: معادله $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25$ را رسم کنید.

پاسخ: معادله بالا را به شکل

$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=5^{2}$

بازنویسی می کنیم. حال با مقایسه این معادله و معادله کلی دایره در می یابیم که این رابطه معادله دایره ای به مرکز $(2,~-1)$ و شعاع 5 می باشد. چنین دایره ای را در زیر رسم کرده ایم:

پیدا کردن معادله دایره رسم شده

سوال: معادله دایره ای به شعاع 3 و مرکز $(2,~-5)$، را بیابید.

پاسخ: با توجه به اطلاعات داده شده و معادله کلی دایره داریم:

$r=3,~~~h=2,~~~k=-5$

بنابراین فرمول دایره داده شده به صورت زیر می باشد:

$(x-2)^{2}+(y+5)^{2}=3^{2}$

شکل زیر را ببینید.

سوال: معادله دایره ای را بیابید که نقاط انتهایی یک قطر آن بر دو نقطه $P(1,~8)$ و $Q(5,~-6)$ منطبق است.

پاسخ: مرکز دایره نقطه میانی پاره خط $PQ$ می باشد:

$\left( \frac{1+5}{2},~ \frac{8-6}{2} \right)=\left(3,~1 \right)$

شکل زیر را ببینید. فاصله مرکز دایره تا نقطه $P$، و یا نقطه $Q$، هم به صورت زیر پیدا می شود:

$r^{2}=(3-1)^{2}+(1-8)^{2}=53$

بنابراین فرمول دایره داده شده به صورت زیر می باشد:

$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=53$

اگر معادله دایره به شکل استاندارد آن نبود؟

فرمول دایره مثال قبل را در نظر بگیرید. اگر این رابطه را بسط دهیم به نتایج زیر می رسیم:

معادله اخیر کاملا هم ارز با معادله صفحه قبل است. حال فرض کنید که چنین معادله ای به ما داده شده و نقطه مرکزی و شعاع دایره از ما خواسته شده است. در این صورت ما باید معادله را به شکل استاندارد آن تبدیل کنیم.

فراموش نکنیم که در شکل استاندارد جملات به شکل مربع کامل هستند. بنابراین برای تبدیل معادله دایره به شکل استاندارد، باید جملات را مربع کامل کنیم.

مربع کامل کردن:

برای اینکه یک دو جمله ای مانند $X^{2}+bX$ را مربع کامل کنیم، باید مربع نصف ضریب $X$، یعنی $(\frac{b}{2})^{2}$ را به دو جمله ای مورد نظر اضافه و کم کنیم. مثلا:

$x^{2}-6x=x^{2}-6x+(\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}=x^{2}-6x+9-9=(x-3)^{2}-9$

$y^{2}-2y=y^{2}-2y+(\frac{2}{2})^{2}-(\frac{2}{2})^{2}=y^{2}-2y+1-1=(y-1)^{2}-1$

پیدا کردن شکل استاندارد معادله یک دایره

پرسش: نشان دهید که رابطه $x^{2}+y^{2}+2x-6y+7=0$ معادله یک دایره می باشد. شعاع و نقطه مرکزی دایره را بیابید.

پاسخ: به روش مربع کامل کردن (یعنی اضافه کردن مربع نصف ضریب $x$ و $y$ به دو طرف معادله) معادله استاندارد دایره را می یابیم:

پس شکل مورد نظر، دایره ای به شعاع $\sqrt{3}$ و مرکز $(-1,~3)$ می باشد.

تاکید: لطفا دقت کنید که مربع نصف ضریب باید به دو طرف معادله اضافه شود و یا در صورتی که در یک طرف قرار می گیرد، باید به آنطرف اضافه و از آن کم شود. در هر حالت، درستی طرفین تساوی نباید به هم بخورد.

دایره و تقارن: تقارن نمودارها

سه تقارن بسیار مهم: تقارن نسبت به محور $\mathbf{y}$

شکل زیر نمودار معادله $y=x^{2}$ را نشان می دهد. توجه کنید که بخشی از نمودار که در سمت چپ محور $y$ ها قرار دارد تصویر آینه ای بخشی است که در سمت راست محور $y$ قرار گرفته است.

دلیل این اتفاق آن است که اگر نقطه $(x,~y)$ بر نمودار قرار گرفته باشد آنگاه نقطه $(-x,~y)$ هم بر نمودار قرار گرفته است:

$y=x^{2}~~~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~~~y=(-x)^{2}$

و این نقاط در واقع به یک فاصله از محور $y$ قرار گرفته اند. به شکل توجه کنید.

تقارن نسبت به محور $y$: می گوییم نمودار نسبت به محور $y$ متقارن است اگر به ازای هر نقطه $(x,~y)$بر روی نمودار، نقطه $(-x,~y)$ هم بر نمودار موجود باشد.

آزمودن نمودار برای تقارن معادله نسبت به محور $y$:

تصویر نمودار نسبت به محور $y$ متقارن است.

آزمودن تقارن معادله نسبت به محور $y$:

پارامتر$x$ را با $-x$ جایگزین کنید. اگر معادله نتیجه شده با معادله اولیه هم ارز بود یعنی معادله نسبت به محور $y$ تقارن دارد.

سه تقارن بسیار مهم: تقارن نسبت به محور $\mathbf{x}$

تقارن نسبت به محور $x$: می گوییم نمودار نسبت به محور $x$ متقارن است اگر به ازای هر نقطه $(x,~y)$ بر روی نمودار، نقطه $(x,~-y)$ هم بر نمودار موجود باشد.

آزمودن نمودار برای تقارن معادله نسبت به محور $x$:

تصویر نمودار نسبت به محور $x$ متقارن است.

آزمودن تقارن معادله نسبت به محور $x$:

پارامتر $y$ را با $-y$ جایگزین کنید. اگر معادله نتیجه شده با معادله اولیه هم ارز بود یعنی معادله نسبت به محور $x$ تقارن دارد.

مثال: تقارن معادله $x=y^{2}$ را یافته و نمودار را رسم کنید.

پاسخ: اگر جایگذاری $y~ \rightarrow -y$ را در معادله اصلی انجام دهیم، آنگاه داریم $x=(-y)^{2}$، که هم ارز معادله اصلی است. بنابراین، معادله مورد نظر نسبت به محور $x$ تقارن دارد. نمودار معادله نیز، که با نقطه یابی به دست آمده است، همین تقارن را دارد:

سه تقارن بسیار مهم: تقارن نسبت به مبدا مختصات

تقارن نسبت به مبدا مختصات: می گوییم نمودار نسبت به مبدا مختصات، یعنی نقطه $(0,~0)$، متقارن است اگر به ازای هر نقطه $(x,~y)$ بر روی نمودار، نقطه $(-x,~-y)$ هم بر نمودار موجود باشد.

آزمودن نمودار برای تقارن معادله نسبت به مبدا مختصات:

وقتی نمودار را $180^{\circ}$ حول مبدا می چرخانیم، شکل نمودار بدون تغییر باقی می ماند.

آزمودن تقارن معادله نسبت به مبدا مختصات:

پارامتر $x$ را با $-x$ و پارامتر $y$ را با $-y$ جایگزین کنید. اگر معادله نتیجه شده با معادله اولیه هم ارز بود یعنی معادله نسبت به مبدا مختصات تقارن دارد.

مثال: تقارن معادله $y=x^{3}-9x$ را یافته و نمودار را رسم کنید.

پاسخ: اگر جایگذاری $x~\rightarrow -x$ و $y~\rightarrow -y$ را در معادله اصلی انجام دهیم، آنگاه داریم $-y=(-x)^{3}-9(-x)$ و یا $y=x^{3}-9x$، که همان معادله اصلی است. بنابراین، معادله مورد نظر نسبت به مبدا مختصات تقارن دارد. نمودار این معادله در شکل زیر میبینید.:

دایره و تقارن: تقارن های دایره

پرسش: تقارن های معادله دایره $ x^{2} + y^{2} =4$ را بیابید.

پاسخ: معادله این دایره، که مرکز آن در مبدا مختصات قرار دارد، هر سه تقارن نسبت به محور عمودی، محور افقی و مبدا مختصات را داراست:

$(x,~y) \rightarrow (-x,~y) ~~~\Rightarrow~~~~(-x)^{2} + y^{2} =4 ~~~\Rightarrow~~~~ x^{2} + y^{2} =4$

$(x,~y) \rightarrow (x,~-y) ~~~\Rightarrow~~~~x^{2} + (-y)^{2} =4 ~~~\Rightarrow~~~~ x^{2} + y^{2} =4 $

$(x,~y) \rightarrow (-x,~-y) ~~~\Rightarrow~~~~(-x)^{2} + (-y)^{2} =4 ~~~\Rightarrow~~~~ x^{2} + y^{2} =4 $

یعنی با هر سه تبدیل به معادله اولیه می رسیم. پس دایره هر سه تقارن اصلی در صفحه مختصات را دارد. شکل زیر را ببینید:

نکات مهم درس دایره و تقارن نمودارها

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی دایره و تقارن نمودارها را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

عکس اصل بنیادی هندسه تحلیلی را بیان کنید.
معادله دایره ای به مرکز $(h,~k)$ و شعاع $r$ را بنویسید. این معادله چگونه به دست می آید.
معادله دایره ای به مرکز مبدا مختصات و شعاع $r$ را بنویسید.
روش مربع کامل کردن را توضیح دهید.
اگر معادله دایره به شکل استاندارد آن نبود، چطور می توان معادله مورد نظر را به شکل استاندارد تبدیل کرد.
تقارن یک نمودار نسبت به محور $y$ به چه معنی است؟
چه وقت می گوییم که معادله ای نسبت به محور $y$ متقارن است؟
تقارن یک نمودار نسبت به محور $x$ به چه معنی است؟
چه وقت می گوییم که معادله ای نسبت به محور $x$ متقارن است؟
تقارن یک نمودار نسبت به مبدا مختصات به چه معنی است؟
چه وقت می گوییم که معادله ای نسبت به مبدا مختصات متقارن است؟
تمام تقارن های یک دایره که مرکز آن بر مبدا مختصات منطبق است را بنویسید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.