۹. تبدیل توابع — بخش اول
در درس قبل با مفهوم تابع خطی آشنا شدیم. در این درس بخش اول از موضوع تبدیل توابع را مشاهده خواهید کرد.
م
آنچه گذشت: تابع خطی
- تابع خطی تابعی است که به شکل کلی $f(x)=ax+b$ می باشد. بنابراین، متغیر مستقل در تابع خطی حداکثر از درجه اول خواهد بود.
- برای یک تابع خطی به شکل $f(x)=ax+b$، شیب نمودار $f $ برابر است با آهنگ تغییر در تابع $f $ و هر دو برابر مقدار $ a $، یعنی ضریب $x $، هستند.
- آهنگ متوسط تغییر $= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=$ شیب خط
- اختلاف در “شیب خط” و “آهنگ متوسط تغییر” عملا به نقطه نظر ما برمی گردد. مثلا وقتی درباره تغییر در میزان آب موجود در یک مخزن صحبت می کنیم (این میزان آب معمولا بر حسب ارتفاع آب اندازه گرفته می شود) طبیعی است که از آهنگ تغییر در تراز آب صحبت کنیم. ولی وقتی نموداری رسم کرده و مشغول بررسی تغییرات در آن هستیم، طبیعی است که درباره شیب نمودار صحبت کنیم. این دو عملا یکی هستند؛ ولی در موقعیت های مختلف معمولا یکی را به دیگری ترجیح می دهیم.
- وقتی از یک مدل خطی برای مدل سازی رابطه بین دو کمیت استفاده می کنیم، شیب نمودار تابع برابر است با آهنگ تغییر در یکی از کمیت ها نسبت به کمیت دیگر.
موضوع امروز این است: اگر شکل کلی تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم، شکل کلی تابع $y=a \times f(bx+c)+d$ چگونه خواهد بود؟
تبدیل توابع: انتقال عمودی
جابجایی عمودی نمودار توابع
در درس امروز یاد میگیریم که چطور برخی تغییرات در توابع باعث تغییر نمودار آنها می شود. بررسی این موضوع باعث می شود که درک قوی تری نسبت به نحوه عمل توابع پیدا کنیم.
به تجربه می توان دید که با اضافه کردن یک مقدار ثابت به توابع، نمودار آنها به صورت عمودی جابجا می شود: اگر ثابت مورد نظر مثبت باشد نمودار به سمت بالا منتقل می شود و اگر منفی باشد نمودار به سمت پایین جابجا می شود. از جدول مقادیر تابع نیز همین مطلب درک می شود.
فرض کنید نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم. سوال این است که اگر پارامتر $c$ مثبت باشد، یعنی $c>0$، چطور می توانیم نمودار توابع $y=f(x)+c$ و $y=f(x)-c$ را رسم کنیم.
پاسخ این است که مولفه $y $ در هر نقطه از تابع $y=f(x)+c$ به اندازه $ c$ واحد بالاتر از نقطه متناظر در تابع $y=f(x) $ خواهد بود. پس تابع $y=f(x)+c$ باید به اندازه $ c$ واحد بالاتر از تابع $y=f(x) $ باشد. به همین ترتیب، تابع $y=f(x)-c$ نیز باید به سمت پایین منتقل شود.
پس به نتیجه کلی زیر برای انتقال عمودی (Vertical shifting) توابع می رسیم.
فرض کنید $ c>0 $ آنگاه
- برای رسم نمودار $ y=f(x)+c$ ، نمودار تابع $ y=f(x) $ را به اندازه $ c $ واحد به سمت بالا منتقل می کنیم.
- برای رسم نمودار $ y=f(x)-c $ ، نمودار تابع $ f(x) $ را به اندازه $ c$ واحد به سمت پایین منتقل می کنیم.
پرسش: دامنه و برد توابع قبل و بعد از انتقال عمودی چه رابطه ای با هم دارند؟
انتقال عمودی توابع — مثال
از نمودار تابع $f(x)= x^{2}$ استفاده کنید و نمودار توابع $g(x)= x^{2}+3$ و $h(x)= x^{2}-2$ را رسم کنید.
پاسخ: نمودار تابع $f(x)= x^{2}$ را در شکل بالا می بینید. از طرفی ملاحظه می کنیم که می توان نوشت:
$g(x)=x^{2}+3= f(x)+3$
پس مولفه $y $ در هر نقطه از تابع $g(x)$ به اندازه $ 3$ واحد بالاتر از نقطه متناظر در تابع $ f(x) $ خواهد بود. بنابراین، باید نمودار تابع $ f(x) $ را سه واحد به سمت بالا منتقل کنیم تا نمودار تابع $g(x)$ بدست آید.
همچنین می توان نوشت:
$h(x)=x^{2}-2= f(x)-2$
پس مولفه $y $ در هر نقطه از تابع $h(x)$ به اندازه $ 2$ واحد پایین تر از نقطه متناظر در تابع $ f(x) $ خواهد بود. بنابراین، باید نمودار تابع $ f(x) $ را دو واحد به سمت پایین منتقل کنیم تا نمودار تابع $h(x)$ بدست آید.
تبدیل توابع: انتقال افقی
جابجایی افقی نمودار توابع
فرض کنید نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم. سوال این است که اگر پارامتر $c$ مثبت باشد، یعنی $c>0$، چطور می توانیم نمودار توابع $y=f(x+c)$ و $y=f(x-c)$ را رسم کنیم.
به تفاوت این حالت و حالت بخش قبلی، یعنی $ y=f(x)\pm c$ ، دقت کنید!
پاسخ پرسش بالا این است که مقدار $f(x-c) $ برابر است با مقدار تابع $ f(x) $ در نقطه $ x-c $. از آنجا که $ x-c $ به اندازه $ c $ واحد در سمت چپ $ x $ قرار دارد، نتیجه می گیریم که نمودار تابع $f(x-c) $ همان نمودار تابع $ y=f(x) $ است که به اندازه $ c $ به سمت راست جابجا شده است. شکل زیر، سمت چپ را ببینید.
به همین ترتیب می توان استدلال کرد که نمودار تابع $f(x+c) $ همان نمودار تابع $ y=f(x) $ است که به اندازه $ c $ به سمت چپ جابجا شده است.
جابجایی افقی نمودار توابع
پس به نتیجه کلی زیر برای انتقال افقی (Horizontal shifting) توابع می رسیم.
فرض کنید $ c>0 $ آنگاه
- برای رسم نمودار $ y=f(x-c) $ ، نمودار تابع $y=f(x)$ را به اندازه $ c $ واحد به سمت راست منتقل می کنیم.
- برای رسم نمودار $y=f(x+c) $ ، نمودار تابع $y=f(x) $ را به اندازه $ c $ واحد به سمت چپ منتقل می کنیم.
پرسش: دامنه و برد توابع قبل و بعد از انتقال افقی چه رابطه ای با هم دارند؟
انتقال افقی توابع — مثال
مثال 1: از نمودار تابع $f(x)= x^{2}$ استفاده کنید و نمودار تابع $g(x)= (x+4)^{2}$ و تابع $h(x)= (x-2)^{2}$ را رسم کنید.
پاسخ:
برای رسم تابع $g(x)$ نمودار تابع $ f(x) $ را به اندازه 4 واحد به سمت چپ منتقل می کنیم.
برای رسم تابع $h(x)$ نمودار تابع $ f(x) $ را به اندازه 2 واحد به سمت راست منتقل می کنیم.
مثال۲: از ترکیب انتقال های افقی و عمودی توابع: نمودار $f(x)= \sqrt{x-3}+4$ را رسم کنید.
پاسخ: ابتدا نمودار تابع $\sqrt{x}$ را رسم کرده و سپس برای رسم نمودار $\sqrt{x-3}$ آن را به اندازه 3 واحد به سمت راست جابجا می کنیم. حال برای رسم نمودار $\sqrt{x-3}+4$، نتیجه اخیر را به اندازه 4 واحد به بالا منتقل می کنیم تا نمودار خواسته شده بدست آید.
تبدیل توابع: انعکاس نمودارها
انعکاس نمودار توابع
فرض کنید نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم. سوال این است که چطور می توان از این نمودار برای رسم نمودار توابع $y=-f(x )$ و $y=f(-x)$ استفاده کرد.
پاسخ پرسش بالا این است که مقدار مولفه $y$ از تابع $-f(x) $ برابر است با منفی مقدار تابع $ f(x) $ در نقطه $ x $. بنابراین، نمودار خواسته شده به سادگی به صورت انعکاس نمودار تابع $ f(x) $ نسبت به محور $ x $ ها بدست می آید. شکل سمت چپ را ببینید.
به همین ترتیب می توان استدلال کرد که نمودار تابع $f(-x) $ همان نمودار تابع $ y=f(x) $ است که نسبت به محور $ y$ ها منعکس شده است. شکل سمت راست را ببینید.
یادآوری: تقارن نمودارها نسبت به محور افقی، عمودی و مبدا مختصات را در درس سوم از کتاب اول بحث کردیم.
پس به نتیجه کلی زیر برای انعکاس نمودارها (Reflecting graphs) می رسیم.
- برای رسم نمودار $y=-f(x) $ ، انعکاس نمودار تابع $ y=f(x) $ را نسبت به محور افقی رسم می کنیم.
- برای رسم نمودار $ y=f(-x) $ ، انعکاس نمودار تابع $y=f(x) $ را نسبت به محور عمودی رسم می کنیم.
پرسش: دامنه و برد توابع قبل و بعد از انعکاس نسبت به محورها چه رابطه ای با هم دارند؟
انعکاس نمودارها — مثال
نمودار تابع $f(x)= -x^{2}$ و نمودار تابع $g(x)= \sqrt{-x}$ را رسم کنید.
پاسخ: برای رسم تابع $f(x)= -x^{2}$ ابتدا نمودار تابع $ x^{2} $ را رسم کرده و سپس انعکاس آن نسبت به محور افقی را می یابیم. نتیجه را در شکل مقابل می بینید. دقت کنید که دامنه دو تابع با هم یکی است ولی برد تابع $ x^{2} $ به صورت $\left[0,\infty \right)$ بوده در حالی که برد تابع $ -x^{2} $ به صورت $\left(-\infty,0 \right]$ می باشد.
برای رسم تابع $f(x)= \sqrt{-x}$ ابتدا نمودار تابع $ \sqrt{x} $ را رسم کرده و سپس انعکاس آن نسبت به محور عمودی را می یابیم. نتیجه را در شکل پایین می بینید. دقت کنید که برد دو تابع یکی است ولی دامنه تابع $ \sqrt{x} $ به صورت $\left[0,\infty \right)$ بوده در حالی که دامنه تابع $ \sqrt{-x} $ به صورت $\left(-\infty,0 \right]$ می باشد.
۱
نکات مهم این درس
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی تبدیل توابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- اگر نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم و $c>0$، چطور می توانیم نمودار توابع $y=f(x)\pm c$ را رسم کنیم؟
- دامنه وبرد توابع $y=f(x)\pm c$ چه ارتباطی با دامنه و برد تابع $y=f(x)$ دارد؟
- اگر نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم و $c>0$، چطور می توانیم نمودار توابع $y=f(x \pm c )$ را رسم کنیم؟
- دامنه وبرد توابع $y=f(x \pm c )$ چه ارتباطی با دامنه و برد تابع $y=f(x)$ دارد؟
- اگر نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم، چطور می توانیم نمودار توابع $y=-f(x)$ و $y=f(-x)$ را رسم کنیم؟
- دامنه وبرد توابع $y=-f(x)$ و $y=f(-x)$ چه ارتباطی با دامنه و برد تابع $y=f(x)$ دارد؟
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین درس تبدیل توابع — بخش اول:
- نمودارهای شماره $I$، $II$، $III$ و $IV$ (اینها اعداد یونانی از 1 تا 4 هستند) از تبدیل نمودار $f$ به دست آمده اند. مشخص کنید که هر نمودار مربوط به کدام تابع $(a)$ تا $(d)$ است.
- در هر مورد توضیح دهید که چگونه می توان نمودار تابع $g(x)$ را از نمودار تابع $f(x)$ دست آورد.
- با استفاده از نمودار تابع $y=x^{2}$ نمودار توابع زیر را رسم کنید.
- با استفاده از نمودار تابع $y=\sqrt{x}$ نمودار توابع زیر را رسم کنید.
- نمودارهای شماره $I$، $II$، $III$ و $IV$ (اینها اعداد یونانی از 1 تا 4 هستند) از تبدیل نمودار $f=|x|$ به دست آمده اند. مشخص کنید که هر نمودار مربوط به کدام تابع $(a)$ تا $(d)$ است.
- توابع زیر را به وسیله انتقال و انعکاس رسم کنید.
درس بعدی: تبدیل توابع — بخش دوم
در جلسه بعد، بحث درباره تبدیلات توابع را ادامه خواهیم داد.
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)
—–
امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.
درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.