۶. اعداد توان دار

آنچه گذشت: قدرمطلق یک عدد؛ فاصله دو عدد

قدر مطلق عدد $a$ به معنی فاصله عدد $a$ تا عدد صفر است :

$|a| = \begin{cases} a & ~~\text{if}~~a~\geq 0\\ -a &~~\text{if}~~a~ < 0 \\ \end{cases}$

ویژگی های قدرمطلق:

اگر $a$ و $b$ دو نقطه بر روی محور حقیقی باشند، فاصله ( $distance$ ) بین این دو نقطه برابر است با

$d(a,b)=|a-b|$

اعداد توان دار

توان یک عدد

فرض کنید می خواهیم عدد 202400 را به عامل های اول آن تجزیه کنیم. نتیجه به صورت زیر خواهد بود:

$202400=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 5 \times 5 \times 11 \times 23$

بسیاری از محاسبات در فیزیک و ریاضی شامل ضرب مکرر اعداد مشابه هستند. نوشتن چنین ضرب هایی به این صورت کار بسیار سختی است.

و یا فرض کنید می خواهیم ثابت گرانش نیوتن در فیزیک را در واحدهای استاندارد بنویسیم. نتیجه به صورت زیر خواهد بود:

$G=0.0000000000667~Nm^{2}/kg^{2}$

و یا جرم زمین را می توان به صورت زیر نوشت:

$M_{Earth}=5 970 000 000 000 000 000 000 000 ~kg$

نوشتن اعداد بسیار کوچک و یا بسیار بزرگ به این صورت به سادگی امکان پذیر نیست و امکان اشتباه نیز وجود دارد.

برای حل این دو مشکل، و البته دلایل دیگر، نمادگذاری توانی ( و یا نمادگذاری نمایی ) در ریاضی ابداع شده است.

با استفاده از این نمادگذاری می توانیم بنویسیم:

$202400=2^{5} \times 5^{2} \times 11 \times 23$

$G=6.67\times 10^{-11}~Nm^{2}/kg^{2}$

$M_{Earth}=5.97 \times 10^{24} ~kg$

نوشتن اعداد به این صورت بسیار ساده تر است و، همانطور که در آینده خواهیم دید، کار کردن با این نوع نمادگذاری نیز دقت محاسبات را بالا می برد.

اگر $a$ یک عدد حقیقی و $n$ یک عدد صحیح مثبت باشد، آنگاه توان $n$ اُم عدد $a$ به صورت زیر “تعریف” می شود:

عدد $a$ را پایه و عدد $n$ را توان می نامند. همچنین، می خوانیم $a$ به توان $n$ . مثلا در شکل پایین 2 پایه و 3 توان است.

مثال

به محاسبه عبارت های توانی زیر دقت کنید:

مخصوصا به تفاوت بین $(-3)^{4}$ و $-3^{4}$ دقت کنید. در مورد اول توان به روی $-3$ اعمال شده ( یعنی چهار بار عدد $-3$ را در خودش ضرب کرده ایم). بنابراین:

$(-3)^{4}=(-1)\times 3 \times (-1)\times 3 \times (-1)\times 3 \times (-1)\times 3$

$(-3)^{4}=(-1)^{4} \times 3^{4} =1 \times 81 =81$

در حالی که در مورد دوم توان فقط بر 3 اعمال می شود.

$-3^{4}=(-1)\times 3 \times 3 \times 3 \times 3 =-81$

نکته:

اعداد مثبت به هر توانی برسند نتیجه مثبت خواهد بود. از طرفی توان فرد اعداد منفی نتیجه منفی خواهند داشت در صورتی که توان زوج اعداد منفی نتیجه مثبت خواهند داشت. چرا؟

قوانین توان

به محاسبه زیر دقت کنید:

$5^{4} \times 5^{2}= ( 5 \times 5 \times 5 \times 5 ) \times ( 5 \times 5 ) =5^{4+2}=5^{6}$

در واقع در حالت کلی می توان دید که اگر دو عدد “با پایه های مساوی ” را در هم ضرب کنیم، نتیجه برابر پایه به توان حاصلجمع توان ها خواهد بود:

ما قانون بالا را خیلی دوست داریم و می خواهیم همیشه برقرار باقی بماند، حتی وقتی که یکی از توان ها ( و یا هر دوی آنها ) صفر هستند:

$2^{0}\times 2^{3}=2^{0+3}=2^{3}$

ولی این قانون تنها در صورتی درست است که داشته باشیم:

$2^{0}=1~~$

به همین صورت می خواهیم رابطه زیر درست باشد:

$5^{4}\times 5^{-4}=5^{4-4}=5^{0}=1$

این رابطه نیز فقط در صورتی درست است که داشته باشیم:

$5^{-4}=\frac{1}{5^{4}}~~~~$

دو قانون بسیار مهم توان

اگر $a$ یک عدد حقیقی و مخالف صفر باشد (یعنی $a \neq 0$ و $a \in \mathbb{R}$ ) و $n$ یک عدد طبیعی باشد (یعنی $n \in \mathbb{N}$ )، آنگاه داریم:

$a^{0}=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

این قوانین در محاسبات آینده اهمیت اساسی دارند.

توان های صفر و منفی:

روابط مهم محاسبات توانی

به جز دو قانون بالا، روابط مهم محاسبات توانی را می توان در شکل زیر خلاصه کرد. در اینجا باز هم $a$ یک عدد حقیقی و مخالف صفر (یعنی $a \neq 0$ و $a \in \mathbb{R}$ ) و $n$ یک عدد طبیعی (یعنی $n \in \mathbb{N}$ ) است.

دقت کنید که برای درست بودن روابط 1 تا 3 باید پایه ها با هم برابر باشند. همچنین، برای درست بودن روابط 4 تا 6 باید توان ها با هم برابر باشند.

اثبات روابط بالا

اثبات رابطه 2:

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m} \times \frac{1}{a^{n}}=a^{m}\times a^{-n}=a^{m-n}$

اثبات رابطه 3:

شیوه استفاده از قوانین توان

به ساده سازی ها و محاسبات زیر دقت کنید. در هر مورد توجه کنید که از کدام قانون استفاده شده است:

در ادامه چند نمونه دیگر از چنین محاسباتی را ببینید:

عملیات ریاضی با توان های منفی

در هنگام کار کردن با توان های منفی می توان در ابتدا این توان ها را به کمک رابطه

$a^{-n}=1/a^{n}$

تبدیل کرده و سپس ساده سازی کرد. به دو مثال زیر دقت کنید:

فراموش نکنید: برای انجام محاسبات ریاضی روش های مختلفی وجود دارد. مهم نیست که شما از کدام روش برای یافتن جواب استفاده می کنید، مهم این است که محاسبات و جواب شما درست باشد!

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی توان و اعداد توان دار را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

چرا از نمادگذاری توانی استفاده می کنیم؟
پایه و توان در نمادگذاری توانی را با استفاده از یک مثال بیان کنید.
اگر یک عدد منفی به توان زوج برسد نتیجه منفی خواهد بود و یا مثبت؟ اگر توان فرد باشد چطور؟
توضیح دهید که چرا $a^{0}=1$ (به شرطی که $a$ غیر صفر باشد.)؟
توضیح دهید که چرا $a^{-n}=1/a^{n}$ ( به شرطی که $a$ غیر صفر باشد.)؟
قوانین 1 تا 7 محاسبات توانی را به زبان فارسی شرح داده و مثال هایی برای آنها بنویسید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

قوانین 4 تا 7 در شکل زیر را اثبات کنید.

اعداد زیر را به صورت کسری و اعشاری بنویسید:

مقدار عبارت های زیر را بیابید:

عبارت های زیر را ساده سازی کنید:

عبارت های زیر را ساده سازی کنید به صورتی که توان منفی نداشته باشند.

درس بعدی: نمادگذاری علمی

بسیاری از اعداد در محاسبات علمی بسیار کوچک (مانند فیزیک اتمی) و یا بسیار بزرگ (مانند نجوم) هستند. کار کردن با این اعداد می تواند تا حدی مشکل ساز باشد. به همین دلیل دانشمندان از دو روش نمادگذاری علمی و معرفی آحاد جدید برای برخورد با چنین اعدادی استفاده می کنند. در جلسه بعد با نمادگذاری علمی آشنا خواهیم شد (ساختن آحاد جدید را در فیزیک فرا خواهید گرفت).

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه