۳. جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد حقیقی

آنچه گذشت:

تاکنون با انواع اعداد حقیقی ( طبیعی، صحیح، گویا و گنگ ) آشنا شده ایم.

رابطه زیرمجموعه ای این مجموعه ها را در شکل مقابل می بینید.

numbers

همچنین با ویژگی های اعداد حقیقی آشنا شدیم:

ویژگی جابجا پذیری:

$a~+~b=b~+~a$

$a\times b =b \times a$

ویژگی شرکت پذیری:

$\left( a~+~b \right) ~+~c=a~+~ \left( b~+~c \right)$

$\left(~ a ~ b ~\right)~c =a~ \left(~b~c~ \right)$

ویژگی توزیع پذیری:

$a\left(b~+~c \right)=ab~+~ac$

$\left(b~+~c \right)a =ab + ac$

در ادامه می خواهیم چهار عمل اصلی در مجموعه اعداد حقیقی را بررسی کنیم.

جمع و تفریق اعداد حقیقی

قرینه یک عدد حقیقی

در جلسه پیشین آموختیم که حاصل جمع هر عدد حقیقی با صفر برابر همان عدد است؛ یعنی:

$a~+~0=a$

گزاره بالا معادل گزاره زیر است؛ زیرا می توان از معادله $a=a$ مقدار $-a$ را کم کرد و به معادله زیر رسید:

$a~+~\left( -a \right)=0$

یعنی هر عدد حقیقی $a$ یک عدد قرینه $-a$ دارد که مجموع آن دو برابر صفر می شود. به شکل زیر دقت کنید.

نکته بسیار مهم:

توجه کنید که عدد $-a$ لزوما منفی نیست! در واقع مثبت و یا منفی بودن عدد $-a$ بستگی به علامت عدد $a$ دارد؛ به این ترتیب که علامت عدد $-a$ همیشه برخلاف علامت عدد $a$ می باشد.

مثلا اگر $a=3$ باشد، آنگاه $-a=-3$ منفی است. ولی اگر $b=-2$ باشد، آنگاه $-b=2$ مثبت است.

تفریق اعداد حقیقی

برای انجام عمل تفریق عدد $b$ از عدد $a$ ، ما قرینه عدد $b$ ( یعنی عدد $-b$ ) را با عدد $a$ جمع می کنیم؛ یعنی

$a~-~b = a~+~\left(~-b ~\right)$

مثلا در شکل زیر برای محاسبه $4-9$ عدد 4 را با عدد $-9$ جمع کرده ایم؛ یعنی از عدد 4 شروع کرده و 9 واحد به سمت منفی محور حرکت کرده ایم.

مثال های بیشتر:

$13~-~9 = 13~+~\left(~-9 ~\right)=4$

$1~-~7 = 1~+~\left(~-7 ~\right)=-6$

آیا شما تفریق را به روش دیگری آموخته اید؟ خیلی هم خوب!

ویژگی های قرینه اعداد و تفریق

ویژگی های قرینه اعداد حقیقی را در زیر می بینید. باید بتوانیم این ویژگی ها را بیان کرده و در عمل از آنها استفاده کنیم.

برای هرکدام از ویژگی های گفته شده در بالا، مثالی را در ادامه می بینید.

سعی کنید مثال های بیشتری بنویسید و به تمرین ها نیز دقت کنید.

تمرین: به کار بردن ویژگی های قرینه

در محاسبه زیر از کدام ویژگی قرینه استفاده کرده ایم:

در سطر اول از محاسبه زیر از کدام ویژگی قرینه استفاده کرده ایم. در سطر دوم چطور؟

ضرب و تقسیم اعداد حقیقی

در جلسه قبل آموختیم که حاصلضرب هر عدد حقیقی در یک برابر همان عدد است؛ یعنی:

$a~\times~1=a$

این گزاره معادل گزاره زیر است:

$a~\times~\frac{1}{a}=1$

یعنی هر عدد حقیقی $a$ یک عدد معکوس $\frac{1}{a}$ دارد که حاصلضرب آن دو برابر یک می شود. معکوس عدد حقیقی $a$ را به صورت $1/a$ و یا $a^{-1}$ هم نشان می دهیم ( درباره توان های منفی در جلسات بعد بیشتر صحبت خواهیم کرد ).

اگر عدد $a$ بزرگتر از یک باشد، آنگاه معکوس آن حتما کوچکتر از یک است و برعکس؛ یعنی اگر عدد $a$ کوچکتر از یک باشد، آنگاه معکوس آن حتما بزرگتر از یک است. شکل زیر را ببینید.

معکوس کسر $\frac{m}{n}$ برابر است با $\frac{n}{m}$ . به عبارت دیگر $\frac{1}{\frac{m}{n}}=\frac{n}{m}$ .

کسر، صورت و مخرج کسر

اگر $b \neq 0$ ، آنگاه بنا به تعریف داریم:

$a~\div~b=a\times \frac{1}{b}$

هرچند معمولا $a\times \frac{1}{b}$ را به صورت خلاصه تر $\frac{a}{b}$ و یا $a/b$ می نویسیم ( دقت کنید که تقسیم عدد $a$ بر $b$ را با استفاده از معکوس عدد $b$ تعریف کرده ایم ).

عدد $a/b$ را کسر آ بی اُم و یا نسبت $a$ به $b$ هم می نامند.

در کسر $a/b$ ، عدد $a$ را صورت کسر و عدد $b$ را مخرج کسر می نامند.

ویژگی های تقسیم

به ویژگی های تقسیم و مثال مربوط به هر ویژگی و توضیحاتی که در ادامه می آید دقت کنید.

ضرب کسرها:وقتی کسرها را در هم ضرب می کنید، اعداد مربوط به صورت کسرها را در هم و اعداد مربوط به مخرج کسرها را در هم ضرب کنید.
تقسیم کسرها:

روش اول: وقتی دو کسر را بر هم تقسیم می کنید، کسر مخرج را معکوس کرده و بعد در هم ضرب کنید ( بنا به قاعده قبلی ).روش دوم: دور در دور، نزدیک در نزدیک!

$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}$

وقتی دو کسر با مخرج برابر را جمع می کنید، مخرج را نوشته و صورت ها را با هم جمع کنید.
وقتی دو کسر با مخرج نابرابر را جمع می کنید، در ابتدا یک مخرج مشترک را بیابید ( حاصلضرب مخرج ها $bd$ همیشه یک مخرج مشترک است!) و صورت را نیز مطابق دستور بنویسید.
عامل مشترک در صورت و مخرج را می توان ساده کرد ( اگر $c \neq 0$ ). به ضرب بودن عامل ها دقت کنید.
ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین.

کوچکترین مخرج مشترک

گاهی اوقات برای جمع بستن دو کسر با مخرج نامساوی از کوچکترین مخرج مشترک ( به جای ضرب مستقیم مخرج ها، یعنی قاعده شماره چهار در اسلاید صفحه قبل ) استفاده می کنیم. این روش را با یک مثال بیان خواهیم کرد.

مقدار کسر زیر را بیابید:

$\frac{5}{36}+\frac{7}{120}$

در ابتدا مخرج ها را به اعداد اول سازنده آنها تجزیه می کنیم:

$36=2^{2}\times 3^{2}$

$120=2^{3}\times 3 \times 5$

کوچکترین مخرج مشترک یا LCD (Least Common Denominator) را با ضرب اعداد اول در این دو عدد، با بالاترین توان، بدست می آوریم:

$LCD=2^{3}\times 3^{2} \times 5 = 360$

بنابراین داریم:

$\frac{5}{36}+\frac{7}{120}=\frac{5\times 10}{36\times 10}+\frac{7\times 3}{120\times 3}$

$\,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{50}{360}+\frac{21}{360}=\frac{50+21}{360}=\frac{71}{360}$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اساسی چهار عمل اصلی را به درستی توصیف کرده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

قرینه یک عدد حقیقی چطور به دست می آید؟
آیا $-a$ ، وقتی $a$ یک عدد حقیقی است، همیشه منفی است؟ توضیح دهید.
عمل تفریق $a-b$ را چگونه می توان با استفاده از قرینه عدد $b$ به دست آورد؟
طریقه محاسبه تفریق 3-7 را بر روی محور اعداد توضیح دهید.
شش ویژگی اصلی قرینه یک عدد را نوشته و مفهوم آن را بیان کنید.
معکوس عدد $a$ را به چه صورت هایی نشان می دهیم؟
اگر $a>1$ ، آنگاه معکوس $a$ بزرگتر از یک است و یا کوچکتر از آن؟
معکوس کسر $a/b$ چیست؟
شش عملیات اصلی بر روی کسر را نوشته و به اختصار توضیح دهید.
مخرج مشترک دو کسر چگونه پیدا می شود؟

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

حاصل عبارت های زیر را به صورت کسری و اعشاری بنویسید.

درس بعدی: محور اعداد حقیقی، مجموعه اعداد و بازه ها

در جلسه بعد با محور اعداد حقیقی، که شامل همه اعداد حقیقی است، آشنا می شویم. این محور دیدگاه هندسی بسیار خوبی از موقعیت و ویژگی های این اعداد به ما ارائه می کند.

همچنین مجموعه اعداد و بازه ها را بحث خواهیم کرد. این موضوعات پایه بحث توابع در آینده هستند.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه