۷. نمادگذاری علمی

آنچه گذشت: روابط مهم محاسبات توانی با توان صحیح

اگر $a$ یک عدد حقیقی و مخالف صفر باشد ( یعنی $a \neq 0$ و $a \in \mathbb{R}$ ) و $n$ یک عدد طبیعی باشد (یعنی $n \in \mathbb{N}$ ) آنگاه داریم:

$a^{0}=1~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

به جز دو قانون بالا، روابط مهم محاسبات توانی را می توان در شکل زیر خلاصه کرد.

نمادگذاری علمی

چرا نمادگذاری علمی؟

سیستم یکاها ( دستگاه بین المللی یکاها یا $SI$ که شامل متر، ثانیه، کیلوگرم و … می باشد) مورد استفاده عموم است و به صورتی طراحی شده است که جوابگوی نیازهای روزمره انسان باشد. به همین دلیل، اعداد مربوط به اندازه گیری های روزمره اعداد چندان بزرگ و یا کوچکی نیستند. مثلا، وزن انسان ها چند ده کیلوگرم است، ارتفاع یک ساختمان معمولی چند متر است و غیره.

هرچند، برخی اندازه گیری های علمی مربوط به دنیای ریزمقیاس و یا درشت مقیاس ذاتا در مقایسه با اندازه گیری های معمول و روزمره بسیار کوچک و یا بسیار بزرگ هستند. به جداول زیر ( از ویرایش دهم کتاب مبانی فیزیک هالیدی ) دقت کنید.

مثلا جرم اتم هیدروژن برابر $0.00000000000000000000000166 ~g$ می باشد که حتی به سختی قابل خواندن است.

برای کار کردن سریعتر و دقیقتر با این اعداد بسیار بزرگ و بسیار کوچک از نمادگذاری علمی استفاده می کنیم. مفید بودن این نمادگذاری را در عمل خواهیم دید.

نمادگذاری علمی: می گوییم عدد مثبت $x$ با استفاده از نمادگذاری علمی بیان شده است اگر به صورت زیر نوشته شده باشد:

$\mathbf{x=a\times 10^{n}~~~~~~~~~~~~~~If:~~1 \leq a <10 ~~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~~ n \in \mathbb{Z}}$

دقت کنید که عدد $a$ در نمادگذاری علمی حتما بین یک تا ده است ( $1 \leq a <10$ ) و $n$ حتما صحیح است ( $n \in \mathbb{Z}$ ).

مثلا فاصله ستاره پروکسیما قنطورس ( $Proxima~Centauri$ )، که نزدیکترین ستاره به زمین پس از خورشید است برابر $40 ~000 ~000 ~000~000 ~km$ می باشد. این فاصله را می توان به صورت زیر نوشت:

دقت کنید که در اینجا محل اعشار به اندازه 13 واحد به سمت راست منتقل شده است ( یعنی به اندازه توان عدد ده ).

همچنین، جرم اتم هیدروژن را می توان به صورت زیر نوشت:

در اینجا توجه کنید که اندازه توان ( 24 ) برابر است با تعداد ارقام اعشاری که اولین عدد غیر صفر پشت اعشار باید به سمت چپ جابجا شود. این تعداد همچنین برابر است با تعداد ارقام صفر پشت ممیز تا اولین عدد غیر صفر، بعلاوه یک ( 23+1 ).

تغییر فرم نوشتاری اعداد از دهدهی به علمی و برعکس

فرم نوشتاری معمول اعداد در پایه ده را سیستم دهدهی می گویند.

مثال از تغییر فرم نوشتاری اعداد از دهدهی به علمی:

مثال از تغییر فرم نوشتاری اعداد از علمی به دهدهی:

توجه مهم:

دقت کنید که عددی مانند $0.003 \times 10^{18}$ از لحاظ ریاضیاتی کاملا درست است و هیچ ایرادی ندارد. ولی لازم است به یاد داشته باشیم که این عدد به صورت صحیح در نمادگذاری علمی نوشته نشده است (لازم نیست همه اعداد در نمادگذاری علمی نوشته شوند!).

چند مثال دیگر از نمادگذاری علمی

شیوه محاسبه با نمادگذاری علمی

نمادگذاری علمی را در ماشین حساب ها با علامت های مختلفی از جمله $Exp~$ ، $EE~$ ، $10^{x}$ و … نشان می دهند.

مثالی از محاسبه با نمادگذاری علمی

محاسبات شامل نمادگذاری علمی را به راحتی می توان با استفاده از قواعد چهار عمل اصلی و قواعد توان ها انجام داد.

اگر $a \approx 0.00046$ ، $b \approx 1.697 \times 10^{22}$ ، و $c \approx 2.91 \times 10^{-18}$ باشد، حاصل کسر $ab/c$ را بیابید.

پاسخ را در زیر مشاهده می کنید و مقدار بر حسب ارقام با معنی نوشته شده است.

جستجو کنید: منظور از ارقام بامعنی چیست؟

مثالی از یکاها:

کهکشان کروی در تصویر بالا، جرمی تقریبا برابر با $10^{10}$ برابر جرم خورشید دارد و شعاع آن تقریبا 5 کیلوپارسک است. جرم خورشید برابر $M_{\odot}=2 \times 10^{30} ~~kg$ و هر کیلو پارسک برابر $1 k~pc = 3.1 \times 10^{19} m$ می باشد. چگالی این کهکشان را بر حسب $kg/m^{3}$ بیابید.

جرم این کهکشکان برابر است با:

$M_{G} \approx N~M_{\odot}=10^{10} \times 2 \times 10^{30} ~~kg=2 \times 10^{40} ~~kg$

شعاع کهکشان:

$R_{G} \approx 5~ kpc= 5~ \times 3.1 \times 10^{19}~m =1.5 \times 10^{20}~m$

در نتیجه چگالی این کهکشان خواهد بود

$\rho_{G} \approx \frac{M_{G}}{\frac{4}{3}~\pi ~R^{3}_{G} }= \frac{2 \times 10^{40} ~~kg}{ \frac{4}{3}~\pi ~(1.5 \times 10^{20}~m)^{3} }~~~~~~~~~$

$=\frac{2}{\frac{4}{3}~\pi \times 1.5^{3}}\times \frac{10^{40} }{10^{60}}~ \frac{kg}{m^{3}}=1.4 \times 10^{-21}~ \frac{kg}{m^{3}}$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی نمادگذاری علمی را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

چرا از نمادگذاری علمی استفاده می کنیم؟
نوشتار کلی یک عدد با نمادگذاری علمی به چه صورت است؟
اعداد بسیار بزرگ را چطور با استفاده از نمادگذاری علمی می نویسیم؟
اعداد بسیار کوچک را چطور با استفاده از نمادگذاری علمی می نویسیم؟
اگر عدد بسیار بزرگی با استفاده از نمادگذاری علمی نوشته شده باشد، چطور می توان آن را به صورت دهدهی بازنویسی کرد؟
اگر عدد بسیار کوچکی با استفاده از نمادگذاری علمی نوشته شده باشد، چطور می توان آن را به صورت دهدهی بازنویسی کرد؟
آیا عدد $0.0043 \times 10^{-8}$ از لحاظ ریاضیاتی درست نوشته شده است؟ از نظر نمادگذاری علمی چطور؟
چندتا از نماد های مرسوم برای نمادگذاری علمی در ماشین حساب ها را نام ببرید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

اعداد زیر را با استفاده از نمادگذاری علمی بنویسید:

اعداد زیر را به سیستم دهدهی برگردانید.

محاسبات زیر را انجام داده و نتیجه را با استفاده از نمادگذاری علمی بنویسید:

درس بعدی: توان های گویا و رادیکال ها

در درس بعد با توان های گویا (یا کسری) سروکار خواهیم داشت و ارتباط آنها با نمادگذاری رادیکالی را خواهیم آموخت. همچنین می آموزیم که چطور بسیاری از قوانین توان را می توان به توان های گویا تعمیم داد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه