۵. قدرمطلق و فاصله

آنچه گذشت: مجموعه ها و بازه ها

اجتماع دو مجموعه: اگر $S$ و $T$ دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه ای که شامل همه اعضای هر دو مجموعه $S$ و $T$ است را اجتماع دو مجموعه $S$ و $T$ می نامند و با علامت $S \cup T$ نشان می دهند. دقت کنید که اعضای مجموعه $S \cup T$ عضو $S$ و یا $T$ و یا هر دو مجموعه هستند.

اشتراک دو مجموعه: اگر $S$ و $T$ دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه ای که شامل اعضای مشترک دو مجموعه $S$ و $T$ است را اشتراک دو مجموعه $S$ و $T$ می نامند و با علامت $S \cap T$ نشان می دهند. دقت کنید که اعضای مجموعه $S \cap T$ عضو هر دو مجموعه $S$ و $T$ هستند.

مجموعه تهی مجموعه است که هیچ عضوی ندارد. این مجموعه را با علامت $\varnothing$ نشان می دهند.

قدرمطلق

از نظر هندسی، قدرمطلق یک عدد فاصله آن عدد تا مبدا مختصات است. شکل زیر را ببینید.

قدرمطلق یک عدد مانند $a$ را با $|a|$ نشان می دهیم و می خوانیم قدر مطلق $a$ .

در ریاضی و فیزیک، فاصله همیشه یک عدد مثبت و یا صفر است؛ بنابراین، قدرمطلق هم همیشه مثبت و یا صفر است: $|a| \geq 0$ .

با توجه به اینکه اگر $a$ منفی باشد، $-a$ مثبت است، می توان نوشت:

$|a| = \begin{cases} a & ~~\text{if}~~a~\geq 0\\ -a &~~\text{if}~~a~ < 0 \\ \end{cases}$

معنی عبارت بالا به این صورت است: اگر عدد $a$ مثبت و یا صفر باشد آنگاه قدرمطلق $a$ برابر $a$ است. ولی اگر عدد $a$ منفی باشد آنگاه قدرمطلق $a$ برابر $-a$ است.

مثال

به محاسبه قدرمطلق عبارت های زیر دقت کنید:

در مورد آخر ( یعنی مورد $d$ ) ملاحظه می کنیم که چون $3<\pi \approx 3.141$ می توان نتیجه گرفت که $3-\pi<0$ . یعنی $3-\pi$ عددی منفی است. بقیه جواب از تعریف قدرمطلق نتیجه می شود.

ویژگی های قدرمطلق

قدرمطلق یک عدد همیشه غیرمنفی است.
قدرمطلق هر عدد مانند $a$ با قدرمطلق قرینه آن یعنی $-a$ برابر است.
قدرمطلق حاصلضرب برابر است با حاصلضرب قدرمطلق ها.
قدرمطلق یک نسبت برابر است با نسبت قدرمطلق صورت به مخرج.
نامساوی مثلث: قدرمطلق حاصلجمع دو عدد همیشه کوچکتر یا مساوی است با حاصلجمع قدرمطلق های آن دو عدد.

فاصله

فاصله بین دو عدد بر روی محور حقیقی

سوال: فاصله بین اعداد $11$ و $-2$ بر روی محور حقیقی چیست؟ چطور می توان این فاصله را پیدا کرد؟

شکل زیر ( سمت چپ ) را ببینید. اگر تعداد واحدهای بین دو عدد $11$ و $-2$ را در این شکل بشماریم می بینیم که عدد 13 بدست می آید.

از طرفی مشاهده می کنیم که

$|11-(-2)|=13$

و همچنین

$|-2-11|=13$

با آزمودن فاصله بین اعداد دیگر بر روی محور حقیقی به نتیجه بسیار مهم زیر می رسیم:

اگر $a$ و $b$ دو نقطه بر روی محور حقیقی باشند، فاصله ( $distance$ ) بین این دو نقطه برابر است با

$\mathbf{ d(a,b)=|a-b|}$

بنا به ویژگی قدرمطلق می دانیم که

$d(a,b)=|a-b|=|b-a|$

تعمیم مفهوم فاصله در آینده

تا اینجا نتیجه می گیریم که فاصله بین دو نقطه $x_{1}$ و $x_{2}$ بر روی محور اعداد به صورت زیر به دست می آید:

$d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|$

در آینده خواهیم آموخت که فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات $xy$ را می توان از قضیه فیثاغورس به صورت زیر به دست آورد:

$d=\sqrt{|x_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}}$

شکل زیر را ببینید.

همچنین فاصله بین دو نقطه در فضای سه بعدی $xyz$ را می توان از قضیه فیثاغورس به صورت زیر به دست آورد:

$d=\sqrt{|x_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2}}$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی قدرمطلق و فاصله را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

از لحاظ هندسی قدرمطلق یک عدد چه کمیتی را نشان می دهد.
اگر $a \geq 0$ باشد، آنگاه قدر مطلق $a$ چه کمیتی است؟
اگر $a < 0$ باشد، آنگاه قدر مطلق $a$ چه کمیتی است؟
پنج ویژگی اصلی قدرمطلق را به صورت ریاضیاتی نوشته و به فارسی معنی هرکدام را بیان کنید.
رابطه تعیین کننده فاصله بین دو عدد $a$ و $b$ را بنویسید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

قدرمطلق های زیر را محاسبه کنید:

فاصله بین هر دو نقطه داده شده را بیابید.

درس بعدی: اعداد با توان صحیح

بسیاری از محاسبات ما در آینده شامل ضرب مکرر اعداد در یکدیگر خواهد بود. در جلسه بعد این ضرب های تکراری را با توان اعداد نشان داده و شیوه کار با آنها را به صورت مقدماتی فرا خواهیم گرفت.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه