۱۰. تبدیل توابع — بخش دوم

آنچه گذشت: انتقال عمودی توابع؛ انتقال افقی توابع؛ انعکاس نمودارها

موضوع امروز این است: اگر شکل کلی تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم، شکل کلی تابع $y=af(bx+c)+d$ چگونه خواهد بود؟

انبساط و انقباض عمودی توابع

فرض کنید نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم. سوال این است که اگر پارامتر $c$ مثبت باشد، یعنی $c>0$ ، چطور می توانیم نمودار توابع $y=cf(x)$ را رسم کنیم.

پاسخ: مولفه $y$ در هر نقطه از تابع $y=cf(x)$ به اندازه $c$ برابر مقدار تابع $y=f(x)$ خواهد بود. پس اگر $c>1$ ، آنگاه تابع $y=cf(x)$ به اندازه $c$ برابر نسبت به نمودار تابع $y=f(x)$ انبساط پیدا خواهد کرد (کشیده خواهد شد). شکل پایین سمت چپ را ببینید.

از طرفی، اگر $0<c<1$ ، آنگاه تابع $y=cf(x)$ به اندازه $c$ برابر نسبت به نمودار تابع $y=f(x)$ انقباض پیدا خواهد کرد (فشرده خواهد شد). شکل سمت راست را ببینید.

پس به نتیجه کلی زیر برای انبساط و انقباض عمودی توابع می رسیم.

فرض کنید $c>0$ ، آنگاه

اگر $c>۱$ ، برای رسم نمودار $y=cf(x)$ ، نمودار تابع $y=f(x)$ را به اندازه $c$ برابر در جهت عمودی منبسط می کنیم (می کشیم).
اگر $0<c<1$ ، برای رسم نمودار $y=cf(x)$ ، نمودار تابع $y=f(x)$ را به اندازه $c$ برابر در جهت عمودی منقبض می کنیم (فشرده می کنیم).

پرسش: دامنه و برد توابع قبل و بعد از انبساط و انقباض عمودی چه رابطه ای با هم دارند؟

انبساط و انقباض عمودی توابع — مثال

مثال1: از نمودار تابع $f(x)= x^{2}$ استفاده کنید و نمودار توابع $g(x)= 3x^{2}$ و $h(x)= \frac{1}{3} x^{2}$ را رسم کنید.

پاسخ: نمودار تابع $f(x)= x^{2}$ را در شکل مقابل می بینید. مولفه $y$ در هر نقطه از تابع $g(x)$ به اندازه $3$ برابر مولفه متناظر در تابع $f(x)$ خواهد بود. بنابراین، باید نمودار تابع $f(x)$ را سه برابر منبسط کرده تا نمودار تابع $g(x)$ بدست آید.

مولفه $y$ در هر نقطه از تابع $h(x)$ به اندازه $\frac{1}{3}$ برابر مولفه متناظر در تابع $f(x)$ خواهد بود. بنابراین، باید نمودار تابع $f(x)$ را $\frac{1}{3}$ برابر منقبض کرده تا نمودار تابع $h(x)$ بدست آید.

مثال۲: ترکیب انتقال، انعکاس و انبساط توابع: نمودار تابع $y=1-2(x-3)^{2}$ را رسم کنید.

پاسخ: در ابتدا $(x-3)^{2}$ را به کمک انتقال افقی رسم می کنیم. سپس $2(x-3)^{2}$ را به کمک انبساط رسم می کنیم. آنگاه $-2(x-3)^{2}$ را به کمک انعکاس رسم می کنیم. در انتها $1-2(x-3)^{2}$ را به کمک انتقال عمودی رسم می کنیم.

انبساط و انقباض افقی توابع

فرض کنید نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم. سوال این است که اگر پارامتر $c$ مثبت باشد، یعنی $c>0$ ، چطور می توانیم نمودار توابع $y= f(cx)$ را رسم کنیم.

پاسخ این است که مولفه $y$ از تابع $y= f(cx)$ در هر نقطه مانند $x$ برابر است با مولفه $y$ از تابع $y= f( x)$ در نقطه $cx$ . بنابراین، اگر مختصه $x$ در نمودار تابع $y= f( x)$ را در $c$ ضرب کنیم، نتیجه تابع مطابق است با نتیجه تابع $y= f(c x)$ با مختصه افقی $x$ . به عبارت دیگر برای رسم تابع $y= f(c x)$ باید نمودار تابع $y= f( x)$ را در جهت افقی به اندازه $1/c$ برابر منقبض ( فشرده ) کنیم. البته، اگر $0<c<1$ ، آنگاه عبارت $1/c$ بزرگتر از یک بوده و تابع در جهت افقی منبسط خواهد شد (کشیده می شود).

پس به نتیجه کلی زیر برای انبساط و انقباض افقی توابع می رسیم.

فرض کنید $c>0$ ، آنگاه

اگر $c>1$ ، برای رسم نمودار $y=f(cx)$ ، نمودار تابع $y=f(x)$ را به اندازه $1/c$ برابر در جهت افقی منقبض می کنیم (فشرده می کنیم).
اگر $0<c<1$ ، برای رسم نمودار $y=f(cx)$ ، نمودار تابع $y=f(x)$ را به اندازه $1/c$ برابر در جهت افقی منبسط می کنیم (می کشیم).

پرسش: دامنه و برد توابع قبل و بعد از انبساط و انقباض افقی چه رابطه ای با هم دارند؟

انبساط و انقباض افقی توابع — مثال

نمودار تابع $y=f(x)$ را در زیر می بینید.

نمودار توابع $y=f(2x)$ و $y=f(\frac{1}{2} x)$ را رسم کنید.

پاسخ را در زیر می بینید.

توابع زوج و فرد

اگر برای هر عضو $x$ از دامنه یک تابع داشته باشیم $f(-x)=f(x)$ ، آنگاه می گوییم که این تابع زوج (even function) است. مثلا تابع $f(x)=x^{2}$ زوج است زیرا: $f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$ .

شکل سمت چپ را ببینید. نمودار توابع زوج نسبت به محور عمودی متقارن است؛ بنابراین، با رسم نمودار در یک سمت محور عمودی، می توان نمودار در سمت دیگر محور را نیز رسم کرد.

اگر برای هر عضو $x$ از دامنه یک تابع داشته باشیم $f(-x)=-f(x)$ ، آنگاه می گوییم که این تابع فرد (odd function) است. مثلا تابع $f(x)=x^{3}$ فرد است: $f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$ .

شکل سمت راست را ببینید. نمودار توابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است؛ بنابراین، با رسم نمودار در یک ربع مختصات، می توان نمودار در ربع دیگر را با دوران $180^{\circ}$ رسم کرد.

تعریف توابع زوج و فرد

تابع $f$ زوج است اگر برای همه اعضای مجموعه آن داشته باشیم $f(-x)=f(x)$ .

تابع $f$ فرد است اگر برای همه اعضای مجموعه آن داشته باشیم $f(-x)=-f(x)$ .

توجه کنید که برای اینکه تابعی بتواند زوج و یا فرد باشد، باید دامنه ای متقارن داشته باشد.

مثال از توابع زوج و فرد — مثال

تعیین کنید که سه تابع زیر زوج هستند، فرد و یا هیچکدام.

$(a)~~f(x)=x^{5}+x~~~~~~~(b)~~g(x)=1-x^{4} ~~~~~~~(c)~~h(x)=2x-x^{2}$

پاسخ:

اولی فرد است: $f(-x)=(-x)^{5}+(-x)=-(x^{5}+x)=-f(x)~~~~~~$
دومی زوج است: $g(-x)=1-(-x)^{4}=1-x^{4}=g(x)~~~~~~~~~~~~$
سومین تابع زوج و یا فرد نیست: $h(-x)=2(-x)-(-x)^{2}=-2x-x^{2}~~~~~~~~~~~$ . زیرا عبارت نهایی برابر $h(x)$ و یا $-h(x)$ نیست.

نمودار این سه تابع را در زیر می بینید.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی تبدیل توابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

اگر نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم و $c>0$ ، چطور می توانیم نمودار توابع $y=cf(x)$ را رسم کنیم؟
دامنه و برد توابع $y=cf(x)$ چه ارتباطی با دامنه و برد تابع $y=f(x)$ دارد؟
اگر نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم و $c>0$ ، چطور می توانیم نمودار توابع $y=f(cx)$ را رسم کنیم؟
دامنه و برد توابع $y=f(cx)$ چه ارتباطی با دامنه و برد تابع $y=f(x)$ دارد؟
تعریف دقیق توابع زوج و فرد را بنویسید.
چند مثال از توابع زوج و فرد نام ببرید.
چرا دامنه توابع زوج و فرد باید متقارن باشد.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.