۱۰. فاکتورگیری

آنچه گذشت: عبارت های جبری و اتحادها

جبر عبارت است از مطالعه گزاره های ریاضیاتی و قوانین حاکم بر آنها.
در جبر از حروف لاتین (و بعضی اوقات یونانی) به جای اعداد استفاده می کنیم.
برخی انواع ضرب عبارت های جبری چنان پرکاربرد هستند که باید آنها را به خاطر بسپاریم (پس از آنکه شیوه اثبات آنها را به درستی فهمیدیم). این قوانین پرکاربرد ضرب را اتحاد می نامند. جدول زیر را برای لیستی از اتحادهای پرکاربرد ببینید.

در این درس خواهیم آموخت که چطور عبارت های جبری طولانی را به صورت خلاصه تر بنویسیم. این عمل را فاکتورگیری ( و یا تجزیه ) عبارت های جبری می نامند. برای تسلط به فاکتورگیری باید اتحادها را به خوبی بشناسیم.

در رابطه پایین، سمت چپ، عبارت های $x-2$ و $x+2$ را “فاکتور”های ( عامل های ) چندجمله ای $x^{2}-4$ می نامند. این بدان معناست که چندجمله ای $x^{2}-4$ را می توان به صورت حاصلضرب دو عبارت $x-2$ و $x+2$ نوشت.

در ادامه می خواهیم فاکتورگیری را به صورت روشمند بیاموزیم.

فاکتور مشترک و فاکتورگیری سه جمله ای ها

فاکتور ( عامل ) مشترک

ساده ترین نوع فاکتورگیری وقتی رخ می دهد که عبارت های جبری مورد نظر ما فاکتور ( عامل ) مشترکی داشته باشند.

مثال نخست: فرض کنید می خواهیم عبارت $3x^{2}-6x$ را فاکتورگیری کنیم. برای اینکار عامل های مشابه هر دو جمله را با هم مقایسه می کنیم: یعنی از طرفی 3 و 6 را با هم مقایسه می کنیم و از طرف دیگر $x$ و $x^{2}$ را با هم مقایسه می کنیم. بین 3 و 6 عامل 3 مشترک است؛ همچنین، بین $x$ و $x^{2}$ هم عامل $x$ مشترک است.

دقت می کنیم که هردو جمله عبارت جبری $3x^{2}-6x$ شامل عدد 3 و همچنین عامل $x$ هستند. بنابراین می توان نوشت:

$3x^{2}-6x~=~3x(x-2)$

دقت می کنیم که عبارت $3x$ بزرگترین فاکتور مشترک عبارت های $3x^{2}$ و $6x$ می باشد. فاکتورهای مشترک دیگری مانند $1.5x$ ، $2.75x$ و … هم وجود دارند؛ ولی، ما در فرایند فاکتورگیری معمولا بزرگترین فاکتور مشترک را انتخاب می کنیم.

چک کردن عملیات فاکتورگیری:

پس از هر فاکتورگیری بهتر است که نتیجه را با ضرب کردن چک کنیم. اگر فاکتورگیری انجام شده درست باشد باید با بسط دادن ( ضرب کردن عامل ها در هم ) به عبارت جبری اولیه برسیم:

$3x(x-2)~=~3x^{2}-6x$

مثال دوم: می خواهیم عبارت $8x^{4}y^{2}+6x^{3}y^{3}-2xy^{4}$ را فاکتورگیری کنیم. برای اینکار عامل های مشابه هر سه جمله را با هم مقایسه می کنیم:

بزرگترین عامل مشترک 8، 6 و 2 برابر 2 می باشد. دقت کنید که $8=2 \times 2 \times 2$ و $6=3 \times 2$ .

بزرگترین عامل مشترک $x^{4}$ ، $x^{3}$ و $x$ برابر $x$ می باشد. دقت کنید که $x^{4}= x \times x \times x \times x$ و $x^{3}= x \times x \times x$ .

بزرگترین عامل مشترک $y^{2}$ ، $y^{3}$ و $y^{4}$ برابر $y^{2}$ می باشد. دقت کنید که $y^{4} = y^{2} \times y^{2}$ و $y^{3} = y^{2} \times y$ .

بنابراین عبارت $2xy^{2}$ را به عنوان بزرگترین عامل مشترک جدا کرده و بقیه عامل ها را می نویسیم:

$8x^{4}y^{2} = 2xy^{2} \times 4x^{3},~~~~~~~~6x^{3}y^{3} = 2xy^{2} \times 3x^{2}y,~~~~~~~~2xy^{4} = 2xy^{2} \times y^{2}$

و در نهایت، عبارت جبری مورد نظر به صورت زیر تجزیه ( فاکتورگیری ) می شود:

$8x^{4}y^{2}+6x^{3}y^{3}-2xy^{4}~=~2xy^{2}\left( 4x^{3}+3x^{2}y-y^{2} \right)$

چک کردن عملیات فاکتورگیری:

$2xy^{2}\left( 4x^{3}+3x^{2}y-y^{2} \right)~=~8x^{4}y^{2}+6x^{3}y^{3}-2xy^{4}$

فاکتور ( عامل ) مشترک: خارج کردن یک عامل مشترک

مثال سوم: می خواهیم عبارت $\left( 2x+4 \right)\left( x-3 \right)-5\left( x-3 \right)$ را فاکتورگیری کنیم.

دقت می کنیم که عامل $\left( x-3 \right)$ در هر دو جمله مشترک است. بنابراین می توان نوشت:

$\left( 2x+4 \right)\left( x-3 \right)-5\left( x-3 \right)~=~\left( x-3 \right)\left( 2x+4 -5 \right)$

که در نهایت به صورت زیر ساده می شود:

$\left( 2x+4 \right)\left( x-3 \right)-5\left( x-3 \right)~=~\left( x-3 \right)\left( 2x-1 \right)$

نکته: تشخیص عامل های مشترک در عبارت های جبری مهم ترین گام در فاکتورگیری است.

تجزیه سه جمله ای ها به شکل $\mathbf{x^{2}+bx+c}$

به تجزیه سه جمله ای زیر دقت کنید:

$x^{2}+7x+12 ~=~\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)$

دقت می کنیم که $12 =3 \times 4$ و $7=3+4$ . این یک اتفاق نیست بلکه نشان دهنده راهی برای تجزیه سه جمله ای هاست.

برای تجزیه ( فاکتورگیری ) یک سه جمله ای به شکل $x^{2}+bx+c$ به اتحاد زیر دقت می کنیم

$\left( x+r \right)\left( x+s \right)~=~x^{2}+\left( r+s \right)x+rs$

بنابراین اگر بتوانیم دو عدد $r$ و $s$ را پیدا کنیم به طوری که

$r+s =b ~~~~~~~~~~~و ~~~~~~~~~~~ rs=c$

آنگاه مساله حل شده است.

مثال: سه جمله ای $x^{2}+3x-40$ را تجزیه کنید.

پاسخ: دقت می کنیم که حاصلضرب دو عدد $8$ و $-5$ برابر $-40$ و حاصلجمع آنها برابر 3 می باشد. بنابراین باید داشته باشیم:

$x^{2}+3x-40 ~=~\left( x+8 \right)\left( x-5 \right)$

می توان به سادگی با ضرب عوامل سمت چپ نیز به سه جمله ای اولیه رسید.

$\left( x+8 \right)\left( x-5 \right) ~=~ x^{2}+8x-5x-5 \times 8 ~=~ x^{2}+3x-40$

برای تجزیه ( فاکتورگیری ) یک سه جمله ای به شکل $ax^{2}+bx+c$ می توانیم با فاکتورگیری از $a$ سه جمله ای را به شکل

$a \left( x^{2}+b/a x+c/a \right)$

نوشته و از روش بالا قبلی استفاده کنیم. هرچند، اینکار در عمل چندان ساده نیست زیرا با جمع و ضرب عبارت های کسری سروکار خواهیم داشت.

در عوض می توانیم از روش سعی و خطا استفاده کنیم. به مثال زیر دقت کنید:

$6x^{2}+7x-5~=~\left( 3x+5 \right) \left(2x-1 \right)$

دقت کنید که برخی از سه جمله ای ها در محدوده اعداد حقیقی تجزیه پذیر نیستند. درباره شرط تجزیه پذیری سه جمله ای ها در کتاب بعد بحث عمومی خواهیم داشت.

تجزیه سه جمله ای ها به کمک تغییر متغیر

رابطه زیر را اتحاد “یک جمله مشترک” هم می نامند:

$\left( x+r \right)\left( x+s \right)~=~x^{2}+\left( r+s \right)x+rs$

مثال: به تجزیه سه جمله ای زیر بر اساس اتحاد یک جمله مشترک دقت کنید:

$x^{2}-2x-3 ~=~ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)$

حال فرض کنید که می خواهیم عبارت جبری زیر را تجزیه کنیم:

$\left( 5a+1 \right)^{2} -2 \left(5a+1 \right)-3$

با کمی دقت و با جایگذاری $y=5a+1$ می بینیم که این عبارت جبری شکل مشابهی با سه جمله ای مثال قبل دارد:

$y^{2} -2 y-3 ~=~ \left( 5a+1 \right)^{2} -2 \left(5a+1 \right)-3 ~~~~$

یعنی می توان نوشت:

$y^{2}-2y-3 ~=~ \left( y-3 \right)\left( y+1 \right)~~~~~~$

حال می توان با جایگذاری $y=5a+1$ به متغیر اولیه برگشت:

$\left( 5a+1 \right)^{2} -2 \left(5a+1 \right)-3 ~=~ \left( 5a+1-3 \right)\left( 5a+1+1 \right)$

و یا

$\left( 5a+1 \right)^{2} -2 \left(5a+1 \right)-3 ~=~ \left( 5a-2 \right)\left( 5a+ 2\right)$

فاکتورگیری به کمک اتحادها

اتحادها به کمک تجزیه می آیند.

برخی عبارت های جبری را می توان به کمک اتحادها به راحتی تجزیه کرد. به جدول اتحادهای پرکاربرد در فاکتورگیری دقت کنید:

در ادامه شیوه استفاده از اتحادها برای تجزیه عبارت های جبری را خواهیم دید.

تفاضل دو مربع

رابطه $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ را اتحاد “تفاضل دو مربع ” می نامند ( از اسم آن وحشت نکنید: منظور از مربع توان دوم اعداد و منظور از تفاضل همان تفریق است! ).

مثال یک: عبارت $4x^{2}-25$ را تجزیه کنید.

پاسخ: با فرض $A=2x$ و $B=5$ داریم:

مثال دو: می خواهیم عبارت جبری $(x+y)^{2}-z^{2}$ را تجزیه کنیم. برای اینکار می توان فرض کرد

$A=x+y~~~~~~~~~~~~و~~~~~~~~~~~B=z$

و سپس از اتحاد تفاضل دو مربع استفاده کرد:

$(x+y)^{2}-z^{2}~=~\left(x+y-z \right)\left(x+y+z \right)$

مربع کامل

هر عبارت به شکل $A^{2}+2AB+B^{2}$ و $A^{2}-2AB+B^{2}$ را “مربع کامل” می نامیم زیرا می توان آنها را به شکل توان دوم یک عبارت جبری دیگر نوشت:

$(A+B)^{2}~=~A^{2}+2AB+B^{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A-B)^{2}~=~A^{2}-2AB+B^{2}$

این اتحادها را در جلسه قبل آموختیم. حال می خواهیم از آنها برای تجزیه عبارت های جبری استفاده کنیم.

مثال یک: عبارت $x^{2}+6x+9$ را تجزیه کنید.

پاسخ: اگر فرض کنیم $A= x$ و $B=3$ آنگاه داریم $2AB=6x~~$ . بنابراین

$x^{2}+6x+9 ~=~(x+3)^{2}$

مثال دو: عبارت $4x^{2}-4xy+y^{2}$ را تجزیه کنید.

پاسخ: اگر فرض کنیم $A= 2x$ و $B=y$ آنگاه داریم $2AB=4xy~~$ . بنابراین

$4x^{2}-4xy+y^{2} ~=~(2x-y)^{2}$

مجموع دو مکعب — تفاضل دو مکعب

منظور از مجموع دو مکعب عبارت های به شکل $A^{3}+B^{3}$ می باشد در حالی که منظور از تفاضل دو مکعب عبارت های به شکل $A^{3}-B^{3}$ است. در جلسه قبل آموختیم که

$A^{3}+B^{3}~=~(A+B)(A^{2}-AB+B^{2})~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ A^{3}-B^{3}~=~(A-B)(A^{2}+AB+B^{2})$

حال می خواهیم از این دو اتحاد برای تجزیه عبارت های جبری استفاده کنیم.

مثال یک: عبارت $27x^{3}-1$ را تجزیه کنید.

پاسخ: اگر فرض کنیم $A= 3x$ و $B=1$ آنگاه داریم

$27x^{3}-1 ~=~(3x)^{3}-1^{3}~=~(3x-1)\left((3x)^{2} +3x \times 1 +1^{2} \right)$

$27x^{3}-1 ~=~ (3x-1)\left(9x^{2} +3x +1 \right)$

مثال دو: عبارت $x^{6}+8$ را تجزیه کنید.

پاسخ: اگر فرض کنیم $A= x^{2}$ و $B=2$ آنگاه داریم

$x^{6}+8 ~=~(x^{2})^{3}+2^{3}~=~(x^{2}+2)\left( x^{4} -2 x^{2} +4 \right)$

تمرین: درستی این فاکتورگیری ها را با بسط عبارت سمت راست نشان دهید.

فاکتورگیری کامل

وقتی یک عبارت جبری را تجزیه می کنیم، گاهی اوقات همچنان می توان نتیجه حاصل شده را حتی بیشتر تجزیه کرد. در حالت کلی، ما در ابتدا فاکتورهای های مشترک را پیدا می کنیم؛ آنگاه نتیجه به دست آمده را بیشتر تحلیل کرده تا “شاید” فاکتورهای جدیدی در آن پیدا شوند. این فرایند را تا وقتی که عبارت جبری مورد نظر کاملا تجزیه شود ادامه می دهیم.

به دو مثال زیر دقت کنید:

لطفا دقت کنید که عبارت $x^{2}+y^{2}$ را نمی توان تجزیه کرد ( چرا؟).

فاکتورگیری عبارت های جبری با توان های کسری

عبارت های جبری با توان های کسری را نیز می توان تجزیه کرد ( اینکار در محاسبات آینده بسیار اهمیت خواهد داشت. ). برای فاکتورگیری عبارت های جبری با توان های کسری باید اول کاری کنیم که توان ها طبیعی شوند. این مرحله بسیار مهم را می توان با فاکتورگیری از یکی از عامل ها با توان کسری انجام داد. ادامه ماجرا بسیار شبیه به تجزیه عبارت های جبری که در بخش های قبل دیدیم خواهد بود.

معمولا بهترین راه، فاکتور گرفتن از جمله با پایین ترین توان کسری است.

به دو مثال زیر دقت کنید:

تمرین: درست بودن فاکتورگیری های بالا را با بسط دادن عبارت های سمت راست نشان دهید.

فاکتورگیری با گروه بندی جملات

بعضی اوقات می توان چندجمله ای های با حداقل چهار جمله را با استفاده از روشی به نام “گروه بندی جملات” تجزیه کرد.

به دو مثال زیر دقت کنید:

تمرین: درست بودن فاکتورگیری های بالا را با بسط دادن عبارت های سمت راست نشان دهید.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی فاکتورگیری را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

منظور از فاکتورگیری ( تجزیه ) را توضیح دهید.
منظور از فاکتور ( عامل ) مشترک چیست؟ بزرگترین عامل مشترک کدام است؟
چطور می توانیم نتیجه فاکتورگیری خود را از لحاظ درست بودن بررسی کنیم؟
چطور می توانیم یک سه جمله ای به شکل $x^{2}+bx+c$ را تجزیه کنیم. آیا چنین سه جمله ای همیشه تجزیه پذیر است؟
چطور می توانیم یک سه جمله ای به شکل $ax^{2}+bx+c$ را تجزیه کنیم. آیا چنین سه جمله ای همیشه تجزیه پذیر است؟
اتحاد تفاضل دو مربع را بنویسید. از این اتحاد برای تجزیه چه نوع عبارت های جبری می توان استفاده کرد؟
اتحادهای مجموع و تفاضل دو مکعب را بنویسید. از این اتحادها برای تجزیه چه نوع عبارت های جبری می توان استفاده کرد؟
چه نوع عبارت جبری را مربع کامل می گویند؟
منظور از فاکتورگیری کامل چیست؟
چطور می توان عبارت های جبری با توان های کسری را تجزیه کرد؟
فاکتورگیری با گروه بندی جملات را توضیح دهید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

در هرکدام از عبارت های زیر فاکتور مشترک را یافته و عبارت جبری مورد نظر را تجزیه کنید.

سه جمله ای های زیر را تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر به شکل تفاضل دو مربع هستند. آنها را تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر به شکل مربع کامل هستند. آنها را تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر به شکل مجموع و تفاضل دو مکعب هستند. آنها را تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر را با فاکتورگیری کامل تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر شامل توان های کسری هستند. این عبارت های جبری را تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر را با استفاده از روش فاکتورگیری کامل تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر را با استفاده از روش فاکتورگیری کامل تجزیه کنید.

عبارت های جبری زیر را فاکتورگیری و سپس ساده کنید.

درس بعدی: عبارت های جبری گویا

برخی از روابط جبری به صورت کسر دو چندجمله ای نوشته می شوند، مانند

$\frac{x^{2}+2x+2}{x^{4}+3x^{2}-5}$

این نوع عبارت های جبری را عبارت های گویا می نامیم و بسیار مهم است که بتوانیم دامنه اعتبار این نوع عبارت های جبری را به دقت تعیین کنیم. در دو جلسه آینده با عبارت های جبری گویا آشنا خواهیم شد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

۱۰. فاکتورگیری

آنچه گذشت: عبارت های جبری و اتحادها

فاکتور مشترک و فاکتورگیری سه جمله ای ها

فاکتور ( عامل ) مشترک

فاکتور ( عامل ) مشترک: خارج کردن یک عامل مشترک

تجزیه سه جمله ای ها به کمک تغییر متغیر

فاکتورگیری به کمک اتحادها

اتحادها به کمک تجزیه می آیند.

تفاضل دو مربع

مربع کامل

مجموع دو مکعب — تفاضل دو مکعب

فاکتورگیری کامل

فاکتورگیری عبارت های جبری با توان های کسری

فاکتورگیری با گروه بندی جملات

نکات مهم این درس

تمرین

درس بعدی: عبارت های جبری گویا

منابع درس

نظر بدهید لغو پاسخ

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

ورود با حساب کاربری سایت شما

Register a new account

Modal title