۱۱. ترکیب توابع

آنچه گذشت: ترکیب توابع

اگر نمودار تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم، نمودار تابع $y=af(bx+c)+d$ چگونه خواهد بود؟

چهار عمل اصلی بر روی توابع

ساختن توابع جدید با استفاده از توابع شناخته شده

در این درس می آموزیم که چطور می توان با ترکیب دو و یا چند تابع، توابع جدیدی بوجود آورد. این موضوع را با بررسی چهار عمل اصلی بر روی توابع شروع می کنیم.

اگر دو تابع مانند $f$ و $g$ داشته باشیم، آنگاه می توان با استفاده از این دو تابع توابع جمع $f +g$ ، تفریق $f -g$ ، ضرب $f g$ و تقسیم $f /g$ دو تابع را ساخت. طریقه ساختن این توابع مشابه با جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد حقیقی است.

مثلا تابع حاصلجمع $f+g$ در هر نقطه مانند $x$ برابر است با جمع مقدار دو تابع در آن نقطه:

$\left( f+g \right) (x)=f(x)+g(x)$

طبیعتا این حاصلجمع برای مقادیری از $x$ تعریف می شود که در دامنه هر دو تابع $f$ و $g$ موجود باشند. یعنی، دامنه تابع $f+g$ برابر است با اشتراک دامنه های توابع $f$ و $g$ .

به همین صورت می توانیم تفریق، ضرب و تقسیم توابع را تعریف کنیم. البته درباره تقسیم دو تابع باید به یاد داشته باشیم که تابع موجود در مخرج باید غیر صفر باشد.

لطفا دقت کنید که عبارت $\left( f+g \right) (x)$ به معنی ضرب $f+g$ در $(x)$ نیست ، بلکه به معنی اثر تابع مجموع $\left( f+g \right) (x)$ بر روی کمیت $x$ می باشد. اگر به اثر توابع حاصلضرب و تقسیم در ادامه دقت کنیم، این نکته روشن می شود.

اگر دو تابع مانند $f$ و $g$ داشته باشیم، که دامنه آنها به ترتیب $A$ و $B$ باشد، آنگاه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم این دو تابع به صورت زیر تعریف می شود:

به دامنه هر تابع، و مخصوصا دامنه تابع تقسیم، دقت کنید. در سه مورد اول، دامنه عبارت است از اشتراک مجموعه های $A$ و $B$ . دامنه تابع تقسیم نیز برابر است با اشتراک مجموعه های $A$ و $B$ با این شرط که نقاطی که مخرج در آنها صفر می شود از دامنه حذف شود.

به نمادگذاری $\left( fg \right) (x) = f(x)~g(x)$ و $\left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ دقت کنید. این نمادگذاری به معنی اثر توابع حاصلضرب و تقسیم بر کمیت $x$ است.

چهار عمل اصلی بر روی توابع — مثال

دو تابع $f(x)= \frac{1}{x-2}$ و $g(x)= \sqrt{x}$ را در نظر بگیرید. الف) توابع جمع $f+g$ ، تفریق $f-g$ ، ضرب $f g$ و تقسیم $f/g$ این دو تابع، و دامنه آنها، را بیابید. ب) مقادیر این چهار تابع در نقطه $x=4$ را بیابید.

پاسخ الف: دامنه تابع $f(x)$ به صورت $\left\lbrace x|x \neq 2 \right\rbrace$ و دامنه تابع $g(x)$ به صورت $\left\lbrace x|x \geq 0 \right\rbrace$ به دست می آید. اشتراک این دو مجموعه نیز برابر است با

$\left\lbrace x|x \geq 0~ \& ~x \neq 2 \right\rbrace=\left[0,~2 \right) \cup \left( 2,~\infty \right)$

حال برای توابع خواسته شده داریم:

به تفاوت دامنه تابع $f/g$ و دامنه سه تابع دیگر توجه کنید.

پاسخ ب: مقدار این توابع در نقطه $x=4$ :

جمع نموداری توابع

نمودار تابع $f+g$ را می توان با استفاده از نمودار توابع $f$ و $g$ به دست آورد؛ به این ترتیب که در هر $x$ معلوم، مولفه های $y$ دو تابع $f$ و $g$ را با هم جمع می کنیم تا مولفه $y$ تابع $f+g$ پیدا شود. به مثال زیر دقت کنید.

مثال: در شکل سمت چپ، نمودار دو تابع $f$ و $g$ داده شده است. نمودار تابع $f+g$ را بیابید.

پاسخ: برای پیدا کردن نمودار تابع $f+g$ ، مقادیر $y$ دو تابع $f$ و $g$ را با هم جمع می کنیم (در هر طول معلوم $x$ ). شکل سمت راست را ببینید.

ترکیب توابع

ترکیب دو تابع برای ساختن توابع جدید

فرض کنید توابع $f(x)=\sqrt{x}$ و $g(x)=x^{2}+1$ به ما داده شده اند. با استفاده از این دو تابع می توانیم تابع زیر را تعریف کنیم:

$h(x)=f \left( g(x) \right)=f( x^{2}+1 )=\sqrt{ x^{2}+1 }$

تابع $h(x)$ به صورت جالبی از دو تابع $f$ و $g$ ساخته شده است: فرض کنید متغیر مستقل (ورودی) $x$ داده شده است. ما در ابتدا تابع $g$ را بر آن اعمال می کنیم که حاصل آن $x^{2}+1$ خواهد شد. آنگاه تابع $f$ را بر $x^{2}+1$ اعمال می کنیم تا تابع نهایی $h(x)$ به دست آید. ترتیب اثر این توابع بسیار مهم است. به شکل زیر توجه کنید:

روش کلی پیداکردن $f \left( g(x) \right)$ به این صورت است: یک عدد دلخواه مانند $x$ در دامنه $g$ را انتخاب کنید و اثر تابع $g$ بر آن را محاسبه کنید؛ حاصل $g(x)$ خواهد بود. اگر عدد $g(x)$ در دامنه تابع $f(x)$ موجود بود، آنگاه می توان مقدار $f \left( g(x) \right)$ را پیدا کرد. نتیجه را $h(x)=f \left( g(x) \right)$ می نامیم که با جایگذاری تابع $g$ در تابع $f$ به دست آمده است. این عمل را ترکیب توابع $f$ و $g$ می نامیم و با $f \circ g$ نشان می دهیم.

فرض کنید توابع $f$ و $g$ به ما داده شده اند. در این صورت تابع مرکب $f \circ g$ به صورت زیر تعریف می شود:

$f \circ g = f \left( g(x) \right)$

دقت کنید که نتیجه $f \circ g = f \left( g(x) \right)$ در حالت کلی متفاوت از $g \circ f = g \left( f(x) \right)$ می باشد. در تابع $f \circ g$ اول تابع $g$ بر $x$ اثر می کند و سپس تابع $f$ بر نتیجه $g(x)$ عمل می کند. در تابع $g \circ f$ ترتیب عمل برعکس است. به مثال های بعد دقت کنید.

دامنه تابع $f \circ g$ عبارت است از همه $x$ های موجود در دامنه $g$ به طوری که $g(x)$ در دامنه $f$ موجود باشد. به عبارت دیگر، $f \circ g$ فقط وقتی تعریف می شود که هر دو عبارت $g(x)$ و $f \left( g(x) \right)$ تعریف شده باشند. به شکل زیر دقت کنید.

ترکیب توابع — مثال اول

مثال: توابع $f(x)=x^{2}$ و $g(x)=x-3$ را در نظر بگیرید. الف) توابع $f \circ g$ و $g \circ f$ و دامنه های آنها را بیابید. ب) مقادیر $( f \circ g ) (5)$ و $( g \circ f ) (7)$ را بیابید.

پاسخ الف:

همچنین، دامنه تابع $f \circ g$ همه اعداد حقیقی است زیرا هر خروجی تابع $g$ می تواند به عنوان ورودی تابع $f$ به کار رود. به همین صورت دامنه تابع $g \circ f$ نیز مجموعه اعداد حقیقی است.

پاسخ ب:

دقت کنید که $f \circ g \neq g \circ f$ .

ترکیب توابع — مثال دوم

مثال: توابع $f(x)= \sqrt{x}$ و $g(x)=\sqrt{2-x}$ را در نظر بگیرید. توابع $f \circ g$ ، $g \circ f$ ، $f \circ f$ و $g \circ g$ را بیابید.

پاسخ اولی:

همچنین، دامنه این تابع عبارت است از:

پاسخ دومی:

همچنین، برای دامنه تابع $\sqrt{x}$ داریم: $x \geq 0$ . ازطرفی باید داشته باشیم: $2-\sqrt{x}\geq 0~~~\Rightarrow~~~ x \leq 4~~$ . بنابراین، دامنه تابع $g \circ f$ عبارت است از $0 \leq x \leq 4$ .

به نمودار این دو تابع دقت کنید.

پاسخ سومی:

همچنین، دامنه این تابع عبارت است از: $x \geq 0~~~$ .

پاسخ چهارمی:

همچنین، برای دامنه تابع $\sqrt{2-x}$ داریم: $x \leq 2$ . ازطرفی باید داشته باشیم:

$2- \sqrt{2-\sqrt{x}} \geq 0~~~\Rightarrow~~~ 2-x \leq 4~~~\Rightarrow~~~x \geq -2$

بنابراین، دامنه تابع $g \circ g$ عبارت است از $-2 \leq x \leq 2$ .

به نمودار این دو تابع دقت کنید.

ترکیب چند تابع

البته می توان ترکیب سه و یا تعداد بیشتری تابع را نیز ساخت. برای مثال ترکیب $f \circ g \circ h$ را می توان با اعمال تابع $h$ ، سپس تابع $g$ و در نهایت تابع $f$ ساخت:

$f \circ g \circ h = f \left(~ g \left(~ h(x) ~\right) ~\right)$

مثال: حاصل $f \circ g \circ h$ را بیابید اگر $f(x)=x/(x+1)$ ، $g(x)=x^{10}$ و $h(x)=x+3$ .

پاسخ:

پرسش: دامنه این تابع چیست؟

تشخیص توابع تشکیل دهنده یک تابع مرکب

تاکنون از ترکیب توابع استفاده کرده ایم تا توابع نسبتا پیچیده را، به کمک توابع ساده تر، بسازیم. ولی در حسابان برخی اوقات لازم است که یک تابع پیچیده را به صورت ترکیب چند تابع ساده بنویسیم. به مثال زیر دقت کنید.

مثال: تابع $F(x)=\sqrt[4]{x+9}$ را در نظر بگیرید. توابع $f$ و $g$ را طوری بیابید که $F= f \circ g$ .

پاسخ: بنا به رابطه $F(x)=\sqrt[4]{x+9}$ ، ما باید ابتدا عدد 9 را به $x$ اضافه کرده و سپس ریشه چهارم نتیجه حاصله را بیابیم. بنابراین با انتخاب

$g(x)=x+9,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(x)=\sqrt[4]{x}$

داریم:

$( f \circ g ) (x)=f(~g(x)~)=f(~x+9~)= \sqrt[4]{x+9}=F(x)$

پرسش: آیا این انتخاب توابع یکتاست؟

کاربرد ترکیب توابع

کمیت های فیزیکی معمولا در اثر تغییر در کمیت های مشخص دیگر عوض می شوند.

وقتی با توابع مربوط به دنیای واقعی کار می کنیم، معمولا متغیرهای مربوطه را بر اساس نام لاتین آن کمیت ها انتخاب می کنیم. مثلا $t$ برای زمان، $d$ برای فاصله، $V$ برای حجم و … .

برای مثال اگر هوا به درون بالنی پمپاژ شود، آنگاه شعاع $R$ بالن تابعی از حجم بالون، و بنابراین حجم هوای پمپاژ شده به بالن، خواهد بود: $R=f(V)$ . از طرفی، این حجم با زمان زیاد می شود: $V=g(t)$ ؛ بنابراین، شعاع بالن در نهایت تابعی از زمان خواهد بود: $R=f(g(t))$ .

به مثال زیر دقت کنید.

کاربرد ترکیب توابع — مثال

یک کشتی با سرعت $20~mi/h$ به موازات ساحل، و با فاصله $5~mi$ از ساحل، در حال حرکت است. کشتی از مقابل فانوس دریایی در ساعت 12:00 ظهر عبور می کند.

الف) فاصله $s$ بین فانوس دریایی و کشتی را به عنوان تابعی از فاصله پیموده شده توسط کشتی از ظهر $d$ ، بیابید.

پاسخ: با استفاده از قضیه فیثاغورس داریم:

$s=f(d)=\sqrt{d^{2}+5^{2}}$

ب) فاصله پیموده شده توسط کشتی از ظهر، یعنی $d$ ، را به عنوان تابعی از زمان $t$ بیابید.

پاسخ: یادآوری، سرعت برابر است با فاصله بخش بر زمان طی شدن فاصله.

$d=g(t)=20t$

پ) تابع $f \circ g$ را بیابید و معنی آن را توضیح دهید.

پاسخ:

$(f \circ g ) (t)=f(~g(t)~)=f(20t)=\sqrt{25+(20t)^{2}}$

این تابع نشان دهنده فاصله بین فانوس دریایی و کشتی به عنوان تابعی از زمان است.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های ترکیب توابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

اگر دو تابع $f$ و $g$ را داشته باشیم، تعریف توابع جمع، تفریق، ضرب و تقسیم این دو تابع را بنویسید.
دامنه هرکدام از توابع جمع، تفریق، ضرب و تقسیم دو تابع، مانند $f$ و $g$ ، چطور به دست می آید؟
درباره نمادگذاری $\left( f g \right) (x) = f(x)~g(x)$ و $\left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ توضیح دهید.
چطور می توان جمع نموداری دو تابع را انجام داد؟
مفهوم $f(g(x))$ را توضیح دهید. به عبارت دیگر، به صورت دقیق بگویید این مقدار چگونه به دست می آید؟
دامنه تابع مرکب $f(g(x))$ چگونه به دست می آید؟
نمادگذاری های مورد استفاده برای تابع مرکب، و شیوه تلفظ آنها، را بیان کنید.
ترکیب $(f \circ g \circ h) (x)$ به چه معناست؟
چطور می توان توابع تشکیل دهنده یک تابع مرکب را تشخیص داد؟
یک مثال از کمیت های فیزیکی بیاورید که در آن تابعی مرکب داشته باشیم.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

توابع جمع $f+g$ ، تفریق $f-g$ ، ضرب $f g$ و تقسیم $f/g$ را برای هرکدام از موارد زیر بیابید. در هر مورد دامنه را نیز تعیین کنید.

دامنه توابع زیر را بیابید.

جمع دو تابع $g$ و $f$ را به روش نموداری بیابید.

در هر مورد، توابع $g$ ، $f$ و $f+g$ را رسم کنید و بر اساس این نمودارها، قانون جمع نموداری را توضیح دهید.

برای توابع $f(x)=2x-3$ و $g(x)=4-x^{2}$ مقادیر زیر را به دست آورید.

از نمودار توابع $f$ و $g$ استفاده کرده و مقادیر خواسته شده را بیابید.

از جدول زیر استفاده کرده و مقادیر خواسته شده را بیابید.

توابع $f \circ g$ ، $g \circ f$ ، $f \circ f$ و $g \circ g$ را در هر مورد بیابید و دامنه آنها را نیز تعیین کنید.

تابع $f \circ g \circ h$ را در هر مورد بیابید و دامنه آن را نیز تعیین کنید.

برای هر کدام از توابع زیر دو تابع $f$ و $g$ بیابید به طوری که $f \circ g$ برابر تابع داده شده شود.

برای هر کدام از توابع زیر سه تابع $f$ ، $g$ و $h$ بیابید به طوری که $f \circ g \circ h$ برابر تابع داده شده شود.

درس بعدی: توابع یک به یک و وارون آنها

در دو جلسه بعد دسته بسیار مهمی از توابع، به نام توابع یک به یک، را بررسی خواهیم کرد. این توابع وارون پذیرند و بنابراین از اهمیت فوق العاده ای برخوردارند.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه