۱۲. توابع یک به یک و وارون آنها

آنچه گذشت: ترکیب توابع

اگر دو تابع مانند $f$ و $g$ داشته باشیم، که دامنه آنها به ترتیب $A$ و $B$ باشد، آنگاه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم این دو تابع به صورت زیر تعریف می شود:

فرض کنید توابع $f$ و $g$ به ما داده شده اند. در این صورت تابع مرکب $f \circ g$ به صورت زیر تعریف می شود:

$f \circ g = f \left( g(x) \right)$

توابع یک به یک

توابع یک به یک معکوس پذیر هستند.

معکوس (و یا وارون inverse) یک تابع عملی است که بر خروجی یک تابع عمل می کند و ورودی متناظر را به دست می دهد. بنابراین، در واقع وارون تابع عمل تابع را بی اثر می کند. همه توابع معکوس پذیر نیستند؛ بلکه فقط توابع یک به یک (one-to-one) معکوس پذیر هستند.

دو تابع مانند $f$ و $g$ با نمودار پیکانی زیر را در نظر بگیرید. توجه کنید که به ازای ورودی های مختلف، تابع $f$ خروجی های مجزایی دارد. ولی این برای تابع $g$ برقرار نیست: نتیجه اثر تابع $g$ بر هر دو عدد 2 و 3 برابر 4 است. به عبارت دیگر، $g(2)= g(3)$ در حالی که برای هر $x_{1}\neq x_{2}$ داریم $f(x_{1}) \neq f( x_{2})$ . توابعی مانند تابع $f$ را توابع یک به یک می نامیم.

تعریف تابع یک به یک: تابعی با دامنه $A$ را یک به یک می گوییم اگر هیچ دو عضو از دامنه تصویر یکسانی نداشته باشند. به عبارت دیگر، تابع یک به یک است اگر به ازای هر $x_{1}\neq x_{2}$ داشته باشیم $f(x_{1}) \neq f( x_{2})$ .

آزمون خط افقی برای تشخیص توابع یک به یک

یک راه معادل برای تشخیص توابع یک به یک این است که اگر $f(x_{1}) = f( x_{2})$ آنگاه $x_{1} = x_{2}$ .

اگر یک خط افقی نمودار تابعی را در بیش از یک نقطه قطع کند، آنگاه از شکل زیر می بینیم که اعدادی مانند $x_{1} \neq x_{2}$ وجود دارند که برای آنها داریم $f(x_{1}) = f( x_{2})$ . پس چنین تابعی نمی تواند یک به یک باشد. بنابراین به روش هندسی زیر برای تشخیص توابع یک به یک می رسیم:

آزمون خط افقی برای تشخیص توابع یک به یک: تابع یک به یک است اگر و فقط اگر هیچ خط افقی نمودار آن را در بیش از یک نقطه قطع نکند.

تشخیص توابع یک به یک — مثال اول

آیا تابع $f(x)=x^{3}$ یک به یک است؟

پاسخ (راه حل اول): اگر $x_{1} \neq x_{2}$ آنگاه $x^{3}_{1} \neq x^{3}_{2}$ . زیرا دو عدد متفاوت حتما مکعب های متفاوتی خواهند داشت. بنابراین داریم $f(x_{1}) \neq f( x_{2})$ و تابع $f(x)=x^{3}$ تابعی یک به یک است.

$x_{1} \neq x_{2}~~~~\Rightarrow~~~~x^{3}_{1} \neq x^{3}_{2}~~~~\Rightarrow~~~~f(x_{1}) \neq f( x_{2})$

البته می توان از برابری $f(x_{1}) = f( x_{2})$ نیز نتیجه گرفت که $x_{1} = x_{2}$ ؛ و باز هم تابع مورد نظر یک به یک خواهد بود.

$f(x_{1}) = f( x_{2}) ~~~~\Rightarrow~~~~x^{3}_{1} = x^{3}_{2}~~~~\Rightarrow~~~~ x_{1} =x_{2}$

پاسخ ( راه حل دوم ): نمودار تابع $f(x)=x^{3}$ را رسم کرده و با استفاده از آزمون خط افقی به این نتیجه می رسیم که تابع مورد نظر یک به یک است.

توجه کنید که تابع بالا اکیدا صعودی و یک به یک است. در واقع می توان ثابت کرد که هر تابع اکیدا صعودی و یا اکیدا نزولی یک به یک است.

تشخیص توابع یک به یک — مثال دوم

آیا تابع $g(x)=x^{2}$ یک به یک است؟

پاسخ ( راه حل اول ): اگر $x_{1} \neq x_{2}$ آنگاه در حالت کلی رابطه $x^{2}_{1} \neq x^{2}_{2}$ نتیجه نمی شود. دلیل این حالت این است که مثلا وقتی داریم $x_{1} =- x_{2}$ آنگاه مربع های این دو عدد متفاوت، با هم برابر خواهند شد. مثلا $g(1)=g(-1)=1$ . پس تابع به وضوح یک به یک نیست.

همچنین، توجه می کنیم که نمی توان از برابری $g(x_{1}) = g( x_{2})$ نتیجه گرفت که $x_{1} = x_{2}$ :

$g(x_{1}) = g( x_{2}) ~~~~\Rightarrow~~~~x^{2}_{1} = x^{2}_{2}~~~~\Rightarrow~~~~ x_{1} =\pm x_{2}$

یعنی تابع مورد نظر یک به یک نیست.

پاسخ (راه حل دوم): نمودار تابع $g(x)=x^{2}$ را رسم کرده و با استفاده از آزمون خط افقی به این نتیجه می رسیم که تابع مورد نظر یک به یک نیست.

اگرچه می توان دامنه تابع $g(x)=x^{2}$ را به صورتی محدود کرد که نتیجه تابعی یک به یک شود:

$g(x)=x^{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~x \geq 0$

از این نکته بعدها استفاده خواهیم کرد.

وارون (معکوس) یک تابع

توابع یک به یک از این جهت اهمیت دارند که می توان برای آنها تابع وارون (معکوس) را تعریف کرد:

فرض کنید که $f$ تابعی یک به یک با دامنه $A$ و برد $B$ می باشد. آنگاه، تابع وارون تابع $f$ ، که آن را با $f^{-1}$ نشان می دهیم، به ازای هر $y$ در مجموعه $B$ به صورت زیر تعریف می شود:

$f^{-1}(y)=x~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~f(x)=y$

دامنه تابع وارون مجموعه $B$ و برد آن مجموعه $A$ می باشد.

بنا به تعریف، اگر تابع $f$ مقداری از دامنه مانند $x$ را به مقداری از برد مانند $y$ تصویر کند، آنگاه تابع وارون $f^{-1}$ عمل عکس را انجام می دهد؛ یعنی $y$ را به $x$ تصویر می کند. شکل زیر را ببینید.

اگر تابع $f$ یک به یک نباشد، آنگاه نمی توان تابع وارون، یعنی $f^{-1}$ ، را به صورت یکتا برای آن تعریف کرد. به همین دلیل است که تابع وارون را حتما برای توابع یک به یک تعریف می کنیم.

دقت کنید که $D_{f^{-1}}=R_{f},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D_{f}=R_{f^{-1}}~~~~~~~~$

لطفا دقت کنید که تابع وارون $f^{-1}$ اصلا و ابدا به معنی توان منفی یک تابع نیست!

$f^{-1} (x) \neq \frac{1}{f(x)}$

یافتن تابع وارون از روی نمودار پیکانی

فرض کنید داریم $f(1)=5,~~~~~~~f(3)=7,~~~~~~~f(8)=-10~~~~~~~~~~~~~~~~$ . در این صورت مقادیر $f^{-1}(5)$ ، $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(-10)$ را بیابید.

توجه می کنیم که تابع یک به یک است. از تعریف تابع وارون داریم:

$f(1)=5~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~f^{-1}(5)=1$

$f(3)=7~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~f^{-1}(7)=3$

$f(8)=-10~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~f^{-1}(-10)=8$

دقت کنید که در هر مورد، تابع وارون عکس عمل تابع اولیه را انجام می دهد؛ یعنی عملا جای $x$ و $y$ در این دو تابع عوض می شود. همین نتایج را می توان از نمودار پیکانی زیر به دست آورد.

یافتن تابع وارون از روی جدول مقادیر و یا نمودار تابع

مقادیر تابع معکوس را می توان از روی جدول مقادیر تابع و یا نمودار تابع هم به دست آورد. به مثال زیر دقت کنید.

الف) جدول بالا مقادیر تابع $h$ را نشان می دهد (دقت کنید که تابع یک به یک است). با استفاده از این جدول داریم:

$h(3)=8~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~h^{-1}(8)=3~~~~~~~$

$h(4)=12~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~h^{-1}(12)=4~~~~~~~~$

$h(6)=3~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~h^{-1}(3)=6~~~~~~~$

ب) نمودار تابع $f$ نیز در سمت راست شکل بالا مشخص است. با استفاده از این نمودار داریم:

$f(7)=5~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~f^{-1}(5)=7$

$f(4)=3~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~f^{-1}(3)=4$

ویژگی های تابع وارون

همانطور که اشاره شد، تابع وارون عملِ تابع $f$ را برمی گرداند: یعنی اگر با متغیر مستقل $x$ شروع کنیم و تابع $f$ را تاثیر داده و آنگاه تابع وارون $f^{-1}$ را اثر دهیم، آنگاه دوباره به $x$ می رسیم. به طریق مشابه، تابع $f$ هم اثر تابع وارون را برمی گرداند. در حالت کلی نیز هر تابعی که اثر تابع $f$ را برگرداند، باید تابع وارون تابع $f$ باشد. این نکات مهم را می توان به صورت ویژگی های تابع وارون در زیر خلاصه کرد:

فرض کنید که تابع $f$ تابعی یک به یک با دامنه $A$ و برد $B$ می باشد. در این صورت تابع وارون حتما در ویژگی های زیر صدق می کند:

برای هر $x$ در مجموعه $A$ داریم: $f^{-1}(~f(x)~)=x$ .
برای هر $x$ در مجموعه $B$ داریم: $f(~f^{-1}(x)~)=x$ .

به صورت عکس، هر تابعی که در این دو ویژگی صدق کند، تابع وارون تابع $f$ خواهد بود.

این ویژگی ها بیان می کنند که توابع $f$ و $f^{-1}$ معکوس (وارون) همدیگر هستند.

مثال:

نشان دهید که توابع $f(x)=x^{3}$ و $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$ معکوس (وارون) همدیگر هستند.

پاسخ:

$g(~f(x)~)=g(x^{3})=(x^{3})^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{3}}=x$

$f(~g(x)~)=f(x^{\frac{1}{3}})=(x^{\frac{1}{3}})^{3}=x^{\frac{3}{3}}=x$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های مهم توابع یک به یک و وارون آنها را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

تابع وارون چه نوع تابعی است؟
چرا توابع غیر یک به یک، تابع وارون یکتا ندارند؟
تابع یک به یک را تعریف کنید.
راه های جبری تشخیص تابع یک به یک را بیان کنید.
چطور می توان یک به یک بودن یک معادله را از روی نمودار آن تشخیص داد؟
نمودار پیکانی توابع یک به یک چه ویژگی دارد؟
توضیح دهید که چرا هر تابع اکیدا صعودی ( و یا اکیدا نزولی ) یک به یک است.
آیا ممکن است که تابعی بر روی تمام دامنه اش یک به یک نباشد، ولی بر روی قسمتی از دامنه اش یک به یک باشد؟ توضیح دهید.
تعریف دقیق تابع وارون را بنویسید. نحوه عمل تابع وارون را با استفاده از نمودار پیکانی توضیح دهید.
دامنه و برد یک تابع و تابع وارون آن چه رابطه ای با هم دارند؟
چطور می توان از روی جدول مقادیر یک تابع، جدول مقادیر تابع وارون را ساخت؟
چطور می توان از روی نمودار یک تابع، نمودار تابع وارون را ساخت؟ به این سوال در درس بعدی پاسخ مفصل خواهیم داد.
دو ویژگی اصلی تابع وارون را بیان کنید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

نمودار تابع $f$ داده شده است. آیا تابع $f$ یک یه یک است؟ آیا تابع $f$ وارون پذیر است؟ اگر بله، مقادیر $f^{-1}(1)$ و $f^{-1}(3)$ را بیابید.
الف) اگر نقطه $(3,~4)$ بر روی نمودار تابع $f$ قرار داشته باشد، آنگاه چه نقطه متناظری بر روی نمودار تابع وارون $f^{-1}$ قرار خواهد داشت؟

ب) اگر نقطه $(-1,~2)$ بر روی نمودار تابع وارون $f^{-1}$ قرار داشته باشد، آنگاه چه نقطه متناظری بر روی نمودار تابع $f$ قرار خواهد داشت؟

نمودارهای زیر را ببینید. الف) کدامیک از این نمودارها نشان دهنده توابع یک به یک هستند؟ ب) کدامیک وارون پذیرند؟

کدامیک از توابع زیر یک به یک هستند؟

با استفاده از نمودار تابع $f$ مقادیر خواسته شده را بیابید.

از جدول زیر استفاده کرده و مقادیر خواسته شده را بیابید.

از ویژگی های تابع معکوس استفاده کرده و نشان دهید که توابع $f$ و $g$ وارون همدیگر هستند.

درس بعدی: پیدا کردن تابع وارون

در جلسه بعد به این پرسش خواهیم پرداخت که چطور می توان وارون یک تابع یک به یک را یافت. همچنین درباره ارتباط نمودار یک تابع و تابع وارون آن بحث خواهیم کرد. به علاوه، برخی کاربردهای تابع وارون را به اختصار خواهیم دید.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه