۱۲. عبارت های جبری گویا – بخش دوم

آنچه گذشت: دامنه، ساده سازی، ضرب و تقسیم عبارت های جبری

 

• دامنه اعتبار ( درستی ) عبارت جبری: دامنه () یک عبارت جبری مجموعه ای از اعداد حقیقی است که متغیر آن عبارت جبری مجاز به پذیرفتن آن اعداد است.

 

• برای ساده سازی عبارت های جبری گویا ما صورت و مخرج را تجزیه کرده و و سپس از ویژگی زیر برای ساده سازی عبارت مورد نظر استفاده می کنیم:

 

 

• برای ضرب عبارت های جبری گویا از ویژگی زیر استفاده می کنیم:

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}=\frac{A \times C}{B \times D}

*** Error message:
Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 28: Operation timed out after 10001 milliseconds with 0 out of 0 bytes received
Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.)
These links might help in finding solution:
http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/
http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

 

برای تقسیم عبارت های جبری گویا از ویژگی زیر استفاده می کنیم:

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\frac{A}{B} \div \frac{C}{D}=\frac{A}{B} \times \frac{D}{C}=\frac{A \times D}{B \times C}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} =\frac{A \times D}{B \times C}

*** Error message:
Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 28: Operation timed out after 10001 milliseconds with 0 out of 0 bytes received
Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.)
These links might help in finding solution:
http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/
http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

 

 

جمع و تفریق عبارت های جبری گویا

 

برای جمع و تفریق عبارت های جبری گویا ما در ابتدا یک مخرج مشترک دو کسر را پیدا کرده و سپس از روابط زیر برای جمع و یا تفریق دو عبارت استفاده می کنیم:

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-B}{C}

*** Error message:
Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 28: Operation timed out after 10000 milliseconds with 0 out of 0 bytes received
Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.)
These links might help in finding solution:
http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/
http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

 

گرچه هر مخرج مشترک دو کسر برای انجام اینکار مناسب خواهد بود، معمولا بهتر است که از کوچکترین مخرج مشترک دو کسر استفاده کنیم. کوچکترین مخرج مشترک دو کسر را می توان با تجزیه مخرج ها و ضرب عامل های مجزای دو مخرج در هم به دست آورد (از بالاترین توان های عامل ها استفاده کنید).

 

حاصل جمع دو کسر گویای زیر را محاسبه کنید.

 

 

دقت کنید که در سطر اول کوچکترین مخرج مشترک (یعنی ) را پیدا کرده و سپس کسرها را با استفاده از آن بازنویسی کرده ایم. حال دو کسر مخرج مشترکی دارند. آنگاه با استفاده از رابطه بالا حاصلجمع را محاسبه کرده (سطر دوم) و سپس نتیجه را در سطر آخر ساده سازی می کنیم.

 

حاصل تفریق دو کسر گویای زیر را محاسبه کنید.

 

 

دقت کنید که در سطر اول مخرج دو کسر را تجزیه کرده ایم. سپس، در سطر دوم، کوچکترین مخرج مشترک (یعنی ) را پیدا کرده و از رابطه بالا  حاصل تفریق را محاسبه کرده ایم (سطر دوم). آنگاه نتیجه را در سطرهای بعد ساده سازی نموده ایم.

 

اشتباه رایج

 

اشتباه رایج زیر را انجام ندهید.

 

 

با محاسبه ای ساده، مثل محاسبه زیر، می توانید نشان دهید که رابطه بالا نادرست است:

 

 

روش جمع و تفریق دو کسر در حالت کلی ( اگر کوچکترین مخرج مشترک را نیافتید! ):

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{AD-BC}{BD}

*** Error message:
Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 28: Operation timed out after 10001 milliseconds with 0 out of 0 bytes received
Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.)
These links might help in finding solution:
http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/
http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

 

 

کسرهای مرکب

 

کسر مرکب و ساده سازی آنها

 

کسر مرکب کسری است که در آن صورت کسر، یا مخرج کسر، و یا هر دو به صورت کسری نوشته شده باشند.

 

کسر مرکب زیر را ساده سازی کنید.

 

روش اول:

 

 

دقت کنید که در این روش ابتدا جملات موجود در صورت کسر را با هم جمع کرده ( از قاعده جمع کسرها ) و همین کار را برای مخرج کسر نیز انجام داده ایم. آنگاه از قاعده تقسیم دو عبارت کسری ( با معکوس کردن مخرج ) استفاده کرده و در نهایت نتیجه را ساده سازی کرده ایم.

 

کسر مرکب زیر را ساده سازی کنید.

 

روش دوم:

 

 

در این روش، ابتدا کوچکترین مخرج مشترک دو عبارت صورت و مخرج () را به دست آورده و سپس صورت و مخرج را در آن ضرب می کنیم. نتیجه، همانطور که انتظار داشتیم، با روش قبلی یکسان است.

 

کسر مرکب زیر را ساده سازی کنید.

 

 

بعدا (در حساب مشتقات) خواهیم دید که این کسر عبارت است از مشتق تابع .

 

کسر مرکب زیر را ساده سازی کنید.

 

روش اول:

 

 

روش دوم (ضرب صورت و مخرج کسر در کوچکترین مخرج مشترک):

 

 

 

گویاسازی صورت و مخرج کسرها

 

گویاسازی صورت و مخرج کسرها

 

• نکته: عبارت های و را مزدوج همدیگر می گویند.

 

• کسرهای شامل عبارت های رادیکالی گویا نیستند. هرچند می توان این کسرها را به روش هایی گویا کرد ( محاسبات با کسرهای گویا بسیار راحت تر است. ).

 

• اگر مخرج کسری به صورت باشد، آنگاه می توانیم کسر را با ضرب صورت و مخرج آن در مزدوج مخرج، یعنی ، گویا کنیم. این روش باعث گویاسازی مخرج می شود به این دلیل که بنا به اتحاد مزدوج داریم:

 

 

و بنابراین عبارت رادیکالی از مخرج حذف می شود (ولی در صورت کسر باقی خواهد ماند).

 

• صورت کسرها را نیز می توان به همین روش گویا سازی کرد. البته در این حالت باید صورت و مخرج کسر را در مزدوج صورت ضرب کنیم.

به مثال های زیر دقت کنید.

 

مثال 1: می خواهیم مخرج کسر را گویاسازی کنیم.

 

 

 

مثال 2: می خواهیم صورت کسر را گویاسازی کنیم.

 

 

 

اشتباهات رایج در جبر را شناخته و از آنها بپرهیزیم.

 

بیشتر اشتباهات رایج در جبر به دلیل اختلاط ویژگی های جمع و ضرب با همدیگر بوجود می آیند. جدول زیر برخی از این اشتباهات رایج در جبر را نشان می دهد. لطفا این موارد را شناخته و از آنها بپرهیزید.

 

 

 

چگونگی برخورد با روابطی که درستی و نادرستی آنها بر ما روشن نیست.

 

مطمئنا موارد دیگری نیز از این اشتباهات وجود دارند که ما، برای احتراز از طولانی شدن درس، به آنها نمی پردازیم.

 

در هنگام شک در درستی و یا نادرستی یک رابطه، سریعترین روش برای آزمودن درستی رابطه مورد نظر استفاده از اعداد و چک کردن درستی رابطه است. اگر رابطه جبری مورد نظر درست باشد، انتظار داریم که سمت چپ و راست آن، برای همه اعداد حقیقی، نتیجه یکسانی به دست دهند.

 

مثلا رابطه چهارم از ستون سمت راست شکل بالا را در نظر بگیرید. با انتخاب اعداد داریم:

 

 

سمت چپ و راست این رابطه برابر نیست. پس رابطه مورد نظر نادرست است.

 

دقت کنید که حتی اگر رابطه مورد نظر برای مورد خاصی درست به دست آمد، نمی توان نتیجه گرفت که برای همه اعداد حقیقی درست است (تعمیم جزء به کل از لحاظ منطقی درست نیست).

 

بهترین راه برای آزمودن درستی یک رابطه، تلاش برای اثبات درستی و یا نادرستی آن بر اساس ویژگی های کلی اعداد حقیقی و چهار عمل اصلی است. ما در کتاب های آینده این روش را بیشتر بررسی خواهیم کرد.

 

 

نکات مهم این درس

 

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی عبارت های جبری گویا را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

 

• برای جمع و تفریق دو عبارت جبری گویا چطور باید عمل کنیم؟
• چطور می توانیم کوچکترین مخرج مشترک دو کسر، شامل عبارت های جبری، را بیابیم؟
• روش جمع و تفریق دو کسر در حالت کلی، یعنی ، چیست؟
• کسر مرکب چه نوع کسری است؟
• دو روش ساده سازی کسرهای مرکب را توضیح دهید.
• اگر مخرج یک کسر شامل یک عبارت رادیکالی باشد، چطور می توان مخرج آن کسر را گویا کرد؟
• اگر صورت یک کسر شامل یک عبارت رادیکالی باشد، چطور می توان صورت آن کسر را گویا کرد؟
• اشتباهات رایج در عبارت های جبری معمولا چطور رخ می دهند؟
• در هنگام شک درباره درستی روابط جبری، چطور می توانیم با استفاده از عددگذاری در رابطه تخمینی از درستی و نادرستی آن رابطه داشته باشیم؟
• آیا با استفاده از عددگذاری می توان از درستی و نادرستی روابط جبری اطمینان حاصل کرد؟
• در هنگام شک درباره درستی روابط جبری، چطور می توانیم از درستی و نادرستی آن رابطه مطمئن شویم؟

 

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

 

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

 

 

تمرین

 

• حاصل جمع و تفریق عبارت های جبری گویای زیر را بیابید.

 

 

• حاصل جمع و تفریق عبارت های جبری گویای زیر را بیابید.

 

 

• کسرهای مرکب زیر را ساده سازی کنید.

 

 

• کسرهای مرکب زیر را ساده سازی کنید.

 

 

• عبارت های جبری زیر را ساده سازی کنید (بعدا در حسابان با این محاسبات برخورد خواهیم کرد).

 

 

 

• عبارت های جبری زیر را ساده سازی کنید (بعدا در حسابان با این محاسبات برخورد خواهیم کرد).

 

 

• مخرج عبارت های کسری زیر را گویا کنید.

 

 

• صورت عبارت های کسری زیر را گویا کنید.

 

 

 

درس بعدی: حل برخی معادلات ساده

 

علوم مختلف بر اساس ایده “تبدیل شواهد تجربی به قوانین ریاضیاتی” بنا شده اند. منظور از قوانین ریاضیاتی همان معادلات — برابری های — ریاضی است. آنگاه، ما این قوانین ریاضیاتی را در موارد مختلف به کار برده و انتظار داریم که نتایج با رفتار دنیای اطراف مان همخوانی داشته باشد.

 

نکته جالب، و مهم، اینجاست که برای استخراج نتایج نهایی قوانین ریاضیاتی تقریبا همیشه به حل معادلات برخورد می کنیم. به همین دلیل، مساله حل معادلات مختلف، یکی از مهم ترین بخش های ریاضیات مدرن است. در جلسه بعد با ساده ترین این معادلات آشنا خواهیم شد.

 

 

هر معادله، علاوه برصورت جبری، صورتی هندسی نیز دارد که در ادامه این دروس درباره آنها بحث خواهیم کرد.

 

حل کردن معادلات مختلف، و کشف شرایط حل پذیری آنها، یکی از مهم ترین موضوعات در ادامه این سلسله دروس است.

 

 

منابع درس

 

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)