۱۳. حل معادلات پایه

آنچه گذشت: جمع و تفریق عبارت های جبری گویا؛ کسرهای مرکب؛ گویا سازی کسرها

روش جمع و تفریق دو کسر در حالت کلی:

$\textcolor{blue}{\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{AD-BC}{BD}}$

کسر مرکب کسری است که در آن صورت کسر، یا مخرج کسر، و یا هر دو به صورت کسری نوشته شده باشند. ساده سازی کسرهای مرکب در محاسبات بسیار لازم خواهد بود.

کسرهای شامل عبارت های رادیکالی گویا نیستند. هرچند می توان این کسرها را به روش هایی گویا کرد ( محاسبات با کسرهای گویا بسیار راحت تر است. ).

اگر مخرج کسری به صورت $A+B\sqrt{C}$ باشد، آنگاه می توانیم کسر را با ضرب صورت و مخرج آن در مزدوج مخرج، یعنی $A-B\sqrt{C}$ ، گویا کنیم. این روش باعث گویاسازی مخرج می شود به این دلیل که بنا به اتحاد مزدوج داریم:

$(A+B\sqrt{C})(A-B\sqrt{C})=A^{2}-B^{2}C$

و بنابراین عبارت رادیکالی از مخرج حذف می شود (ولی در صورت کسر باقی خواهد ماند).

معادلات و حل معادلات: چرا حل معادلات مهم است؟

علوم مختلف بر اساس ایده “تبدیل شواهد تجربی به قوانین ریاضیاتی” بنا شده اند. منظور از قوانین ریاضیاتی همان معادلات — برابری های — ریاضی است. آنگاه، ما این قوانین ریاضیاتی را در موارد مختلف به کار برده و انتظار داریم که نتایج با رفتار دنیای اطراف مان همخوانی داشته باشد.

نکته جالب، و مهم، اینجاست که برای استخراج نتایج نهایی قوانین ریاضیاتی تقریبا همیشه به حل معادلات برخورد می کنیم. به همین دلیل، مساله حل معادلات مختلف، یکی از مهم ترین بخش های ریاضیات مدرن است. در این درس می خواهیم تعدادی از ساده ترین انواع معادلات را حل کنیم.

منظور از معادله، گزاره ای است که بیان می کند دو عبارت ریاضیاتی با هم برابر هستند. مثلا:

$3+5=8~~~~~~~~~2+4+6=9+3$

معادله (یا برابری) هستند. البته در ریاضیات نامعادلات (نابرابری) هم داریم:

$5 < 8~~~~~~~~~ 2>-2~~~~~~~~~~0 \neq 1$

بیشتر معادلاتی که در جبر با آنها سر و کار داریم شامل حداقل یک متغیر (مانند $x$ ) یا مجموعه ای از متغیرها (مانند $t,~x,~y,~z, ...$ ) هستند. هرچند، همانطور که قبلا اشاره شد، این متغیرها نشانه ای کلی از اعدادند و در انتهای حل مساله نیز با عدد جایگذاری می شوند.

مثلا در معادله $4x+7=19$ ، حرف لاتین $x$ همان متغیر مساله است. ما به حرف $x$ به عنوان یک مجهول ( عدد نامعلوم ) می نگریم.

هدف نهایی ما نیز آن است که مقدار متغیر $x$ را به صورتی بیابیم که معادله درست باشد؛ یعنی دوطرف رابطه با هم “برابر” باشند.

مقادیری از متغیر $x$ که به ازای آنها دوطرف رابطه برابری می کنند را “جواب معادله” و یا “ریشه معادله” می نامیم.

مثال: اگر مقدار 3 را به جای متغیر $x$ جایگذاری کنیم، دو سمت رابطه با هم برابر خواهند بود. پس می گوییم $x=3$ جواب معادله مورد نظر است.

فرایندی که جواب معادله را به دست می دهد نیز روش حل معادله نامیده می شود. یادگیری این فرایند هدف اصلی ما در بخش عمده این کتاب است.

یک معادله می تواند یک و یا چندین جواب داشته باشد و یا اصلا جواب نداشته باشد. یعنی، برابری دو سمت رابطه ممکن است فقط برای یک عدد درست باشد (بنابراین معادله مورد نظر یک جواب دارد)، و یا برای چند عدد مجزا درست باشد (معادله مورد نظر چند جواب دارد) و یا اصلا برای هیچ عددی دو طرف رابطه برابر نشوند (معادله مورد نظر جواب ندارد).

مثلا، معادله $4x+7=19$ فقط یک جواب دارد ( $x=3$ )، معادله $x^{2}+5x-24=0$ دو جواب دارد ( $x=3$ و $x=-8$ )، و معادله $x^2+1=0$ در بازه اعداد طبیعی اصلا جواب ندارد.

دو معادله با جواب های یکسان را “معادلات هم ارز” می نامیم.

روش کلی حل معادلات این است که کوشش می کنیم معادلات مورد نظر را به معادلات هم ارز ساده تر، و قابل حل، تبدیل کنیم. در این نوع معادلات ساده تر، معمولا متغیر مجهول در یک سمت و اعداد معلوم در طرف دیگر قرار داشته و بنابراین به راحتی به جواب می رسیم.

دو ویژگی اساسی برابری ها که در حل معادلات به کار می آیند.

دو ویژگی اصلی که برای حل معادلات به کار می روند در واقع از ساده ترین ویژگی های جمع و ضرب اعداد هستند:

$A=B~~~~~~~ \Leftrightarrow~~~~~~~~~A+C=B+C~~~~~~~~~~~~~~~$

$A=B~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~~CA=CB~~~~~~~C \neq 0~~~~$

مفهوم ویژگی اول این است که اگر معادله ای برقرار باشد (یعنی مثلا رابطه $A=B$ درست باشد ) آنگاه با جمع کردن دوطرف آن معادله با هر عدد دلخواه $C$ درستی معادله همچنان برقرار خواهد ماند. و برعکس، یعنی اگر معادله $A+C=B+C$ برقرار باشد، آنگاه حتما معادله $A=B$ هم برقرار است.

مفهوم ویژگی دوم این است که اگر معادله ای برقرار باشد (یعنی مثلا رابطه $A=B$ درست باشد) آنگاه با ضرب کردن دوطرف آن معادله در هر عدد دلخواه، ولی غیر صفر، $C$ درستی معادله همچنان برقرار خواهد ماند. و برعکس نیز درست است.

در ویژگی دوم باید $C$ غیر صفر باشد زیرا اگر $C$ برابر صفر باشد آنگاه طرفین معادله برابر صفر و بنابراین بدیهی خواهند شد. همچنین، در عکس گزاره، تقسیم بر عدد صفر هم ممکن نیست. در نتیجه باید پارامتر $C$ غیر صفر باشد.

برای اینکه مجهول معادله را به یک سمت و معلومات را سمت دیگر معادله ببریم از این دو ویژگی به کرات استفاده خواهیم کرد. به مثال هایی که در ادامه خواهید دید دقت کنید.

نکته اصلی این است که انجام هر عملیات ریاضیاتی بر معادلات فقط وقتی مجاز است (یعنی برابری را به هم نمی زند) که آن عمل به صورت مشابه بر هر دو طرف معادله اعمال شود. عدد $C$ باید با هر دو طرف معادله جمع شود، عدد $C$ باید در هر دو طرف معادله ضرب شود و … .

از این به بعد وقتی می گوییم “4 را اضافه می کنیم” یا “ $x$ را ضرب می کنیم”، منظور این است که “4 را به دو طرف معادله اضافه می کنیم” یا “ $x$ را در دو طرف معادله ضرب می کنیم”.

دو ویژگی اصلی یاد شده در بالا برای حل معادلات، البته برای تفریق و تقسیم معادلات هم برقرار هستند:

$A=B~~~~~~~ \Leftrightarrow~~~~~~~~~A-D=B-D~~~~~~~~~~~~~~~$

$A=B~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~~\frac{A}{D}=\frac{B}{D}~~~~~~~D \neq 0~~~~$

این نتیجه البته با جایگذاری $C=-D$ در عبارت اول، و $C=1/D$ در عبارت دوم، به راحتی از ویژگی های ذکر شده در قسمت قبلی به دست می آید. بنابراین این دو ويژگی جدیدی محسوب نمی شوند.

حل معادلات خطی

معادله خطی

ساده ترین نوع معادلات یک معادله خطی است. به این جهت این معادله را خطی می گویند که توصیف هندسی آن، در مختصات دکارتی، یک خط است ( شکل مقابل را ببینید ). این معادله را یک معادله درجه اول هم می نامند چون توان متغیر $x$ در آن برابر یک می باشد.

یک معادله خطی از متغیر $x$ معادله ای است که به شکل کلی زیر است:

$ax+b=0$

در این معادله پارامترهای $a$ و $b$ اعداد حقیقی اند.

به چند مورد از معادلات خطی و غیر خطی در شکل سمت چپ، پایین، توجه کنید. در هر مورد تشخیص دهید که چرا معادله مورد نظر خطی و یا غیر خطی است.

حل معادله خطی

مثال: می خواهیم معادله خطی $7x-4=3x+8$ را حل کنیم.

روش به دست آوردن پاسخ این معادله را در شکل زیر می بینید. دقت کنید که در همه مراحل از دو ویژگی بالا استفاده کرده ایم. ایده اصلی حل، همانطور که اشاره شد، بردن متغیر نامعلوم به یک طرف و همه معلومات به طرف دیگر تساوی است.

در سطر دوم عدد 4 را به دو طرف معادله اضافه کرده ایم و بنابراین عدد $-4$ در سمت چپ تساوی حذف می شود (سطر سوم).
در سطر چهارم جمله $-3x$ را به دو طرف معادله اضافه کرده ایم تا $3x$ از سمت راست حذف شود ( سطر پنجم ).
در سطر ششم عدد $\frac{1}{4}$ را در طرفین معادله مورد نظر ضرب کرده ایم تا ضریب $4$ در سمت چپ معادله حذف شده و در نهایت فاکتور نامعلوم $x$ باقی بماند (سطر هفتم).

آزمودن پاسخ:

سمت چپ:

$7\times 3-4=17$

سمت راست:

$3\times 3+8=17$

دو طرف برابرند؛ پس جواب درست است.

حل معادلات خطی که ضرایب کسری دارند.

وقتی معادله خطی مورد نظر ما شامل ضرایب کسری باشد، معمولا بهتر است که طرفین معادله را در کوچکترین مخرج مشترک ضرب کرده و سپس معادله را حل کنیم. به این ترتیب، معمولا، معادله ضرایب ساده تری خواهد داشت و راحت تر حل می شود.

مثال: می خواهیم معادله خطی $\frac{x}{6}+\frac{2}{3}=\frac{3}{4}x$ را حل کنیم.

کوچکترین مخرج مشترک کسرها عدد 12 می باشد. بنابراین طرفین معادله را در عدد 12 ضرب می کنیم (سطر اول).
در سطر دوم جمله $-2x$ را به دو طرف معادله اضافه کرده ایم تا $2x$ از سمت چپ حذف شود (سطر سوم).
در سطر سوم عدد $\frac{1}{7}$ را در طرفین معادله مورد نظر ضرب کرده ایم تا ضریب 7 در سمت راست معادله حذف شده و در نهایت فاکتور نامعلوم $x$ باقی بماند (سطر چهارم).

آزمودن پاسخ:

سمت چپ:

$\frac{\frac{8}{7}}{6}+ \frac{2}{3}=\frac{6}{7}$

سمت راست:

$\frac{3}{4}\times \frac{8}{7}=\frac{6}{7}$

دو طرف برابرند؛ پس جواب درست است.

حل معادله ای شامل عبارت های جبری گویا

معادلاتی که شامل عبارت های جبری گویا هستند معمولا به معادلات چندجمله ای درجات بالا تبدیل می شوند. هرچند، برخی اوقات پیش می آید که معادله شامل عبارت های جبری گویا را می توان به معادله درجه اول تبدیل کرده و جواب را به راحتی پیدا کرد. به مثال زیر توجه کنید.

معادله زیر را حل کنید.

پاسخ:

دقت کنید که در سطر اول، دو طرف معادله را در کوچکترین مخرج مشترک کسرها ضرب کرده ایم. در بقیه محاسبات هم نتیجه را ساده کرده ایم.

چک کردن جواب معادله بالا:

همیشه جواب به دست آمده برای معادله را چک کنید چون …

به دو دلیل بسیار مهم همیشه باید جواب به دست آمده برای معادله را چک کنیم.

اگر جواب به دست آمده در معادله صدق کند (به مفهوم بالا) آنگاه نشان داده ایم که روش به کار رفته واقعا درست است. هرچند، اگر جواب به دست آمده صدق نکند به معنی وجود اشتباه در روش ماست. باید به راه حل خود بازگشته و ایرادات را برطرف کنیم.
بعضی جواب ها در دامنه عبارت های جبری مورد نظر ما نمیگنجند؛ بنابراین، غیر قابل قبول هستند. به مثال زیر دقت کنید.

مثال: معادله ای بدون جواب!

معادله مقابل را حل کنید.

پاسخ:

حال اگر پاسخ به دست آمده را در عبارت اولیه قرار داده با اعداد تقسیم بر صفر (مانند $\frac{5}{4-4}$ ) برخورد می کنیم که نشان می دهد جواب به دست آمده قابل قبول نیست.

دلیل این مشکل این است که عدد 4 از ابتدا در دامنه عبارت جبری مورد نظر ما وجود نداشت (دامنه این عبارت جبری شامل همه اعداد حقیقی به جز $x=4$ می باشد). بنابراین جواب $x=4$ نمی تواند پاسخ قابل قبولی برای معادله بالا باشد. در نتیجه این معادله بدون جواب است. در واقع وقتی این جواب را می یابیم، می فهمیم که از ابتدا مجاز به ضرب دوطرف تساوی در $x-4=0$ نبودیم، چون چنین کاری غیر مجاز است.

حل معادلات توانی

معادلات توانی و حل آنها

در معادلات خطی، توان متغیرها فقط درجه اول است. حال فرض کنید که می خواهیم معادلاتی شامل توان های دوم، سوم و … از متغیر $x$ را حل کنیم. صورت کلی چنین معادلاتی را البته در کتاب های بعدی بررسی خواهیم کرد. هرچند، در اینجا ساده ترین نوع این معادلات را که به شکل $X^{n}=a$ می باشد حل می کنیم. چنین معادلاتی را معادلات توانی می نامند. این معادلات را با رادیکال ها حل کنیم.

جواب معادله توانی $X^{n}=a$ اگر $n$ فرد باشد به صورت زیر است:

$X^{n}=a ~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~X=\sqrt[n]{a}~~~~~~~~~~~~~~if~~n=1,~3,~5, ...$

این جواب برای هر مقدار $a$ (مثبت، منفی و یا صفر) درست است.

جواب معادله توانی $X^{n}=a$ اگر $n$ زوج باشد و $a$ مثبت باشد به صورت زیر است:

$X^{n}=a ~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~X=\pm \sqrt[n]{a}~~~~~~~~~~~~~~if~~n=2,~4,~6, ...$

اگر $n$ زوج باشد و $a$ منفی باشد، آنگاه معادله $X^{n}=a$ جواب حقیقی ندارد (ولی جواب موهومی دارد! کتاب اول – معادلات و نمودارها – را ببینید).

چند مثال از معادلات توانی

به مثال های زیر از حل معادلات توانی دقت کنید:

$x^{5}=32~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~x=\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^{5}}=\left( 2^{5} \right)^{\frac{1}{5}}=2$

$x^{4}=16~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~x=\pm\sqrt[4]{16}=\pm\sqrt[4]{2^{4}}=\pm \left( 2^{4} \right)^{\frac{1}{4}}=\pm 2$

$x^{5}=-32~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~x=\sqrt[5]{-32}= \left( (-1)^{5} \times 2^{5} \right)^{\frac{1}{5}}=\left( (-1)^{5} \right)^{\frac{1}{5}}\left( 2^{5} \right)^{\frac{1}{5}}=-2$

$x^{4}=-16~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~no~~solution$

حل معادله زیر را ببینید. اول معادله را به شکل توانی درآورده ایم (با اضافه کردن 5 به طرفین). بعد از قاعده بالا استفاده کرده ایم.

یادآوری: درستی جواب را چک کنید.

معادله زیر را حل کنید.

بنابراین معادله بالا دو جواب $x=4+\sqrt{5}$ و $x=4-\sqrt{5}$ دارد. درستی جواب را چک کنید.

جواب معادلات $x^{3}=-8$ و $16x^{4}=81$ را بیابید.

درستی جواب را چک کنید.

حل معادلات با توان های کسری

معادله $5x^{\frac{2}{3}}-2=43$ را حل کنید.

پاسخ: ایده همچنان این است که متغیر مجهول $x$ به یک طرف و معلومات را به طرف دیگر منتقل کنیم.

دقت کنید که از رابطه

$(9)^{\frac{3}{2}} =(3^{2})^{\frac{3}{2}}=3^{2\times \frac{3}{2}}=3^{3}=27$

استفاده کرده ایم.

درستی پاسخ را برای هر دو جواب $x=27$ و $x=-27$ به دقت نشان دهید.

توجه، توجه!

اگر $n$ زوج باشد و $c>0$ ، آنگاه معادله $x^{n}=c$ دو جواب دارد:

$x^{n}=c~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~x=c^{1/n}~~~~~and~~~~~~x=-c^{1/n}~~~~~~~~~~if~~c>0$

اگر $n$ زوج باشد و $c>0$ ، آنگاه معادله $x^{n/m}=c$ دو جواب دارد:

$x^{n/m}=c~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~x=c^{m/n}~~~~~and~~~~~~x=-c^{m/n}~~~~~~~~~~if~~c>0$

پیدا کردن یک متغیر خاص در یک رابطه جبری

پیدا کردن یک متغیر خاص در بین دیگر متغیرها

بسیاری از روابط در علوم فیزیکی شامل تعداد زیادی متغیر هستند. مثلا قانون گرانش نیوتن را در نظر بگیرید:

$F=G\frac{mM}{r^{2}}$

این قانون اندازه نیروی $F$ بین دو جسم به جرم های $m$ و $M$ ، که به فاصله $r$ از هم قرار دارند، را به دست می دهد. فاکتور $G$ یک عدد ثابت فیزیکی است که مقدار آن از آزمایشات و مشاهدات معلوم می شود.

فرض کنید می خواهیم پارامتر $M$ را در فرمول بالا پیدا کنیم. ایده حل چنین مساله ای نیز استفاده از دو قانون اصلی حل معادلات است؛ یعنی جمع طرفین معادله با اعداد یکسان و ضرب آنها در اعداد یکسان. به شیوه یافتن $M$ دقت کنید.

این روش در حل مسائل علوم و ریاضی بسیار پرکاربرد است؛ بنابراین باید به آن احاطه داشته باشیم. به مثال بعدی دقت کنید.

مساحت جانبی مکعب زیر به صورت $A=2lw+2wh+2lh$ می باشد. پارامتر $w$ را برحسب متغیرهای دیگر بیابید.

به مراحل انتقال پارامتر $w$ به یک طرف و بقیه متغیرها به طرف دیگر دقت کنید.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی حل معادلات پایه را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

منظور از معادله چیست؟ نامعادله چیست؟ چند مثال بزنید.
چرا حل معادلات در ریاضی و علوم اهمیت دارد؟
متغیرها در یک معادله چه نقشی بازی می کنند؟
چه مقادیری از متغیر موجود در یک معادله را جواب معادله، و یا ریشه معادله،می نامند؟
یک معادله چند جواب می تواند داشته باشد؟
معادلات هم ارز چه نوع معادلاتی هستند؟
روش کلی حل معادلات چیست؟
دو ویژگی اصلی که برای حل معادلات به کار می روند را بنویسید. مفهوم هر یک از این دو ویژگی را نیز بیان کنید.
چرا نباید یک معادله را در عدد صفر ضرب و یا بر آن تقسیم کرد؟
چرا معادله $ax+b=0$ را معادله خطی می نامند؟ چرا این معادله را درجه اول می نامند؟
برای حل معادلات شامل ضرایب کسری چطور باید عمل کنیم؟ معادلات شامل عبارت های جبری گویا را چطور؟
دو دلیل اصلی برای چک کردن جواب یک معادله را بیان کنید.
جواب کلی معادله توانی $X^{n}=a$ را برای $n$ های زوج و فرد و همچنین مقادیر مثبت و منفی $a$ بنویسید.
جواب کلی معادله توانی با توان کسری $X^{n/m}=a$ را برای $n$ های زوج و فرد و همچنین مقادیر مثبت و منفی $a$ بنویسید.
ایده کلی برای یافتن یک متغیر خاص در بین بقیه متغیرها چیست؟

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

کدام یک از معادلات زیر خطی هستند؟

توضیح دهید که چرا معادلات زیر خطی نیستند.

در مورد هرکدام از معادلات زیر توضیح دهید که آیا اعداد داده شده در $(a)$ و $(b)$ جواب معادله هستند و یا نه.

معادلات خطی زیر را حل کنید. همچنین، درستی جواب را با جایگذاری بیازمایید.

معادلات زیر همگی یا خطی هستند و یا به راحتی تبدیل به معادلات خطی می شوند. جواب آنها را یافته و درستی جواب را با جایگذاری بیازمایید.

معادلات شامل عبارت های کسری زیر را حل کنید. آنگاه درستی جواب را با جایگذاری بیازمایید.

معادلات توانی زیر را حل کنید. برای یافتن برخی توان ها به ماشین حساب نیاز دارید.

جواب معادلات خطی زیر را تا دو رقم اعشار بیابید.

هر یک از فرمول های زیر را برای یافتن متغیر مورد نظر، که با $for$ نشان داده شده است، حل کنید. مثلا در سوال 91 باید متغیر $w$ را بیابید.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

پایان دوره

تبریک می گوییم!

شما دوره ریاضیات مقدماتی را با موفقیت به پایان رسانده اید. تا اینجا با مقدمات ریاضی به خوبی آشنا شده اید و می توانید ابزارهای ریاضیاتی که فرا گرفته اید را در محاسبات روزمره و همچنین در بحث های شامل روابط پیچیده تر، مثل ریاضیات پیشرفته، فیزیک، نجوم، و … به کار ببرید.

در دوره بعدی به بررسی معادلات و نمودارها خواهیم پرداخت. می توانید سرفصل های آن را در اینجا مشاهده کنید.

خوشحال می شویم با ما همراه بمانید و نظرات و پیشنهاداتتان را با ما در میان بگذارید.

با آرزوی موفقیت روزافزون برای شما.

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

۱۳. حل معادلات پایه

آنچه گذشت: جمع و تفریق عبارت های جبری گویا؛ کسرهای مرکب؛ گویا سازی کسرها

معادلات و حل معادلات: چرا حل معادلات مهم است؟

دو ویژگی اساسی برابری ها که در حل معادلات به کار می آیند.

حل معادلات خطی

معادله خطی

حل معادله خطی

آزمودن پاسخ:

سمت چپ:

سمت راست:

حل معادلات خطی که ضرایب کسری دارند.

آزمودن پاسخ:

سمت چپ:

سمت راست:

حل معادله ای شامل عبارت های جبری گویا

پاسخ:

چک کردن جواب معادله بالا:

همیشه جواب به دست آمده برای معادله را چک کنید چون …

مثال: معادله ای بدون جواب!

حل معادلات توانی

معادلات توانی و حل آنها

چند مثال از معادلات توانی

حل معادلات با توان های کسری

توجه، توجه!

پیدا کردن یک متغیر خاص در یک رابطه جبری

پیدا کردن یک متغیر خاص در بین دیگر متغیرها

نکات مهم این درس

تمرین

منابع درس

پایان دوره

نظر بدهید لغو پاسخ

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

ورود با حساب کاربری سایت شما

Register a new account

Modal title