۱۳. پیدا کردن تابع وارون

آنچه گذشت: توابع یک به یک

تعریف تابع یک به یک: تابعی با دامنه $A$ را یک به یک می گوییم اگر هیچ دو عضو از دامنه تصویر یکسانی نداشته باشند. به عبارت دیگر، تابع یک به یک است اگر به ازای هر $x_{1}\neq x_{2}$ داشته باشیم $f(x_{1}) \neq f( x_{2})$ . یک راه معادل برای تشخیص توابع یک به یک این است که اگر $f(x_{1}) = f( x_{2})$ آنگاه $x_{1} = x_{2}$ .

آزمون خط افقی برای تشخیص توابع یک به یک: تابع یک به یک است اگر و فقط اگر هیچ خط افقی نمودار آن را در بیش از یک نقطه قطع نکند.

وارون توابع یک به یک

فرض کنید که $f$ تابعی یک به یک با دامنه $A$ و برد $B$ می باشد. آنگاه، تابع وارون تابع $f$ ، که آن را با $f^{-1}$ نشان می دهیم، به ازای هر $y$ در مجموعه $B$ به صورت زیر تعریف می شود:

$f^{-1}(y)=x~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~f(x)=y$

دامنه تابع وارون مجموعه $B$ و برد آن مجموعه $A$ می باشد.

اگر تابع $f$ یک به یک نباشد، آنگاه نمی توان تابع وارون، یعنی $f^{-1}$ ، را به صورت یکتا تعریف کرد. به همین دلیل است که تابع وارون را حتما برای توابع یک به یک تعریف می کنیم.

ویژگی های تابع وارون: فرض کنید که تابع $f$ تابعی یک به یک با دامنه $A$ و برد $B$ می باشد. در این صورت تابع وارون حتما در ویژگی های زیر صدق می کند:

برای هر $x$ در مجموعه $A$ داریم: $f^{-1}(~f(x)~)=x$ .
برای هر $x$ در مجموعه $B$ داریم: $f(~f^{-1}(x)~)=x$ .

به صورت عکس، هر تابعی که در این دو ویژگی صدق کند، تابع وارون تابع $f$ خواهد بود.

یافتن تابع وارون

چطور تابع وارون یک تابع مشخص را بیابیم؟

حالا فرض کنید می خواهیم تابع وارون یک تابع معلوم را بیابیم. در ابتدا توجه می کنیم که بنا به تعریف تابع وارون داریم:

$y=f(x)~~~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~~~~f^{-1}(y)=x$

بنابراین اگر تابع $y=f(x)$ را داشته باشیم و بتوانیم این معادله را حل کرده و از آن پارامتر $x$ را بیابیم، آنگاه تابع وارون به صورت $f^{-1}(y)=x$ پیدا خواهد شد. سپس، اگر جای پارامترهای $x$ و $y$ را عوض کنیم، معادله تابع وارون پیدا می شود. بنابراین، برای پیدا کردن تابع وارون باید سه مرحله زیر را دنبال کنیم:

سه مرحله پیداکردن تابع وارون:

معادله $y=f(x)$ را بنویسید.
در معادله بالا پارامتر $x$ را بر حسب پارامتر $y$ بیابید (اگر امکان داشت!).
جای پارامترهای $x$ و $y$ را عوض کنید و معادله را به صورت $y= f^{-1}(x)$ بنویسید.

نکته: می توان جای مراحل 2 و 3 را عوض کرد.

در انتها باید حتما چک کنیم که تابع وارون بدست آمده، خواص تابع وارون را داشته باشد. یعنی باید درستی جواب خود را چک کنیم.

یافتن تابع وارون — مثال اول

وارون تابع $f(x)=3x-2$ را بیابید.

در ابتدا تابع را به صورت $y=3x-2$ نوشته و آن را برای پیدا کردن پارامتر $x$ ، بر حسب پارامتر $y$ ، حل می کنیم:

حال جای پارامترهای $x$ و $y$ را عوض کرده و تابع وارون را معرفی می کنیم.

چک کردن جواب:

یافتن تابع وارون — مثال دوم

وارون تابع $f(x)= \frac{x^{5}-3}{2}$ را بیابید.

در ابتدا تابع را به صورت $y= \frac{x^{5}-3}{2}$ نوشته و آن را برای پیدا کردن پارامتر $x$ ، بر حسب پارامتر $y$ ، حل می کنیم.

آنگاه، جای پارامترهای $x$ و $y$ را عوض کرده و تابع وارون را معرفی می کنیم. یعنی

$f^{-1}(x)=(2x+3)^{\frac{1}{5}}$

چک کردن جواب:

یافتن تابع وارون — مثال سوم

وارون تابع $f(x)= \frac{2x+3}{x-1}$ را بیابید.

در ابتدا تابع را به صورت $y= \frac{2x+3}{x-1}$ نوشته و آن را برای پیدا کردن پارامتر $x$ ، بر حسب پارامتر $y$ ، حل می کنیم.

آنگاه، جای پارامترهای $x$ و $y$ را عوض کرده و تابع وارون را معرفی می کنیم. یعنی

$f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}$

تمرین: نشان دهید که تابع وارون بدست آمده، خواص تابع وارون را دارد.

رسم نمودار تابع وارون

رسم نمودار تابع وارون با استفاده از نمودار تابع

اصل تعویض جای $x$ و $y$ برای پیدا کردن تابع وارون به ما می گوید که چطور می توانیم نمودار تابع وارون $f^{-1}$ را با استفاده از نمودار تابع $f$ بیابیم.

اگر $f(a)=b$ آنگاه داریم $f^{-1}(b)=a$ .

بنابراین نقطه $(a,b)$ بر روی نمودار تابع $f$ قرار دارد اگر و فقط اگر نقطه $(b,a)$ بر روی نمودار تابع وارون $f^{-1}$ قرار داشته باشد. هرچند، نقاط $(a,b)$ و $(b,a)$ تصویر همدیگر نسبت به خط $y=x$ هستند زیرا هر دو به یک فاصله نسبت به این خط قرار دارند. شکل زیر را ببینید. بنابراین به نتیجه اساسی زیر می رسیم:

نمودار تابع $f^{-1}$ را می توان با انعکاس نمودار تابع $f$ نسبت به خط $y=x$ بدست آورد.

شکل زیر را ببینید.

مثال از رسم نمودار وارون یک تابع

الف) نمودار تابع $f(x)=\sqrt{x-2}$ را بیابید.

پاسخ: با توجه به نکات گفته شده در درس های قبل، این نمودار را می توانیم با انتقال افقی تابع $\sqrt{x }$ به اندازه دو واحد به سمت راست به دست آوریم. منحنی آبی رنگ در شکل زیر را ببینید.

ب) نمودار تابع وارون این تابع را رسم کنید.

پاسخ: نمودار تابع $f^{-1}$ را می توان با انعکاس نمودار تابع $f$ نسبت به خط $y=x$ بدست آورد. منحنی قرمز رنگ را ببینید.

پ) رابطه $f^{-1}$ را بیابید.

پاسخ: اول پارامتر $x$ را بر حسب $y$ می یابیم:

حال جای پارامترهای $x$ و $y$ را عوض می کنیم: جواب بدست آمده نیمه سمت راست سهمی $y=x^{2}+2$ می باشد (چرا نیمه سمت چپ جزوی از جواب نیست؟).

کاربرد تابع وارون

تابع وارون در مسائل کاربردی

همانطور که قبلا نیز اشاره شد، ما معمولا کمیت های مربوط به دنیای واقعی را با توجه به حرف اول کلمه لاتین آنها نامگذاری می کنیم.

برای مثال از $t$ برای نشان دادن زمان، $R$ برای نشان دادن شعاع و $T$ برای نشان دادن دما استفاده می کنیم. هنگامی که می خواهیم معکوس چنین توابعی را بیابیم نیز از همین قرارداد بهره می جوییم.

مثلا فرض کنید که متغیر $R$ تابعی از متغیر $N$ است؛ یعنی $R=f(N)$ . در این صورت می توان نوشت $N=f^{-1}(R)$ که بدان معنی است که تابع $f^{-1}$ متغیر $N$ را به عنوان تابعی از $R$ بدست می دهد.

مثال: فرض کنید برای خرید یک پیتزای مخصوص در یک پیتزافروشی باید 12 دلار و برای هرگونه مخلفات نیز 2 دلار دیگر بپردازیم.

الف) تابعی بیابید که هزینه یک عدد پیتزا و $n$ عدد مخلفات را بیان کند.

پاسخ: $f(n)=12+2n$

ب) وارون تابع $f$ را پیدا کنید. مفهوم تابع وارون $f^{-1}$ چیست؟

پاسخ: به جای $f(n)$ از حرف $p$ استفاده می کنیم و $n$ را بر حسب $p$ می یابیم:

$p=12+2n~~~~~\Rightarrow~~~~~n=\frac{p-12}{2}~~~~~\Rightarrow~~~~~n=f^{-1}(p)=\frac{p-12}{2}$

تابع $f^{-1}(p)$ تعداد مخلفات را بر حسب قیمت تمام شده پیتزا به ما می دهد.

پ) اگر قیمت پیتزا 22 دلار باشد، چه تعداد مخلفات خریداری شده است؟

پاسخ: $n=f^{-1}(p)=\frac{p-12}{2}~~~~~\Rightarrow~~~~~n=f^{-1}(22)=\frac{22-12}{2}=5$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های مهم پیدا کردن تابع وارون را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

سه مرحله پیدا کردن تابع وارون را بنویسید.
چطور می توانیم درست بودن تابع وارون را چک کنیم؟
اگر نمودار تابعی یک به یک را داشته باشیم، چطور می توانیم نمودار تابع وارون آن را رسم کنیم؟
اگر نقطه $(a,b)$ در جدول مقادیر تابعی یک به یک موجود باشد، نقطه متناظر آن در جدول مقادیر تابع وارون چگونه خواهد بود؟
توضیح دهید که چرا نمودار هر تابع و نمودار وارون آن تابع نسبت به خط $y=x$ هم فاصله هستند.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

در هر مورد، تابع وارون تابع $f$ را بیابید.

در هر یک از موارد زیر، الف) نمودار تابع $f$ را رسم کنید. ب) نمودار تابع $f^{-1}$ را با استفاده از نمودار تابع $f$ بیابید. پ) معادله $f^{-1}$ را بیابید.

نمودار توابع زیر را رسم کرده و بر اساس نمودار، تعیین کنید که کدامیک یک به یک هستند؟

توابع زیر یک به یک هستند. الف) وارون تابع را بیابید. ب) تابع و وارون آن را رسم کنید و نشان دهید که این دو نمودار انعکاس همدیگر نسبت به خط $y=x$ هستند.

از نمودار تابع استفاده کرده و نمودار تابع وارون را رسم کنید.

توابع زیر یک به یک نیستند. دامنه هر تابع را به صورتی محدود کنید که نتیجه تابعی یک به یک شود. سپس تابع وارون را بیابید و نمودار آن را رسم کنید.

منبع آبی که شامل 100 گالون آب است در مدت 40 دقیقه تخلیه می شود. بنا به قانون توریچلی، حجم آب باقی مانده در مخزن پس از زمان $t$ دقیقه برابر است با

$V=f(t)=100\left( 1-\frac{t}{40} \right)^{2}$

تابع وارون $f^{-1}$ را بیابید و معنی آن را بیان کنید.
مقدار $f^{-1}(15)$ را یافته و معنی آن را توضیح دهید.

آزمایشات مختلف نشان داده اند که وقتی خون در شریان جریان دارد، سرعت حرکت خون در امتداد محور شریان بیشترین است. همچنین، سرعت حرکت خون با فاصله $r$ از محور شریان به صورت زیر کاهش می یابد: