۲. بررسی مفهوم تابع

آنچه گذشت: مفهوم تابع

تعریف تابع: تابع $f$ قانونی است که به هر عضو $x$ از مجموعه $A$ دقیقا یک عضو، به نام $f(x)$ ، در مجموعه $B$ نظیر می کند.

مجموعه های $A$ و $B$ معمولا مجموعه اعداد حقیقی، و یا زیربازه ای از آن، هستند.

علامت $f(x)$ را می خوانیم “تابع $f$ از $x$ “، یا “ $f$ از $x$ ” و یا “مقدار $f$ در $x$ “.

مجموعه $A$ را دامنه تابع ( $domain$ ) و مجموعه $B$ را برد تابع ( $range$ ) می نامند. برد تابع در واقع مجموعه تمام خروجی های ممکن تابع است.

اعضای مجموعه دامنه تابع را متغیر مستقل نامیده و معمولا با $x$ نشان می دهیم. همچنین، اعضای مجموعه برد تابع را متغیر وابسته نامیده و با $y$ نشان می دهیم.

بنابراین وقتی می نویسیم $y =f(x)$ ، کمیت $x$ متغیر مستقل و کمیت $y$ متغیر وابسته است.

بهتر است به تابع به عنوان یک ماشین نگاه کنیم. شکل زیر را ببینید. در این دیدگاه، اگر $x$ در دامنه تابع موجود باشد، آنگاه با ورود $x$ به ماشین $f$ ، توسط ماشین پذیرفته شده و پس از طی یک سری فرایند خروجی $f(x)$ تحویل داده خواهد شد.
م
دامنه تابع: همه ورودی های ممکن به ماشین تابع.
برد تابع: همه خروجی های ممکن از ماشین تابع.

تعیین مقدار یک تابع

مقدار یک تابع

در تعریف یک تابع خاص، متغیر $x$ در واقع موقعیتی را نشان می دهد که عضو دامنه تابع می تواند در آن قرار بگیرد. مثلا، تابع $f(x)=3x^{2}+x-5$ را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:

بنابراین، برای تعیین مقدار تابع $f(x)$ در هر نقطه $x$ ، ما مقدار مورد نظر را در جایگاه آن قرار داده و خروجی را، بنا به قوانین حساب، محاسبه می کنیم.

مثال: مقدار تابع $f(x)=3x^{2}+x-5$ را برای کمیت های زیر، به عنوان $x$ ، تعیین کنید.

پاسخ:

توابع دو ضابطه ای و یا چند ضابطه ای

فرض کنید که قرارداد یک شرکت مخابراتی با مشتری به این صورت است: اگر مشتری تا سقف 2 گیگابایت داده مصرف کند، آنگاه باید 39 دلار بپردازد. اگر بیشتر از این مقدار مصرف کند، آنگاه به اندازه هر گیگابایت داده اضافی، باید 15 دلار دیگر نیز بپردازد. بنابراین، هزینه ( $Cost$ ) ماهیانه به صورت تابعی از مقدار گیگابایت مصرفی $x$ محاسبه می شود:

حال می خواهیم هزینه ماهیانه را برای 0.5، 2، 3.2 و 4 گیگابایت مصرف محاسبه کنیم:

برای $0.5$ گیگابایت مصرف ماهیانه، با توجه به اینکه $0.5 \leq 2$ ، داریم: $C(0.5)=39~~~~$ .
برای $2$ گیگابایت مصرف ماهیانه، با توجه به اینکه $2 \leq 2$ ، داریم: $C(2)=39~~~~$ .
برای $3.2$ گیگابایت مصرف ماهیانه، با توجه به اینکه $3.2 > 2$ ، داریم: $C(3.2)=39+15(3.2-2)=57~~~~$
برای $4$ گیگابایت مصرف ماهیانه، با توجه به اینکه $4 > 2$ ، داریم: $C(4)=39+15(4-2)=69~~~~$

مثال هایی دیگر از توابع چند ضابطه ای

مثال های بیشتری از توابع دو ضابطه ای و چند ضابطه ای را در شکل زیر می بینید.

تمرین: مقدار این توابع را در نقاط $x=-3,~0,~1,~3$ بیابید.

نرخ تغییر کل

مقدار تابع معمولا از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کند. بر همین اساس نرخ تغییر، تغییر خالص و یا نرخ تغییر خالص ( $net~change$ ) به صورت زیر تعریف می شود.

تغییر کل در مقدار تابع، وقتی متغیر مستقل از مقدار $a$ به مقدار $b$ تغییر می کند، را نرخ تغییر می نامند:

$f(b)-f(a)$

دقت کنید که باید داشته باشیم: $a \leq b~~$ .

مثال: نرخ تغییر در تابع $f(x)= x^{2}$ را (الف) بین دو نقطه 1 و 3 و (ب) بین دو نقطه $-2$ و 2 بیابید.

پاسخ الف:

$f(3)-f(1)=9-1=8$

پاسخ ب:

$f(2)-f(-2)=4-4=0$

دقت کنید که نرخ تغییر در مورد دوم صفر بدست آمد.

توجه: مفهوم نرخ تغییر در درک مفهوم مشتق یک تابع به کار خواهد آمد.

مثال از نرخ تغییر کل

برای تابع $f(x)=2x^{2}+3x-1$ مقادیر زیر را بیابید.

پاسخ:

توجه: کمیت آخر را نسبت تغییر می نامند که عملا مفهوم مشتق یک تابع از آن استخراج خواهد شد (حد نسبت تغییر، وقتی $h$ بسیار کوچک باشد، همان مشتق تابع است).

جدول مقادیر یک تابع

جدول مقادیر یک تابع جدولی با دو ستون (و یا دو سطر) است. یکی از ستون ها ورودی تابع و دیگری خروجی آن را نشان می دهد. جدول مقادیر به ما کمک می کند که تابع را به روش عددی تحلیل کنیم.

مثال: اگر جرم فضانوردی بر روی سطح زمین برابر 130 پوند باشد (هر پوند برابر $0.453592$ کیلوگرم است)، آنگاه می توان ثابت کرد که وزن فضانورد در ارتفاع $h$ (برحسب مایل) از سطح زمین از رابطه زیر به دست می آید:

شعاع زمین 3963 مایل است.

الف) وزن فضانورد وقتی که 100 مایل از سطح زمین فاصله گرفته است چقدر است؟

ب) جدول مقادیر از ارتفاع 0 تا 500 مایلی را تکمیل کنید.

پ) نرخ تغییر کل در وزن:

دامنه تابع

تابع در چه بازه هایی تعریف می شود؟

یادآوری: دامنه تابع مجموعه همه ورودی های تابع است.

دامنه تابع می تواند، به همراه تعریف تابع، از پیش مشخص شده باشد. مثلا در تابع

$f(x)=x^{2}~~~~~~~~~~~~~0\leq x \leq 5$

دامنه تابع را بازه $0\leq x \leq 5$ تشکیل می دهد.

هرچند، اگر دامنه تابع از پیش تعیین نشده باشد، آنگاه قرارداد معمول این است که دامنه تابع، دامنه عبارت جبری مورد نظر است (دامنه عبارت های جبری را در کتاب مقدماتی بحث کرده ایم). یعنی مجموعه همه اعداد حقیقی که برای آنها عبارت جبری مورد نظر تعریف شده است (یعنی خروجی حقیقی دارد). مثلا توابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(x)=\frac{1}{x-4}~~~~~~~~~~~~~g(x)=\sqrt{x}$

تابع $f$ در $x=4$ تعریف نشده است ( مخرج صفر می شود )؛ بنابراین دامنه این تابع به صورت $\left\lbrace x~|~x\neq 4 \right\rbrace$ می باشد. از طرفی، تابع $g$ برای مقادیر منفی $x$ تعریف نشده است. بنابراین دامنه آن به صورت $\left\lbrace x~|~x \geq 0 \right\rbrace$ می باشد.

مثال هایی از تعیین دامنه تابع

مثال 1: دامنه تابع $~f(x)=\frac{1}{x^{2}-x}~$ را بیابید.

پاسخ: می دانیم که عبارت های کسری، وقتی مخرج کسر صفر شود، تعریف نشده اند. بنابراین، از آنجا که مخرج کسر در نقاط

$x^{2}-x=x(x-1)=0~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~x=0~~~~or~~~~x=1$

تعریف نشده است، دامنه تابع به صورت $~\left\lbrace x~|~x \neq 0,~x \neq 1 \right\rbrace~$ می باشد؛ و یا

$\left( -\infty,~0 \right) \cup \left( 0,~1 \right) \cup \left( 1,~\infty \right)$

مثال 2: دامنه تابع $~g(u)=\sqrt{9-u^{2}}~$ را بیابید.

پاسخ: می دانیم که عبارت زیر رادیکال باید غیرمنفی باشد. بنابراین،

$9- u^{2} \geq 0~~~~\Rightarrow~~~~9 \geq u^{2} ~~~~\Rightarrow~~~~ 3\geq |u|~~~~\Rightarrow~~~~-3 \leq u \leq 3$

پس دامنه تابع به صورت $~\left\lbrace u~|~ -3 \leq u \leq 3 \right\rbrace~$ می باشد؛ و یا

$\left[ -3,~3 \right]$

مثال 3: دامنه تابع $~h(t)=\frac{t}{ \sqrt{t+1}}~$ را بیابید.

پاسخ: می دانیم که عبارت زیر رادیکال باید غیرمنفی و مخرج باید غیرصفر باشد. بنابراین،

$t+1 >0 ~~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~t>-1$

پس دامنه تابع به صورت $~\left\lbrace t~|~ t >-1 \right\rbrace~=\left( -1,\infty \right)$ می باشد.

چهار روش برای بیان توابع

بیان توابع

برای درک مفهوم تابع از دو دیدگاه ماشینی و نمودار پیکانی استفاده کردیم. هرچند، شیوه عمل هر تابع مشخص را می توان علی الاصول به چهار روش بیان کرد:

توصیف تابع با استفاده از کلمات. مثال: مساحت یک دایره برابر است با $\pi$ برابر مجذور شعاع آن.
۱
توصیف تابع با استفاده از عبارت های جبری.
۱
مثال: مساحت یک دایره برابر است با $A(r)=\pi r^{2}~~$ .
۱
توصیف تابع با استفاده از نمودار.
۱
مثال: شکل زیر.

توصیف تابع با استفاده از شیوه عددی (جدول مقادیر).

برخی از توابع را به سادگی می توان به هر چهار روش بیان کرد و اغلب مفید است که برای درک عملکرد تابع از دو و یا سه روش به آن نگاه کنیم. هرچند، بیشتر اوقات ترجیح می دهیم از توصیف تابع با عبارت های جبری شروع کنیم ( چون مختصرترین روش است. ).

به مثال زیر دقت کنید.

بیان یک تابع با استفاده از کلمات، جبری، نموداری و جدول مقادیر

مثال: فرض کنید که دما برحسب مقیاس فارنهایت را با $F$ و دما بر حسب مقیاس سلیسوس را با $C$ نشان می دهیم. رابطه این دو مقیاس را به صورت زیر بیان می کنیم:

برای پیدا کردن دما بر حسب فارنهایت با استفاده از دما بر حسب سلسیوس، دما بر حسب مقیاس سلسیوس را در $\frac{9}{5}$ ضرب کرده و نتیجه را با 32 جمع کنید.

این بیان را به شیوه جبری، عددی و نموداری بازگویی کنید.
۱

پاسخ :

رابطه جبری

$F(C)=\frac{9}{5}C+32$

جدول مقادیر مقابل را ببینید.

نمودار مقابل را ببینید.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی مفهوم تابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

مقدار یک تابع برای یک $x$ خاص را چطور می یابیم؟ با یک مثال توضیح دهید.
توابع دوضابطه ای چه نوع توابعی هستند؟ توابع چندضابطه ای چه نوع توابعی هستند؟
یک مثال از تابع دوضابطه ای بنویسید.یک مثال از تابع چندضابطه ای بنویسید.
نرخ تغییر کل در یک تابع چطور بدست می آید؟ اسامی دیگر نرخ تغییر کل را بنویسید.
نسبت تغییر چیست؟ رابطه ریاضی آن را بنویسید.
جدول مقادیر یک تابع چیست؟
تعریف دامنه تابع را بنویسید.
اگر دامنه تابع از پیش معلوم نشده باشد، چطور باید دامنه تابع را بیابیم؟
چهار روش بیان توابع را نام ببرید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

مقدار توابع داده شده را در نقاط خواسته شده بیابید.

مقدار توابع داده شده را در نقاط خواسته شده بیابید.

با استفاده از توابع داده شده، عبارت های جبری خواسته شده را بیابید.

با استفاده از توابع داده شده، نرخ تغییر بین نقاط مورد اشاره را بیابید.

با استفاده از توابع داده شده، مقدار $f(a)$ ، $f(a+h)$ و نسبت تغییرات $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ را بیابید.

دامنه و برد توابع داده شده را بیابید.

دامنه توابع داده شده را بیابید.

درس بعدی: نمودار تابع

در دو جلسه بعد با شیوه های متفاوت رسم نمودار توابع آشنا خواهیم شد. سپس، معیاری برای تشخیص تابع بودن یک نمودار ارائه خواهیم داد. آنگاه درباره تفاوت توابع و معادلات بحث خواهیم کرد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه