۵- ویژگی های خط

آنچه گذشت: شیب و معادله خط

شیب یک خط عبارت است از میزان جابه جایی در راستای عمودی تقسیم بر میزان جابه جایی در راستای افقی. مقدار شیب خط یکتاست.

تعریف شیب خط در دستگاه مختصات: شیب $m$ یک خط غیر عمودی که از نقاط $A(x_{1},~y_{1})$ و $B(x_{2},~y_{2})$ عبور می کند برابر است با $m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

معادله خطی با شیب $m$ که از نقطه $(x_{1},~y_{1})$ می گذرد به صورت زیر است:

$y-y_{1}=m\left( x-x_{1} \right)$

معادله خطی با شیب $m$ و عرض از مبدا $b$ به صورت زیر است:

$y =m x +b$

خطوط افقی و عمودی

اگر خطی افقی باشد، آنگاه شیب آن برابر صفر است $m=0$ ؛ و بنابراین معادله خط افقی به صورت $y=b$ خواهد بود. از طرفی، خط عمودی شیب ندارد ولی می توان معادله آن را به صورت $x=a$ نوشت که در آن $a$ تقاطع خط با محور $x$ ها است. به شکل بالا دقت کنید. بنابراین:

معادله خطی عمودی که از نقطه $(a,~b)$ می گذرد به صورت $x=a$ می باشد.

معادله خطی افقی که از نقطه $(a,~b)$ می گذرد به صورت $y=b$ می باشد.

مثال 1: در شکل بالا خط عمودی $x=3$ را میبینید. این خط از تمام نقاط $(3,~y)$ ، با هر مقدار دلخواه $y$ ، عبور می کند.

مثال 2: در شکل بالا خط افقی $y=-2$ را میبینید. این خط از تمام نقاط $(x,-2)$ ، با هر مقدار دلخواه $x$ ، عبور می کند.

دقت کنید که این دو خط همدیگر را در نقطه $(3,-2)$ قطع می کنند.

معادله عمومی خط

معادله خطی

تعریف معادله خطی: یک معادله خطی بر حسب متغیرهای $x$ و $y$ معادله ای به شکل $Ax+By+C=0$ می باشد که ضرایب ، $A$ $B$ و $C$ ثابت هستند و ضرایب $A$ و $B$ هر دو نباید به صورت همزمان صفر باشند.

معادله خط یک معادله خطی است زیرا:

معادله یک خط غیرعمودی و غیرافقی به صورت کلی $y=mx+b$ و یا $-mx+y-b=0$ است که همان معادله خطی با ضرایب $~A=-m,~B=1,C=-b~$ می باشد.
یک خط عمودی با معادله $x=a$ و یا $x-a=0$ نیز یک معادله خطی با ضرایب $~A=1,~B=0,C=-a~$ می باشد.
یک خط افقی با معادله $y=b$ و یا $y-b=0$ نیز یک معادله خطی با ضرایب $~A=0,~B=1,C=-b~$ می باشد.

به صورت معکوس، معادله خطی نیز نشان دهنده معادله یک خط است زیرا:

اگر $B\neq 0$ ، آنگاه معادله خطی را می توان به صورت $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$ نوشت که نشان دهنده خطی با شیب $-\frac{A}{B}$ و عرض از مبدا $-\frac{C}{B}$ می باشد.
اگر $B= 0$ ، آنگاه معادله خطی را می توان به صورت $Ax+C=0$ نوشت که نشان دهنده خط عمودی $x=-\frac{C}{A}$ می باشد.

معادله عمومی خطی

بنا برآنچه گفته شد، قضیه زیر را اثبات کرده ایم:

قضیه: فرض کنید ضرایب $A$ ، $B$ و $C$ ثابت هستند و ضرایب $A$ و $B$ همزمان صفر نیستند. آنگاه نمودار هر معادله خطی به شکل

$Ax+By+C=0$

نشان دهنده یک خط است. به صورت معکوس، هر خط نیز نمودار یک معادله خطی است.

به دلیل این قضیه، معادله ای به شکل کلی $Ax+By+C=0$ را معادله خطی می نامند.

مثال از رسم معادله خطی

نمودار معادله $2x-3y-12=0$ را رسم کنید.

پاسخ (روش اول): در این روش دو نقطه از خط، یعنی تقاطع با محورهای $x$ و $y$ ، را پیدا کرده و خط را رسم می کنیم.

$y=0~~~~~\Rightarrow~~~~~2x-3\times 0-12=0~~~~~\Rightarrow~~~~~x=6$

$x=0~~~~~\Rightarrow~~~~~2\times 0-3y-12=0~~~~~\Rightarrow~~~~~y=-4$

این دو نقطه را در شکل مقابل پیدا کرده و نهایتا خط را رسم می کنیم.

این روش یکی از موثرترین روش ها در خط رسم است.

پاسخ (روش دوم): در این روش معادله خطی را به شکل استاندارد معادله خط تبدیل کرده و سپس با استفاده از عرض از مبدا و شیب خط، نمودار خط را رسم می کنیم.

$2x-3y-12=0~~~~~\Rightarrow~~~~~-3y=-2x+12~~~~~\Rightarrow~~~~~y=\frac{2}{3}x-4$

نقطه عرض از مبدا، یعنی نقطه $(0,-4)$ را بر روی محور پیدا می کنیم. سپس، با توجه به اینکه شیب برابر $\frac{2}{3}$ می باشد، دو واحد در جهت عمودی و 3 واحد در جهت افقی حرکت می کنیم تا خط مورد نظر رسم شود.

خطوط موازی و عمود بر هم

خطوط موازی شیب برابر دارند.

با توجه به اینکه شیب خط میزان مایل بودن خط را نشان می دهد به نظر منطقی می رسد که خطوط موازی، شیب برابر داشته باشند. در واقع می توان این نکته را اثبات کرد:

قضیه: دو خط غیرعمودی موازی هستند اگر و فقط اگر شیب برابر داشته باشند.

اثبات: فرض کنید که شیب خطوط $l_{1}$ و $l_{2}$ در شکل مقابل به ترتیب برابر $m_{1}$ و $m_{2}$ می باشد. اگر این دو خط موازی باشند آنگاه مثلث های قائم الزاویه $ABC$ و $DEF$ متشابه اند ( به حالت برابری سه زاویه ). در نتیجه داریم:

$m_{1}=\frac{d(B,~C)}{d(A,~C)}=\frac{d(E,~F)}{d(D,~F)}=m_{2}$

برعکس، اگر شیب دو خط با هم برابر باشد آنگاه مثلث ها با هم متشابه اند و بنابراین دو زاویه $\angle BAC$ و $\angle EDF$ با هم برابرند:

$\angle BAC = \angle EDF$ .

پس دو خط با هم موازی اند.

یافتن خطی که موازی خطی دیگر است.

معادله خطی را بیابید که از نقطه $(5,~2)$ می گذرد و موازی خط $4x+6y+5=0$ می باشد.

پاسخ: یک نقطه از خط خواسته شده را داریم؛ بنابراین اگر شیب خط را نیز بیابیم می توانیم معادله خط را پیدا کنیم. برای یافتن شیب خط به سراغ معادله خط موازی می رویم زیرا شیب این دو خط موازی برابر است.

$4x+6y+5=0~~~~\Rightarrow~~~~6y=-4x-5~~~~\Rightarrow~~~~y=-\frac{2}{3}x-\frac{5}{6}$

پس شیب خط خواسته شده برابر $-\frac{2}{3}$ می باشد. حال از معادله شیب-نقطه خط داریم:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})~~~~\Rightarrow~~~~y-2=-\frac{2}{3}(x-5)$

با کمی بسط دادن می توان معادله خط خواسته شده را به صورت $2x+3y-16=0$ یافت.

نمودار این دو خط را در شکل روبرو میبینید.

شیب خطوط عمود بر هم

وضعیت برای خطوط عمود بر هم کمی پیچیده تر است:

قضیه:

دو خط با شیب های غیرصفر $m_{1}$ و $m_{2}$ بر هم عمود هستند اگر و فقط اگر $m_{1}m_{2}=-1$ ؛ یعنی شیب های دو خط عمود، منفی معکوس هم می باشند:

$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}$

به علاوه، هر خط عمودی بر هر خطی افقی عمود است ( شیب همه خط های افقی برابر صفر و معادله آنها به صورت $y=b$ است در حالی که شیب همه خط های عمودی تعریف نشده و معادله آنها به صورت $x=a$ می باشد).

اثبات قضیه خطوط عمود بر هم

اثبات: مطابق شکل بالا دو خط $l_{1}$ و $l_{2}$ که در مرکز با هم تقاطع دارند را در نظر بگیرید. اگر دو خط مورد نظر در مبدا متقاطع نبودند می توانیم خطوطی موازی با این دو خط را بسازیم که در مبدا متقاطع اند و باز هم به همین اثبات می رسیم.

شیب این دو خط به ترتیب برابر $m_{1}$ و $m_{2}$ می باشد و بنابراین معادله آن دو به صورت $y_{1}=m_{1}x$ و $y_{2}=m_{2}x$ می باشد. در نتیجه نقاط $(1,m_{1})$ و $(1,m_{2})$ بر این دو خط قرار دارند. با توجه به قضیه فیثاغورس می دانیم که اگر $OA \perp OB$ ، آنگاه

$\left[ d(O,A) \right]^{2}+\left[ d(O,B) \right]^{2}=\left[ d(A,B) \right]^{2}$

حال با استفاده از فرمول فاصله دو نقطه داریم:

$(1^{2}+m^{2}_{1})+(1^{2}+m^{2}_{2})= (1-1)^{2}+(m_{1}-m_{2})^{2}$

$2+ m^{2}_{1}+m^{2}_{2} = m^{2}_{1}+m^{2}_{2}-2m_{1} m_{2} ~~~\Rightarrow~~~2=-2m_{1} m_{2}$

و یا $m_{1} m_{2}=-1$ .

تمرین: معکوس قضیه را اثبات کنید.

مثال

مثال ۱: نشان دهید که نقاط $P(3,~3)$ ، $Q(8,~17)$ و $R(11,~5)$ رئوس یک مثلث قائم الزاویه هستند.

پاسخ: شیب خطوط $PR$ و $QR$ به ترتیب برابر $m_{1}=\frac{5-3}{11-3}=\frac{1}{4}$ و $m_{2}=\frac{5-17}{11-8}=-4$ می باشد که حاصلضرب آن دو برابر $-1$ می باشد:

$m_{1}m_{2}=-4 \times \frac{1}{4}=-1$ .

پس این دو خط بر هم عمودند و زاویه قائمه هم در راس $R$ قرار دارد. شکل را ببینید.

مثال ۲ ( یافتن خطی عمود بر خط دیگر ): معادله خطی را بیابید که از مبدا مختصات می گذرد و بر خط $4x+6y+5=0$ عمود است.

پاسخ: معادله خطی $4x+6y+5=0$ را به شکل استاندارد خط می نویسیم:

$y=-\frac{2}{3}x-\frac{5}{6}~$ .

از آنجا که شیب این خط برابر $-\frac{2}{3}$ است، شیب هر خط عمود بر آن باید برابر $-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$ باشد. حال با توجه به اینکه خط مورد نظر از مبدا مختصات می گذرد داریم:

$y-0=\frac{3}{2}(x-0)$

رسم یک خانواده از خطوط توسط متمتیکا

مثال: با استفاده از یک نرم افزار محاسب ( آنلاین و یا آفلاین ) خانواده خطوط $y=0.5+b$ با مقادیر مختلف عرض از مبدا $b=-2,~-1,0,~1,~2$ را رسم کنید. این خطوط چه ویژگی مشترکی دارند؟

این دسته خطوط را مطابق شکل زیر با استفاده از متمتیکا رسم کرده ایم. همانطور که از شکل دیده می شود خطوط مورد نظر موازی هستند، یعنی شیبی یکسان برابر با 0.5 دارند.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی خط را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

معادله خط افقی به چه صورت است؟
معادله خط عمودی به چه صورت است؟
تعریف معادله خطی را بنویسید.
توضیح دهید که چرا معادله خط همیشه نشان دهنده یک معادله خطی است.
توضیح دهید که چرا معادله خطی همه انواع معادله های خط را در خود جای داده است.
اگر دو خط موازی باشند، شیب های آن دو خط چه رابطه ای با هم دارند.
چطور می توانیم با داشتن یک نقطه از یک خط، و داشتن معادله خطی موازی با آن، معادله خط اول را به دست آوریم.
اگر دو خط متعامد باشند، شیب های آن دو خط چه رابطه ای با هم دارند.
چطور می توانیم با داشتن یک نقطه از یک خط، و داشتن معادله خطی عمود بر آن، معادله خط اول را به دست آوریم.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

در هر کدام از معادلات خط زیر، شیب خط، عرض از مبدا و طول از مبدا را بیابید. خط را نیز رسم کنید.

در هر کدام از تمرینات زیر، تعیین کنید که دو خط داده شده موازی اند، متعامدند و یا هیچکدام.

نشان دهید که نقاط زیر چهار راس یک متوازی الاضلاع هستند.

$A(1,~1),~~ B(7, 4),~~ C(5, ~10),~~D(-1,~ 7)$

نشان دهید که نقاط زیر سه راس یک مثلث قائم الزاویه هستند.

$A(-3, -1),~~ B(3, ~3),~~ C(-9,~ 8)$

نشان دهید که نقاط زیر چهار راس یک مستطیل هستند.

$A(1,~1),~~ B(11, ~3),~~ C(10, ~8),~~ D(0, ~6)$

آیا سه نقطه موجود در قسمت $(a)$ بر روی یک خط قرار دارند؟ سه نقطه موجود در قسمت $(b)$ چطور؟

مساحت مثلث تشکیل شده بین خط $2y + 3x - 6 = 0$ و محورهای افقی و عمودی را بیابید.

نشان دهید که اگر تقاطع خطی با محورهای $x$ و $y$ به ترتیب در نقاط $(a,0)$ و $(0,b)$ رخ دهد آنگاه می توان معادله خط را به شکل زیر نوشت.

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1$

تقاطع خطی با محورهای $x$ و $y$ به ترتیب در نقاط $(6,0)$ و $(0,-8)$ رخ می دهد. با استفاده از تمرین قبل، معادله خط را به دست آورید.الف: خط آبی رنگ زیر بر دایره ای به معادله $x^{2}+y^{2}=25$ در نقطه $(3,~-4)$ مماس است. معادله این خط را بیابید.ب: در کدام نقطه خطی دیگر موازی با خط آبی رنگ بر دایره مورد نظر مماس خواهد شد؟

توجه: مساله پیدا کردن خط مماس به صورت طبیعی در حسابان پیش خواهد آمد و در آنجا به صورت روشمند حل خواهد شد. ولی برخی مسائل ساده تر، مانند مساله بالا، را می توان با استفاده از روش های ابتدایی جبر و هندسه نیز حل کرد.

درس بعدی: حل معادله درجه دوم

معادله درجه دوم یکی از پرکاربردترین معادلات ریاضی است. در جلسه بعد با روش های مختلف حل این معادله آشنا شده و روش عمومی دلتا برای حل آن را نیز فرا خواهیم گرفت.

همچنین در تلاش برای حل این مساله برای اولین بار به محدودیت اعداد حقیقی در حل معادلات برخورد خواهیم کرد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه