۶- حل معادله درجه دوم

آنچه گذشت: ویژگی های خط

معادله خط عمودی که از نقطه $(a,~b)$ می گذرد به صورت $x=a$ می باشد.

معادله خط افقی که از نقطه $(a,~b)$ می گذرد به صورت $y=b$ می باشد.

قضیه: فرض کنید ضرایب $A$ ، $B$ و $C$ ثابت هستند و ضرایب $A$ و $B$ همزمان صفر نیستند. آنگاه نمودار هر معادله خطی به شکل زیر نشان دهنده یک خط است. به صورت معکوس، هر خط نیز نمودار یک معادله خطی است.

$Ax+By+C=0$

قضیه: دو خط غیرعمودی موازی هستند اگر و فقط اگر شیب برابر داشته باشند.

قضیه: دو خط با شیب های غیرصفر $m_{1}$ و $m_{2}$ بر هم عمود هستند اگر و فقط اگر $m_{1}m_{2}=-1$ . به علاوه، هر خط عمودی بر هر خط افقی عمود است.

معادلات درجه دوم

در دوره مقدمات ریاضی آموختیم که چطور می توان معادلات درجه اول، مانند سه معادله زیر، را حل کرد. اساس کار استفاده از دو ویژگی اصلی معادلات بود: 1- اگر دو طرف معادله ای را با عددی جمع کنیم معادله ای درست خواهیم داشت. 2- اگر دو طرف معادله ای را در عددی غیر صفر ضرب کنیم نیز معادله ای درست خواهیم داشت.

نکته اصلی این است که هر عملی را باید بر طرفین تساوی اعمال کرد تا درست بودن تساوی به هم نخورد. در این جا نیز از همین ایده ساده برای حل معادلات درجه دوم استفاده خواهیم کرد.

معادله درجه دوم از متغیر $x$ به شکل کلی $ax^{2}+bx+c=0$ می باشد که در آن ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ ثابت و حقیقی هستند و $a \neq 0$ .

چند نمونه از معادلات درجه دوم را در شکل زیر می بینید.

معادله درجه دو را به نام معادله سهمی و معادله مربعی نیز می شناسند.

در این جلسه می خواهیم شیوه پیدا کردن جواب معادلات درجه دوم ( یعنی محل تقاطع نمودار معادله با محور افقی ) را بیابیم.

روش فاکتورگیری برای حل معادله درجه دو

روش فاکتورگیری ( تجزیه )

برخی معادلات درجه دوم را می توان به شکل $(x-a)(x-b)=0$ تجزیه کرده و سپس جواب آنها را به شکل $x=a$ و $x=b$ به دست آورد.

یادآوری: $AB=0$ اگر و فقط اگر $A =0$ و یا $B=0$ .

مثال: معادله درجه دوم $x^{2}+5x=24$ را حل کنید.

پاسخ:

$x^{2}+5x=24~~~~\Rightarrow~~~~x^{2}+5x-24=0~~~~\Rightarrow~~~~(x-3)(x+8)=0$

$x-3 =0~~~~~~~or~~~~~~~x+8 =0$

از رابطه آخر نتیجه می گیریم که معادله مورد نظر دو جواب به صورت $x=3$ و $x=-8$ دارد.

اشتباه نکنیم:

$AB=0~~~~~\Leftrightarrow~~~~~A =0~~~or~~~B=0$

نتیجه بالا فقط وقتی درست است که سمت راست تساوی صفر باشد. به همین دلیل نمی توانستیم از رابطه $x(x+5) =24$ جواب را به دست آوریم.

درستی جواب را چک کنید. به محل قرار گرفتن ریشه ها در نمودار معادله دقت کنید.

روش کامل کردن مربع برای حل معادله درجه دو

کامل کردن مربع

یادآوری: در بخش نهایی دوره مقدمات ریاضی دیدیم که معادله ای به شکل

$(x\pm a)^{2}=c$

را می توانیم با جذر گرفتن از طرفین حل کنیم. در چنین معادله ای، سمت چپ معادله یک “مربع کامل” است، یعنی توان دوم یک عبارت جبری.

برخی از معادلات درجه دوم را که نمی توان به روش تجزیه حل کرد، می توان به روش “کامل کردن مربع” حل نمود.

برای اینکه عبارت $x^{2}+bx$ را مربع کامل کنیم باید مربع نصف ضریب $x$ ، یعنی $(\frac{b}{2})^{2}$ ، را به آن اضافه کنیم:

$x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2}=\left( x+\frac{b}{2} \right)^{2}$

معنی هندسی کامل کردن مربع: جمله $x^{2}$ در شکل مقابل، نشان دهنده مساحت مربعی به ضلع $x$ است. به همین صورت، جمله $bx$ نشان دهنده جمع مساحت های دو مستطیل به طول $x$ و عرض $b/2$ است. با اضافه کردن مربعی به ضلع $b/2$ می توان مربع بزرگتری به ضلع $x+b/2$ ساخت که مساحت آن برابر $(x+b/2)^{2}$ می باشد.

j

مثال هایی از کامل کردن مربع

حل معادله درجه دو به روش کامل کردن مربع

جواب های معادله $x^{2}-8x+13=0$ را به روش کامل کردن مربع بیابید.

جواب های معادله $3x^{2}-12x+6=0$ را به روش کامل کردن مربع بیابید.j
نکته: برای کامل کردن مربع، باید حتما ضریب $x^{2}$ یک باشد. اگر این ضریب یک نبود، با فاکتورگیری از ضریب $x^{2}$ شرایط را برای کامل کردن مربع فراهم کنید. به این مثال دقت کنید.
حال می توانیم پاسخ را به شیوه معمول ادامه دهیم. دقت کنید که در اینجا کامل کردن مربع باید در داخل پرانتز انجام شود (به دلیل ضریب $x^{2}$ ).

حل کلی معادله درجه دو نیز در واقع به روش کامل کردن مربع به دست می آید. بخش بعد را ببینید.

حل کلی معادله درجه دو

حل کلی معادله درجه دو با استفاده از روش مربع کامل

جواب کلی معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ در بازه اعداد حقیقی به صورت زیر می باشد

$x_{1}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

به شرطی که $a \neq 0$ و $b^{2}-4ac \geq 0$ .

اثبات: برای استفاده از روش کامل کردن مربع، باید در ابتدا ضریب جمله $x^{2}$ را حذف کنیم. برای اینکار طرفین معادله را بر ثابت $a$ تقسیم می کنیم:
l

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

حال از روش کامل کردن مربع استفاده می کنیم:

$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}~~~~\Rightarrow~~~~\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{-4ac+b^{2}}{4a^{2}}$

در انتها نیز از طرفین رابطه اخیر جذر میگیریم:

$x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ~~~~\Rightarrow~~~~ x_{1},~x_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

توجه: دقت کنید که بنا به رابطه بالا، معادله درجه دوم حداکثر دو ریشه ( جواب ) دارد. درباره تعداد و انواع ریشه ها در ادامه بحث خواهیم کرد.

یادگیری شیوه اثبات تاثیر بسزایی در درک و استفاده درست روابط دارد.

جواب معادله درجه دوم — مثال از دو جواب مجزا

ریشه های معادله $3x^{2}-5x-1=0$ را بیابید.

پاسخ: در ابتدا باید ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ را تشخیص دهیم:

حال می توانیم با جایگذاری ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ در فرمول حل کلی معادله درجه دوم، جواب ها را به دست آوریم:

تا اینجا مجاز هستیم هر دو جواب را به کمک علامت $\pm$ با هم بنویسیم. هرچند، در انتها باید جواب ها را به صورت مجزا گزارش کنیم:

جواب معادله درجه دوم — مثال از ریشه مضاعف

جواب های معادله $4x^{2}+12x+9=0$ را بیابید.

پاسخ: در ابتدا باید ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ را تشخیص دهیم:

$a=4,~~~~~~~~~b=12,~~~~~~~~~c=9$

حال می توانیم با جایگذاری ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ در فرمول حل کلی معادله درجه دوم، جواب ها را به دست آوریم:

$x_{1},~x_{2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-12+ \sqrt{12^{2}-4 \times 4\times 9}}{2\times 4}=\frac{-12 \pm 0}{8}=-\frac{3}{2}$

بنابراین این معادله فقط یک ریشه دارد؛ یعنی فقط یک محل تقاطع نمودار با محور $x$ داریم. شکل را ببینید.

اصطلاحا می گوییم ریشه مضاعف، یا تبهگن، داریم.

جواب معادله درجه دوم — مثال از معادلات بدون جواب حقیقی

معادله $x^{2}+2x+2=0$ را حل کنید.

پاسخ: در ابتدا باید ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ را تشخیص دهیم:

$a=1,~~~~~~~~~b=2,~~~~~~~~~c=2$

حال می توانیم با جایگذاری ضرایب $a$ ، $b$ و $c$ در فرمول حل کلی معادله درجه دوم، جواب ها را به دست آوریم:

$x_{1},~x_{2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4 \times 1\times 2}}{2\times 1}=\frac{-2 \pm 2\sqrt{-1}}{8}$

$=-1 \pm \sqrt{-1}$

از آنجا که ریشه دوم عدد $-1$ در بازه اعداد حقیقی بی معنی است می گوییم این معادله جواب حقیقی ندارد. از لحاظ هندسی نیز می بینیم که نمودار معادله هیچ محل تقاطعی با محور $x$ ندارد. شکل را ببینید.

معادله بالا در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد ولی در مجموعه “اعداد مختلط” جواب دارد. اعداد مختلط به شکل کلی $a+b\sqrt{-1}$ هستند و در جلسات آینده، به اختصار، بحث خواهند شد.

مبین و یا دلتا

کمیت $b^{2}-4ac$ که در صورت جواب کلی معادله درجه دوم، و زیر علامت رادیکال، قرار دارد تعیین کننده رفتار جواب های این معادله است. این کمیت را مبین می نامند که از کلمه انگلیسی $Discriminant$ به دست آمده است و معمولا آن را با $D$ ، $\delta$ و یا $\Delta$ (بخوانید دلتا) نشان می دهند:

$\Delta = b^{2}-4ac~~$

بر اساس علامت دلتا، جواب های معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ می توانند در سه حالت رخ دهند:

اگر $\Delta >0$ آنگاه معادله درجه دوم دو جواب مجزا دارد.
اگر $\Delta =0$ آنگاه معادله درجه دوم فقط یک جواب دارد (بعضی اوقات جواب مضاعف و یا تبهگن هم می گویند).
اگر $\Delta < 0$ آنگاه معادله درجه دوم جواب حقیقی ندارد.

برای درک معنی هندسی هر کدام از این حالت ها، شکل زیر را ببینید.

بررسی تعداد جواب های معادله به روش دلتا

سه مثال زیر را برای تعیین تعداد جواب ها به روش دلتا در نظر می گیریم:

تعداد ریشه های معادله $x^{2}+4x-1=0$ را بیابید.پاسخ:

$\Delta = b^{2}-4ac=4^{2}-4(1)(-1)=20>0$

ا پس باید دو جواب داشته باشیم و همانطور که از شکل پیداست، این معادله دو جواب دارد. این دو جواب را بیابید.

تعداد جواب های معادله $4x^{2}-12x+9=0$ را بیابید.پاسخ:

$\Delta = b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4(4)(9)=0$

ا پس باید فقط یک جواب داشته باشیم و همانطور که از شکل پیداست، این معادله یک جواب دارد. این جواب را بیابید.

جواب های معادله $\frac{1}{3} x^{2}-2x+4=0$ را بیابید.پاسخ:

$\Delta = b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(\frac{1}{3})(4)=-\frac{4}{3}<0$

ا پس معادله هیچ جواب حقیقی ندارد، و همانطور که از شکل پیداست، نمودار آن نیز هیچ تقاطعی با محور $x$ ها ندارد.

اگر ضریب جمله $\mathbf{x^{2}}$ منفی باشد، سهمی رو به پایین خواهد بود.

ریشه هرکدام از معادلات زیر را بیابید و جواب بدست آمده را با شکل مقایسه کنید.

نکته تاریخی

فرانسوا ویت ( $François~~Viète$ )، ریاضی دان فرانسوی، اولین کسی بود که ضرایب معادله درجه دوم را با پارامترهای کلی نشان داد و بنابراین راه را پیدا کردن حل کلی معادلات باز کرد. پیش از او هر معادله را به صورت مجزا می نوشتند:

$2x^{2}+3x-1=0$

$5x^{2}+2x-7=0$

$7x^{2}+3x-10=0$

ولی فرانسوا ویت برای نخستین بار از نمادگذاری زیر استفاده کرد.

$ax^{2}+bx+c=0$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی جواب معادله درجه دوم را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

چه معادله ای را معادله درجه دوم می نامند؟ شکل کلی این معادله را بنویسید.
اسامی دیگر معادله درجه دوم چیست؟
روش فاکتورگیری ( تجزیه ) برای حل معادلات درجه دوم را توضیح دهید.
منظور از کامل کردن مربع چیست؟
از نظر هندسی، کامل کردن مربع را با رسم شکل توضیح دهید.
عبارت $x^{2}-1.5x$ را به صورت مربع کامل بنویسید.
چطور می توانیم معادلات درجه دوم را به روش کامل کردن مربع حل کنیم؟
جواب کلی معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ را بنویسید. برای بدست آوردن این جواب از چه روشی استفاده می کنیم؟
معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ حداکثر و حداقل چند ریشه دارد؟
توضیح دهید که چطور مقدار مبین، و یا دلتا، تعداد جواب های معادلات درجه دوم را تعیین می کند.
با رسم شکل توضیح دهید که چطور مقدار دلتا در معادله درجه دوم، تعداد نقاط قطع نمودار معادله را تعیین می کند.
در چه حالتی نمودار سهمی به سمت بالا و در چه حالت به سمت پایین باز می شود؟

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

همه جواب های حقیقی معادلات درجه دوم زیر را به روش تجزیه ( فاکتورگیری ) بیابید.

همه جواب های حقیقی معادلات درجه دوم زیر را به روش کامل کردن مربع بیابید.

همه جواب های حقیقی معادلات درجه دوم زیر را بیابید.

همه جواب های حقیقی معادلات درجه دوم زیر را به روش دلتا و به کمک ماشین حساب بیابید.

در هرکدام از معادلات درجه دوم زیر، متغیر درجه دوم که با $for$ نشان داده شده است، را بر حسب متغیرهای دیگر بیابید.

با استفاده از مبین تعیین کنید که هرکدام از معادلات زیر چند جواب دارد. جواب معادلات را نیز به دست آورید.

در هرکدام از معادلات زیر $x$ را بیابید.

در هرکدام از معادلات زیر مقدار پارامتر $k$ را طوری بیابید که معادله فقط یک جواب داشته باشد.

درس بعدی: ویژگی های جواب در معادلات درجه دوم و مدلسازی

در جلسه بعد ویژگی های جواب ها در معادلات درجه دوم را بررسی خواهیم کرد. برای اینکار به صورت گسترده از روش دلتا استفاده کرده و نتایج جالبی به دست خواهیم آورد.

همچنین، با برخی مدلسازی های ساده بر اساس معادله درجه دوم آشنا خواهیم شد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

۶- حل معادله درجه دوم

آنچه گذشت: ویژگی های خط

معادلات درجه دوم

روش فاکتورگیری برای حل معادله درجه دو

روش فاکتورگیری ( تجزیه )

روش کامل کردن مربع برای حل معادله درجه دو

کامل کردن مربع

j

مثال هایی از کامل کردن مربع

حل معادله درجه دو به روش کامل کردن مربع

حل کلی معادله درجه دو

حل کلی معادله درجه دو با استفاده از روش مربع کامل

جواب معادله درجه دوم — مثال از دو جواب مجزا

جواب معادله درجه دوم — مثال از ریشه مضاعف

جواب معادله درجه دوم — مثال از معادلات بدون جواب حقیقی

مبین و یا دلتا

بررسی تعداد جواب های معادله به روش دلتا

نکته تاریخی

نکات مهم این درس

تمرین

درس بعدی: ویژگی های جواب در معادلات درجه دوم و مدلسازی

منابع درس

نظر بدهید لغو پاسخ

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

ورود با حساب کاربری سایت شما

Register a new account

Modal title