۷. آهنگ متوسط تغییر یک تابع

آنچه گذشت: توابع افزایشی و کاهشی؛ نقاط بیشینه و کمینه تابع

تابع $f$ در یک بازه افزایشی است اگر هرگاه $x_{1}<x_{2}$ آنگاه $f(x_{1})<f(x_{2})$ .

تابع $f$ در یک بازه کاهشی است اگر هرگاه $x_{1}<x_{2}$ آنگاه $f(x_{1})>f(x_{2})$ .

مقدار $f(a)$ را مقدار بیشینه موضعی تابع $f$ می نامند اگر برای هر نقطه $x$ نزدیک به نقطه $a$ داشته باشیم: $f(a) \geq f(x)~~$ . یعنی مقدار تابع در نقطه $a$ از مقدار تابع در هر نقطه همسایگی اش بیشتر باشد. شکل زیر را ببینید.

مقدار $f(a)$ را مقدار کمینه موضعی تابع $f$ می نامند اگر برای هر نقطه $x$ نزدیک به نقطه $a$ داشته باشیم: $f(a) \leq f(x)~~$ . یعنی مقدار تابع در نقطه $a$ از مقدار تابع در هر نقطه همسایگی اش کمتر باشد. شکل زیر را ببینید.

آهنگ متوسط تغییر

سرعت متوسط به عنوان آهنگ متوسط تغییر در مسافت

توابع معمولا برای توصیف کمیت های در حال تغییر استفاده می شوند. در این درس یاد خواهیم گرفت که چطور آهنگ تغییر در خروجی تابع، وقتی که ورودی تابع تغییر می کند، را بیابیم.

همه ما کمابیش با مفهوم سرعت آشنا هستیم: اگر مسافتی 120 مایلی را در دو ساعت طی کنیم، آنگاه سرعت متوسط ما برابر $\frac{120~mi}{2~h}=60~mi/h$ خواهد بود.

حال فرض کنید که به مسافرت رفته و هرچند دقیقه میزان فاصله طی شده از مقصد را یادداشت می کنیم (جاده مستقیم است). بنابراین اگر فاصله را با $d$ نشان دهیم، این کمیت تابع زمان خواهد بود: $d(t)$ .

به شکل زیر دقت کنید. این شکل نشان می دهد که راننده 50 مایل را در یک ساعت اول، و 140 مایل را در سه ساعت اول طی کرده است.

برای پیدا کردن سرعت متوسط بین هر دو نقطه از مسیر سفر، ما مسافت طی شده بین این دو نقطه را بر زمان لازم برای طی این مسافت تقسیم می کنیم.

اجازه دهید سرعت متوسط بین ساعت 1 تا 4 مسافرت را تعیین کنیم. زمان طی شده در این فاصله $4-1=3$ ساعت می باشد. فاصله طی شده در این زمان نیز برابر $200-50=150$ مایل است. بنابراین سرعت متوسط در این زمان، یعنی فاصله طی شده بخش بر زمان، برابر است با

$velocity=\frac{distance}{time}=\frac{d(4)-d(1)}{4-1}=\frac{200-50}{4-1}=50~mi/h~~~~~~~~~~$

توجه کنید که در یک بازه زمانی متفاوت، مثلا از ساعت دوم تا سوم، سرعت متوسط هم متفاوت است:

$v = \frac{d(3)-d(2)}{3-2}=\frac{140-75}{3-2}=65~mi/h$

بررسی آهنگ متوسط تغییر در بسیاری از موضوعات علمی نقش اساسی دارد و در واقع می توان این کمیت را برای همه توابع تعریف کرد.

تعریف آهنگ متوسط تغییر در یک تابع

آهنگ متوسط تغییر در تابع $y=f(x)$ ، بین نقاط $x=a$ تا $x=b$ ، به صورت زیر تعریف می شود:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

نکته مهم: آهنگ متوسط تغییر بین دو نقطه در واقع شیب خط واصل نقاط اولیه و ثانویه است؛ یعنی شیب خطی که از نقاط $\left(a,~f(a) \right)$ و $\left(b,~f(b) \right)$ می گذرد. شکل زیر را ببینید.

عبارت موجود در صورت کسر، یعنی $f(b)-f(a)$ ، همان نرخ تغییر کل است که قبلا معرفی شده است (درس دوم از دوره حاضر).

1 مثال اول از محاسبه آهنگ متوسط تغییر در یک تابع

برای تابع $f(x)=(x-3)^{2}$ ، که نمودار آن را در زیر می بینید، آهنگ متوسط تغییر بین نقاط داده شده را بیابید.

$نمودار تابع f(x)=(x-3)^{2}$

الف) آهنگ متوسط تغییر بین نقاط $x=1$ و $x=3$ .

پاسخ: در ابتدا نرخ تغییر کل را می یابیم:

$f(3)-f(1)=(3-3)^{2}-(1-3)^{2}=-4$

بنابراین، آهنگ متوسط تغییر بین نقاط داده شده برابر است با

$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{(3-3)^{2}-(1-3)^{2}}{3-1}=-2$

چرا آهنگ متوسط تغییر منفی است؟

ب) آهنگ متوسط تغییر بین نقاط $x=4$ و $x=7$ .

پاسخ: در ابتدا نرخ تغییر کل را می یابیم:

$f(7)-f(4)=(7-3)^{2}-(4-3)^{2}=15$

آهنگ متوسط تغییر بین نقاط داده شده

$\frac{f(7)-f(4)}{7-4}=\frac{(7-3)^{2}-(4-3)^{2}}{7-4}=5$

چرا آهنگ متوسط تغییر مثبت است؟

مثال دوم از محاسبه آهنگ متوسط تغییر در یک تابع

اگر جسمی را از ارتفاعی رها کنیم، آنگاه آن جسم پس از طی $t$ ثانیه، مسافت $d(t)=16t^{2}$ را بر حسب فوت طی می کند. سرعت متوسط ( آهنگ متوسط تغییر در تابع مسافت ) را در بازه های داده شده بیابید.

الف) سرعت متوسط بین لحظات $t=1$ و $t=5$ .

پاسخ:

سرعت متوسط بین لحظات داده شده برابر است با

$v=\frac{d(5)-d(1)}{5-1}=\frac{16(5)^{2}-16(1)^{2}}{5-1}=\frac{400-16}{4}=96~ft/s$

چرا آهنگ متوسط تغییر مثبت است؟

ب) سرعت متوسط بین لحظات $t=a$ و $t=a+h$ .

پاسخ:

سرعت متوسط بین لحظات داده شده برابر است با

$v=\frac{d(a+h)-d(a)}{a+h-a}=\frac{16(a+h)^{2}-16(a)^{2}}{h}$

$=16\frac{a^{2}+h^{2}+2ah-(a)^{2}}{h}=16\frac{2ah+h^{2}}{h}=16(2a+h)$

آهنگ متوسط تغییر مثبت است و یا منفی؟

رابطه رفتار کاهشی و افزایشی توابع و آهنگ متوسط تغییر آنها

همانطور که قبلا گفته شد، آهنگ متوسط تغییر حساب شده در بخش دوم مثال قبل را “نسبت تغییر” می نامند: $\frac{f(a+h)-f(a)}{ h } ~~~~~~~~~~~~~~$

در حسابان از کمیت “نسبت تغییر” برای محاسبه “آهنگ لحظه ای تغییر” استفاده خواهیم کرد (وقتی که پارامتر $h$ خیلی کوچک باشد). مفهوم مشتق بر اساس این مفهوم معرفی می شود.

یک مثال از آهنگ لحظه ای تغییر، سرعت لحظه ای ماشین است که می توان آن را از عقربه سرعت سنج ماشین خواند.

بنا به شکل زیر، اگر تابع $f$ بر بازه $\left( a,~b \right)$ افزایشی باشد، آنگاه آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه از آن بازه مثبت است. شکل سمت چپ را ببینید. توجه: شیب خط واصل مثبت است.

از طرفی اگر تابع $f$ بر بازه $\left( a,~b \right)$ کاهشی باشد، آنگاه آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه از آن بازه منفی است. شکل سمت راست را ببینید. توجه: شیب خط واصل منفی است.

مثال سوم از محاسبه آهنگ متوسط تغییر در یک تابع

دانش آموزی دمای محیط را در ساعت های مختلف یک روز بهاری اندازه گرفته و نتایج را برحسب درجه فارنهایت در جدول زیر گزارش کرده است. نمودار این تابع را رسم کرده و آهنگ متوسط تغییر در دما بین ساعت های زیر را محاسبه کنید.

الف) آهنگ متوسط تغییر در دما بین ساعت های 8 تا 9 صبح:

$\frac{F(9)-F(8)}{9-8}=\frac{40-38}{9-8}=2^{\circ}F/h$

ب) آهنگ متوسط تغییر در دما بین ساعت های 1 تا 3 بعدازظهر:

$\frac{F(15)-F(13)}{15-13}=\frac{67-62}{15-13}=2.5^{\circ}F/h$

پ) آهنگ متوسط تغییر در دما بین ساعت های 4 تا 7 بعدازظهر:

$\frac{F(19)-F(16)}{19-16}=\frac{51-64}{19-16} \approx -4.3^{\circ}F/h$

آهنگ متوسط تغییر در دما در دو حالت اول مثبت و در حالت سوم منفی است. چرا؟

آهنگ متوسط تغییر در توابع خطی ثابت است

آهنگ تغییر در توابع خطی

به یاد داریم که تابعی به شکل $f(x)=mx+b$ یک تابع خطی است و نمودار آن یک خط با شیب $m$ است.

از طرفی می توان ثابت کرد که اگر آهنگ تغییر در یک تابع ثابت باشد، آنگاه آن تابع حتما خطی است (اثبات کنید!).

در حالت کلی می توان اثبات کرد که آهنگ تغییر متوسط در تابع خطی $\mathbf{f(x)= mx +b}$ برابر $\mathbf{m}$ می باشد. مثال زیر را ببینید.

مثال از آهنگ تغییر در توابع خطی

فرض کنید داریم $f(x)=3x-5$ . آهنگ متوسط تغییر تابع $f(x)$ بین نقاط داده شده را بیابید.

الف) آهنگ متوسط تغییر تابع بین نقاط $x=0$ و $x=1$ :

پاسخ:

$\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{(3\times 1-5)-(3\times 0-5)}{1}=3$

ب) آهنگ متوسط تغییر تابع بین نقاط $x=3$ و $x=7$ :

پاسخ:

$\frac{f(7)-f(3)}{7-3}=\frac{(3\times 7-5)-(3\times 3-5)}{4}=3$

پ) آهنگ متوسط تغییر تابع بین نقاط $x=a$ و $x=a+h$ :

پاسخ:

$\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\frac{(3\times a-5)-(3\times (a+h)-5)}{h}=\frac{3h}{h}=3$

بنابراین، آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه این خط برابر 3 می باشد که همان شیب خط است.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی آهنگ متوسط تغییر یک تابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

تعریف سرعت متوسط چیست و چه کمیتی را بیان می کند؟
آیا می توانید نمونه دیگری از آهنگ متوسط تغییر یک تابع، به جز سرعت متوسط، مثال بزنید؟
تعریف دقیق آهنگ متوسط تغییر یک تابع را بنویسید.
رابطه بین آهنگ متوسط تغییر بین دو نقطه و شیب خط واصل آن دو نقطه را بیان کنید.
توضیح دهید که چرا وقتی تابع افزایشی است، آهنگ متوسط تغییر آن تابع مثبت است؟
توضیح دهید که چرا وقتی تابع کاهشی است، آهنگ متوسط تغییر آن تابع منفی است؟
آهنگ لحظه ای تغییر را در اینترنت جستجو کرده و معنی آن را بنویسید.
توضیح دهید که چرا آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه یک خط یک مقدار ثابت است.
توضیح دهید که چرا آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه یک خط برابر شیب آن خط است.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

در هر یک از توابع زیر،

نرخ تغییر کل بین نقاط مشخص شده را بیابید.
آهنگ متوسط تغییر بین نقاط مشخص شده را بیابید.

در هر یک از توابع زیر،

نرخ تغییر کل بین دو نقطه مشخص شده را بیابید.
آهنگ متوسط تغییر بین دو نقطه مشخص شده را بیابید.

در هر یک از توابع زیر،

آهنگ متوسط تغییر بین نقاط $x=a$ و $x=a+h$ را بیابید.
نشان دهید که در هر دو مورد، آهنگ متوسط تغییر بین این نقاط برابر با شیب خط است.

در شکل زیر،

کدام یک از دو تابع $f$ و $g$ آهنگ متوسط تغییر بزرگتری بین نقاط $x=0$ و $x=1$ دارد؟
کدام یک از دو تابع $f$ و $g$ آهنگ متوسط تغییر بزرگتری بین نقاط $x=1$ و $x=2$ دارد؟

در شکل زیر، کدام یک از دو تابع $f$ ، $g$ و $h$ آهنگ متوسط تغییر بزرگتری در بازه های $\left( 0,1 \right)$ ، $\left( 1,2 \right)$ و $\left( 2,3 \right)$ دارد؟

نمودار زیر عمق آب یک محل ذخیره آب در روزهای مختلف سال را نشان می دهد. آهنگ متوسط تغییر در عمق آب را در بازه های $\left( 0,100 \right)$ ، $\left( 100,200 \right)$ و $\left( 0,300 \right)$ به دست آورید. درباره مثبت و منفی بودن آهنگ متوسط تغییر در عمق آب در هر مورد توضیح دهید.