۷- ویژگی های جواب و مدلسازی بوسیله معادلات درجه دوم

آنچه گذشت: حل معادله درجه دوم

جواب کلی معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ به صورت زیر می باشد

$x_{1}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

بر اساس علامت دلتا $\Delta = b^{2}-4ac$ ، جواب های معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ می توانند در سه حالت رخ دهند:- اگر $\Delta >0$ آنگاه معادله درجه دوم دو جواب مجزا دارد.
ا
– اگر $\Delta =0$ آنگاه معادله درجه دوم فقط یک جواب دارد (بعضی اوقات جواب مضاعف و یا تبهگن هم می گویند).
– اگر $\Delta < 0$ آنگاه معادله درجه دوم جواب حقیقی ندارد.
ا

1برای درک معنی هندسی هر کدام از این حالت ها، شکل مقابل را ببینید.

ویژگی های جواب

معادلات درجه دوم خاص

اگر در یک معادله درجه دوم به شکل $ax^{2}+bx+c=0$ داشته باشیم:

$a+b+c=0$

(یعنی مجموع ضرایب برابر صفر باشد)، آنگاه همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد 1 و دیگری برابر $\frac{c}{a}$ است.

اثبات: برای نشان دادن این خاصیت، پارامتر $b$ را به صورت $b=-a-c$ در فرمول جواب های معادله درجه دوم جایگزین می کنیم:

$x_{1},~~x_{2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{a+c \pm \sqrt{(a+c)^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1},~~x_{2} =\frac{a+c \pm \sqrt{(a^{2}+c^{2}+2ac) -4ac}}{2a}=\frac{a+c \pm \sqrt{(a-c)^{2}}}{2a}$

$x_{1},~~x_{2} =\frac{a+c \pm |a-c|}{2a}$

حال اگر $a>c$ ، آنگاه دو جواب به صورت 1 و $\frac{c}{a}$ خواهیم داشت:

$a>c ~~~~~\Rightarrow~~~~~ x_{1},~~x_{2} =\frac{a+c \pm (a-c)}{2a}=1,~~~\frac{c}{a}$

اگر $a<c$ ، باز هم دو جواب به صورت 1 و $\frac{c}{a}$ به دست خواهد آمد:

$a<c ~~~~~\Rightarrow~~~~~ x_{1},~~x_{2} =\frac{a+c \pm (c-a)}{2a}=1,~~~\frac{c}{a}$

معادلات درجه دوم خاص

اگر در یک معادله درجه دوم به شکل $ax^{2}+bx+c=0$ داشته باشیم:

$a-b+c=0$ ،

آنگاه همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد $-1$ و دیگری برابر $-\frac{c}{a}$ است.

اثبات: برای نشان دادن این خاصیت، پارامتر $b$ را به صورت $b=a+c$ در فرمول جواب های معادله درجه دوم جایگزین می کنیم:

$x_{1},~~x_{2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a+c)^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1},~~x_{2} =\frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a^{2}+c^{2}+2ac) -4ac}}{2a}=\frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^{2}}}{2a}$

$x_{1},~~x_{2} =\frac{-(a+c) \pm |a-c|}{2a}$

حال اگر $a>c$ ، آنگاه دو جواب به صورت $-1$ و $-\frac{c}{a}$ خواهیم داشت:

$a>c ~~~~~\Rightarrow~~~~~ x_{1},~~x_{2} =\frac{-(a+c) \pm (a-c)}{2a}=-1,~~~-\frac{c}{a}$

اگر $a<c$ ، باز هم دو جواب به صورت $-1$ و $-\frac{c}{a}$ به دست خواهد آمد:

$a<c ~~~~~\Rightarrow~~~~~ x_{1},~~x_{2} =\frac{-(a+c) \pm (c-a)}{2a}=-1,~~~-\frac{c}{a}$

ویژگی های کلی جواب ها

مجموع ( $sum$ ) و حاصل ضرب ( $product$ ) ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار هستند. معمولا در ریاضیات، مجموع ریشه‌ها را با $s$ و ضرب ریشه‌ها را با $p$ نمایش می‌دهند.

مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دو به صورت زیر به دست می‌آیند:

$s=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} ,~~~~~~~~~~~~~ p=x_{1} \times x_{2}=\frac{c}{a}$

اثبات:

$s=x_{1}+x_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$

$p=x_{1} \times x_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\times \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{ b^{2}-(b^{2}-4ac) }{4a^{2}}=\frac{c}{a}$

همچنین داریم:

$|{x_{1}-x_{2}}|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}} ~~\Rightarrow~~ {\displaystyle \Delta ={(x_{1}-x_{2})^{2}}{a^{2}}$

تمرین

این ویژگی ها را اثبات کنید:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=s^{2}-2p$

$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=s\times p$

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=s^{3}-(3\times p\times s)$

$x_{1}^{3}=(s+p)^{3}$

$x_{2}^{3}=(s-p)^{3}$

$x_{1}^{2}=(s+p)^{2}$

$x_{2}^{2}=(s-p)^{2}$

منبع: پایگاه کتاب های درسی ایران.

مدلسازی بوسیله معادلات درجه دوم

ابعاد یک ساختمان

یک ساختمان مستطیل شکل به مساحت 2900 فوت مربع را در نظر بگیرید. فرض کنید که طول این ساختمان 8 فوت بیشتر از عرض آن است. ابعاد ساختمان را بیابید.

عرض ساختمان را با $w$ نشان می دهیم. در اینصورت، طول ساختمان به اندازه $w+8$ می باشد. در نتیجه مساحت ساختمان برابر است با $w(w+8)=2900$ . از اینجا می توان با حل معادله درجه دوم حاصله، عرض ساختمان را یافت:

$w(w+8)=2900~~~~~~\Rightarrow~~~~~w^{2}+8w-2900=0$

$w_{1}=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-8- \sqrt{8^{2}-4(1)(-2900)}}{2}=-58$

که غیر قابل قبول است زیرا عرض ساختمان نمی تواند منفی باشد؛ ولی

$w_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-8+ \sqrt{8^{2}-4(1)(-2900)}}{2}=+50$

قابل قبول است. طول ساختمان نیز برابر $50+8=58$ فوت می باشد.

حرکت رفت و برگشت هواپیما

فاصله نیویورک تا لس آنجلس برابر 4200 کیلومتر می باشد. تندی یک هواپیما در برگشت از لس آنجلس 100 کیلومتر بر ساعت بیشتر از رفت است. اگر کل مسافرت رفت و برگشت 13 ساعت به طول انجامیده باشد، تندی حرکت جت از نیویورک به لس آنجلس چقدر است؟

پاسخ: تندی ( $speed$ ) حرکت یک متحرک را می توان به صورت مسافت طی شده بخش بر زمان طی مسافت تعریف کرد. بنابراین زمان برابر است با مسافت بخش بر تندی. در این صورت زمان رفت و برگشت این پرواز برابر است با

$\frac{4200}{s}+\frac{4200}{s+100}=13$

که در آن پارامتر $s$ همان تندی است. حال با ضرب طرفین رابطه در مخرج مشترک داریم:

$4200(s+100)+ 4200s=13s(s+100)~~~~~~\Rightarrow~~~~~~13s^{2}-7100s-420000=0$

$s=\frac{7100\pm \sqrt{7100^{2}-4(13)(-420000)}}{2(13)}=\frac{7100\pm 8500}{26}=600,~~~-53.8$

بنابراین هواپیما با تندی $600~km/h$ از نیویورک به لس آنجلس حرکت می کند.

حرکت شتابدار یک بعدی

جسمی به صورت عمودی و با سرعت اولیه $v_{0}$ به سمت بالا پرتاب می شود. اگر مکان جسم بر حسب فوت، سرعت جسم بر حسب فوت بر ثانیه و شتاب جسم بر حسب فوت بر مجذور ثانیه سنجیده شود، وابستگی موقعیت جسم به زمان به صورت زیر خواهد بود:

$h=-16t^{2}+v_{0}t$

فرض کنید که گلوله ای با سرعت اولیه $v_{0}=800~ft/s$ به سمت بالا شلیک می شود.

الف) در چه زمانی گلوله به زمین برمیگردد؟

پاسخ: وقتی گلوله به زمین بازگردد، ارتفاع گلوله صفر خواهد شد:

$h=0~~~\Rightarrow~~~~-16t^{2}+800t=0~~~~\Rightarrow~~~~-16t(t-50)=0$

از اینجا نتیجه می گیریم که گلوله پس از 50 ثانیه به زمین برمیگردد.

ب) در چه زمانی گلوله به ارتفاع $6400~ft$ می رسد؟

پاسخ: وقتی گلوله به ارتفاع $6400~ft$ برسد، داریم:

$h=6400~~~\Rightarrow~~~~-16t^{2}+800t=6400~~~~\Rightarrow~~~~t^{2}-50t+400=0$

$t_{1},~~t_{2}=\frac{50\pm \sqrt{50^{2}-4(400)}}{2}=10,~~40$

پس گلوله یکبار در حین بالا رفتن ( ده ثانیه پس از شلیک ) و یکبار در حین پایین آمدن ( چهل ثانیه پس از شلیک) به ارتفاع 6400 فوتی می رسد.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی جواب معادله درجه دوم و مدلسازی توسط این معادله را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

رابطه حاصلجمع دو ریشه معادله درجه دوم را بر حسب ضرایب این معادله بنویسید.
رابطه حاصلضرب دو ریشه معادله درجه دوم را بر حسب ضرایب این معادله بنویسید.
رابطه حاصل تفریق دو ریشه معادله درجه دوم را بر حسب ضرایب این معادله بنویسید.
چه نوع مسائلی را می توان به وسیله معادله درجه دوم مدلسازی کرد؟

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

مساحت شکل زیر $160~in^{2}$ می باشد. اندازه $x$ را بیابید.

مساحت شکل زیر $120~cm^{2}$ می باشد. اندازه $x$ را بیابید.

حجم استوانه زیر برابر $40\pi cm^{3}$ و ارتفاع آن $10 cm$ می باشد. شعاع استوانه را بیابید.

درس بعدی: مقدمه ای بر اعداد مختلط

در جلسه بعد به صورت بسیار خلاصه با اعداد مختلط آشنا خواهیم شد. این اعداد بر اساس ریشه دوم اعداد منفی تعریف می شوند و تقریبا در همه شاخه های ریاضی و علوم کاربرد دارند.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

۷- ویژگی های جواب و مدلسازی بوسیله معادلات درجه دوم

آنچه گذشت: حل معادله درجه دوم

ویژگی های جواب

معادلات درجه دوم خاص

معادلات درجه دوم خاص

ویژگی های کلی جواب ها

تمرین

مدلسازی بوسیله معادلات درجه دوم

ابعاد یک ساختمان

حرکت رفت و برگشت هواپیما

حرکت شتابدار یک بعدی

نکات مهم این درس

تمرین

درس بعدی: مقدمه ای بر اعداد مختلط

منابع درس

نظر بدهید لغو پاسخ

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

ورود با حساب کاربری سایت شما

Register a new account

Modal title