۸. تابع خطی

آنچه گذشت: آهنگ متوسط تغییر یک تابع

آهنگ متوسط تغییر در تابع $y=f(x)$ ، بین نقاط $x=a$ تا $x=b$ ، به صورت زیر تعریف می شود: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
۱

نکته مهم: آهنگ متوسط تغییر بین دو نقطه در واقع شیب خط واصل نقاط اولیه و ثانویه است؛ یعنی شیب خطی که از نقاط $\left(a,~f(a) \right)$ و $\left(b,~f(b) \right)$ می گذرد. شکل زیر را ببینید.
۱

بنا به شکل زیر، اگر تابع $f$ بر بازه $\left( a,~b \right)$ افزایشی باشد، آنگاه آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه از آن بازه مثبت است. شکل سمت چپ را ببینید. توجه: شیب خط واصل مثبت است.

از طرفی اگر تابع $f$ بر بازه $\left( a,~b \right)$ کاهشی باشد، آنگاه آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه از آن بازه منفی است. شکل سمت راست را ببینید. توجه: شیب خط واصل منفی است.

آهنگ تغییر متوسط در تابع خطی $f(x)=mx+b$ برابر $m$ می باشد.

تابع خطی

تغییرات خطی در پدیده ها با توابع خطی مدلسازی می شوند.

تغییرات خطی در پدیده ها (تغییرات با آهنگ تغییر ثابت) با استفاده از توابع خطی مدلسازی می شوند. تابع خطی ساده ترین نوع تابع است و در این درس مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

یادآوری: تابع خطی تابعی است که به شکل کلی $f(x)=ax+b$ می باشد. بنابراین، متغیر مستقل در تابع خطی حداکثر از درجه اول خواهد بود.

تابع خطی به شکل معادله $y=ax+b$ هم نوشته می شود. در دوره ریاضیات پایه: معادلات و نمودارها فهمیدیم که نمودار چنین معادله ای به شکل یک خط است که شیب آن $a$ و عرض از مبدا آن $b$ می باشد.

تشخیص توابع خطی:

کدامیک از توابع زیر خطی اند؟

الف) تابع $f(x)=2+3x$ خطی است، زیرا $a=3,~b=2$ .

ب) تابع $g(x)=3(1-2x)$ خطی است، زیرا با تبدیل آن داریم $g(x)=3-6x$ ؛ بنابراین $a=-6,~b=3$ .

پ) تابع $h(x)=x(4+3x)$ خطی نیست، زیرا با تبدیل آن داریم $h(x)=4x+3x^{2}$ ، که یک تابع درجه دوم است.

ت) تابع $k(x)=\frac{1-5x}{4}$ خطی است، زیرا با تبدیل آن داریم $k(x)=\frac{1 }{4}-\frac{ 5 }{4}x$ ؛ بنابراین $a=-\frac{ 5 }{4},~b=\frac{1 }{4}$ .

ث) تابع $l(x)=\frac{3x-1}{x}$ خطی نیست، زیرا جمله ای با توان $x^{-1}$ دارد.

رسم تابع خطی

فرض کنید که یک تابع خطی به صورت $f(x)=3x+2$ تعریف شده است. الف) یک جدول مقادیر ساخته و نمودار تابع را رسم کنید. ب) شیب این نمودار چقدر است؟

پاسخ الف: جدول مقادیر این تابع در ستون زیر موجود است. نمودار این تابع را می توان به کمک این نقاط رسم کرد؛ هرچند، برای رسم نمودار یک تابع خطی فقط دو نقطه کافی است.

پاسخ ب: برای پیدا کردن شیب خط می توان شیب بین هر دو نقطه را به دست آورد ( نتیجه یکسان خواهد بود. ). ما شیب را بین دو نقطه $x=1$ و $x=4$ پیدا می کنیم:

$slope= \frac{14-5}{4-1}=3$

همانطور که انتظار داشتیم شیب خط با ضریب جمله $x$ در عبارت $f(x)=3x+2$ برابر شد. این حالت برای تمام توابع خطی برقرار است. ادامه بحث را ببینید.

شیب و آهنگ تغییر تابع خطی

آهنگ تغییر در توابع خطی

تابع $f(x)=ax+b$ را به عنوان یک تابع خطی در نظر بگیرید. اگر نقاط $x_{1}$ و $x_{2}$ دو نقطه مجزا بر روی محور افقی باشند و مقادیر متناظر با آنها $y_{1}=f(x_{1})$ و $y_{2}=f(x_{2})$ باشند، آنگاه بنا به تعریف شیب خط و آهنگ متوسط تغییر داریم:

آهنگ متوسط تغییر $= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=$ شیب خط

پس برای یک خط، مقادیر شیب خط و آهنگ متوسط تغییر با هم برابر هستند. از آنجا که آهنگ متوسط تغییر بین هر دو نقطه از یک خط مساوی است، آن را آهنگ تغییر می نامند. بنابراین به نکته بسیار مهم زیر می رسیم:

برای یک تابع خطی به شکل $f(x)=ax+b$ ، شیب نمودار $f$ برابر است با آهنگ تغییر در تابع $f$ و هر دو برابر مقدار $a$ ، یعنی ضریب $x$ ، هستند.

اختلاف در “شیب خط” و “آهنگ متوسط تغییر” عملا به نقطه نظر ما برمی گردد. مثلا وقتی درباره تغییر در میزان آب موجود در یک مخزن صحبت می کنیم (این میزان آب معمولا بر حسب ارتفاع آب اندازه گرفته می شود) طبیعی است که از آهنگ تغییر در تراز آب صحبت کنیم. ولی وقتی نموداری رسم کرده و مشغول بررسی تغییرات در آن هستیم، طبیعی است که درباره شیب نمودار صحبت کنیم. این دو عملا یکی هستند؛ ولی در موقعیت های مختلف معمولا یکی را به دیگری ترجیح می دهیم.

مثال از محاسبه آهنگ تغییر و شیب خط

سد ساخته شده بر روی رودخانه باعث می شود که تراز آب سالیانه به صورت $f(t)=4.5t+28$ تغییر کند که در آن $t$ سال های سپری شده از زمان ساخت سد و $f(t)$ ارتفاع آب بر حسب فوت است.

الف) نمودار این تابع را رسم کنید.

پاسخ را در شکل زیر می بینید.

ب) شیب این نمودار چقدر است؟

پاسخ: شیب نمودار برابر $4.5$ می باشد (یعنی ضریب $t$ ).

پ) آهنگ تغییر ارتفاع آب سد چقدر است؟

پاسخ: آهنگ تغییر ارتفاع آب سد نیز برابر $4.5$ فوت بر سال می باشد. از آنجا که این آهنگ مثبت است، تراز آب در حال افزایش است (میزان آب سد سال به سال افزایش می یابد).

استفاده از تابع خطی

ساخت مدل های خطی

وقتی از یک مدل خطی برای مدل سازی رابطه بین دو کمیت استفاده می کنیم، شیب نمودار تابع برابر است با آهنگ تغییر در یکی از کمیت ها نسبت به کمیت دیگر.

برای مثال شکل زیر ( سمت چپ ) نشان دهنده مقدار سوخت در یک منبع در حال پر شدن را نشان می دهد. شیب چنین خطی را به راحتی می توان به صورت $\frac{6}{3} gal/min$ گالون بر دقیقه به دست آورد. این مقدار البته با آهنگ تغییر در مقدار سوخت نیز برابر است.

شکل سمت راست نیز نشان دهنده مقدار سوخت در یک منبع در حال خالی شدن است. شیب چنین خطی را می توان به صورت $\frac{-3}{100} gal/min$ گالون بر دقیقه به دست آورد. این مقدار البته با آهنگ تغییر در مقدار سوخت نیز برابر است.

در ادامه پدیده های دیگری در دنیای واقعی را بوسیله توابع خطی مدلسازی خواهیم کرد. در همه این مدل ها آهنگ تغییر ثابت است.

مثال اول از ساخت یک مدل خطی

منبع آبی در ابتدا 200 گالون آب را درون خود جای داده است . حال، آب با آهنگ 5 گالون بر دقیقه به درون منبع وارد می شود.

الف) تابعی خطی بیابید که حجم آب را بر حسب زمان (دقیقه) بیان می کند.

پاسخ: به دنبال تابعی خطی به شکل کلی $V(t)=at+b$ هستیم که در آن $V(t)$ نشان دهنده حجم آب موجود در منبع و $t$ زمان است. از آنجا که منبع در زمان صفر شامل 200 گالون آب است داریم: $V(0)=a \times 0+b=200~~~\Rightarrow~~~b=200~~~~~~~~~~~~$ همچنین، بنا به صورت مساله “آب با آهنگ 5 گالون بر دقیقه به درون منبع وارد می شود”؛ پس آهنگ تغییرات تابع $a=5$ می باشد. بنابراین داریم:

$V(t)=5t+200~~~~~~~$

ب) اگر ظرفیت مخزن 600 گالون باشد، چقدر طول می کشد تا مخزن پر شود؟

پاسخ:

$600=5t+200~~~~\Rightarrow~~~~5t=400~~~~\Rightarrow~~~~t=80~~~$

پس منبع آب پس از 80 دقیقه پر می شود.

مثال دوم از ساخت یک مدل خطی

مطابق شکل زیر، برای مدلسازی ارتفاع راه پله از یک مدل خطی در دستگاه مختصات استفاده کرده ایم. محور عمودی به ابتدای پله اول چسبیده است و خط قرمز رنگ لبه پله ها را نشان می دهد. طول ها برحسب اینچ اندازه گیری شده اند.

الف) تابعی خطی بسازید که ارتفاع لبه هر پله را مشخص کند.

پاسخ: ارتفاع پله ها را با $H(x)$ و فاصله از مبدا را با $x$ نشان می دهیم:

$H(x)=ax+b$

برای تعیین این تابع خطی، کافیست شیب خط و عرض از مبدا را تعیین کنیم. شیب خط مورد نظر را می توان از دو نقطه تعیین شده خواند:

$a=\frac{32-16}{36-12}=\frac{2}{3}$

و عرض از مبدا این خط هم برابر است با ارتفاع پله اول: $b=8~~$ . بنابراین داریم:

$H(x)=\frac{2}{3}x+8$

ب) ارتفاع پله ای که در فاصله افقی 132 اینچی از مبدا قرار گرفته است، از سطح زمین چقدر است؟

پاسخ:

$H(132)=\frac{2}{3}\times 132+8=96~in$

مثال سوم از ساخت یک مدل خطی

جان و مِری بر روی یک جاده مستقیم به سمت غرب حرکت می کنند. مری سفر خود را راس ظهر و از فیلادلفیا آغاز می کند در حالی که جان در این لحظه 150 مایل از فیلادلفیا فاصله دارد. نمودار بالا را ببینید. این نمودار مکان این دو راننده نسبت به فیلادلفیا را برحسب زمان به دست می دهد.

الف) سرعت این دو راننده چقدر است؟ بر اساس نمودار روبرو، سرعت کدام بیشتر است و چرا؟

پاسخ الف: سرعت این دو راننده را با استفاده از موقعیت آن دو در ساعت 2 و چهار بعدازظهر ( نقاط مشخص شده ) بدست می آوریم:

$v_{John}=\frac{350~mi -250~mi}{4~h-2~h}=50mi/h$

$v_{Mary}=\frac{300~mi -150~mi}{4~h-2~h}=75mi/h$

بنابراین سرعت مری بیشتر است. این نکته را می توان از روی نمودار موقعیت-زمان هم تشخیص داد زیرا در این نمودار، شیب نمودار حرکت مری بیشتر از شیب نمودار حرکت جان است.

ب) نمودار مکان بر حسب زمان این دو راننده را بیابید.

پاسخ ب: مکان این دو راننده با زمان به صورت خطی تغییر می کند. پس توابع مورد نظر باید به شکل $f(x)=ax+b$ باشند که در آن $a$ شیب هر نمودار (سرعت در بخش الف) و $b$ عرض از مبدا است. با توجه به این نکته معادله حرکت این دو به صورت زیر به دست می آید:

$J(x)= 50x+150~~~~~~~~~~~~~~~~~~M(x)=75x+0$

که در آن توابع $J(x)$ و $M(x)$ به ترتیب نشان دهنده مکان جان و مری در هر لحظه از زمان هستند.

پ) در چه زمانی این دو راننده به هم می رسند؟

پاسخ: پس از شش ساعت.

$J(x)=M(x) ~~ \Rightarrow~~~ 50x+150=75x ~~~ \Rightarrow~~~ x=6$

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی تابع خطی را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

چه نوع تابعی را تابع خطی می گوییم؟
اگر نمودار تابع خطی $f(x)=ax+b$ را رسم کنیم، شیب خط و عرض از مبدا چقدر به دست خواهند آمد؟
توضیح دهید که چرا آهنگ تغییر در تابع خطی با شیب خط برابر است.
چرا بعضی اوقات از آهنگ تغییر و گاهی نیز از شیب خط برای ارجاع به تغییرات تابع خطی استفاده می کنیم؟
چه نوع تغییراتی را می توان به وسیله توابع خطی مدلسازی کرد؟

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

استخر آبی در حال پر شدن است و نمودار زیر نشان دهنده حجم آب استخر ( محور عمود، بر حسب گالون ) به عنوان تابعی از زمان ( محور افق، بر حسب زمان ) است.
1. شیب نمودار چقدر است؟
2. آهنگ پرشدن استخر چقدر است؟
3. چقدر آب در ابتدا درون استخر داشته ایم؟
4. معادله این خط را بیابید.

آیا تابع $f(x)=3$ خطی است؟ اگر بله، شیب و عرض از مبدا آن چقدر است؟

آیا توابع زیر خطی هستند؟ اگر جواب شما مثبت است، شیب و عرض از مبدا را یافته و خط مورد نظر را به شکل $f(x)=ax+b$ بنویسید.

برای توابع خطی زیر جدول مقادیر تشکیل داده و نمودار آنها را رسم کنید. شیب نمودار و عرض از مبدا را در هر مورد بیابید.

برای توابع خطی زیر جدول مقادیر تشکیل داده و نمودار آنها را رسم کنید. شیب نمودار و عرض از مبدا را در هر مورد بیابید. آهنگ تغییر در هر مورد چقدر است؟

برای جدول مقادیر داده شده، که نمایانگر توابع خطی هستند، آهنگ تغییر در هر مورد را یافته و نمودار مربوطه را رسم کنید. تابع را به شکل $f(x)=ax+b$ بنویسید.