۸. توان های گویا و رادیکال ها

آنچه گذشت: روابط مهم محاسبات توانی با توان صحیح و نمادگذاری علمی

اگر $a$ یک عدد حقیقی و مخالف صفر باشد ( یعنی $a \neq 0$ و $a \in \mathbb{R}$ ) و $n$ یک عدد طبیعی باشد (یعنی $n \in \mathbb{N}$ )، آنگاه داریم:

$a^{0}=1~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

به جز دو قانون بالا، روابط مهم محاسبات توانی را می توان در شکل زیر خلاصه کرد.

نمادگذاری علمی: می گوییم عدد مثبت $x$ با استفاده از نمادگذاری علمی بیان شده است اگر به صورت زیر نوشته شده باشد:

$x=a\times 10^{n}$

دقت کنید که عدد $a$ در نمادگذاری علمی حتما بین یک تا ده است ( $1 \leq a <10$ ) و $n$ حتما صحیح است ( $n \in \mathbb{Z}$ ).

در این جلسه با توان گویا ( کسری ) اعداد، و معادل رادیکالی آنها آشنا خواهیم شد.

رادیکال

معنی $a^{n}$ ، وقتی $n$ یک عدد طبیعی است، را تا اینجا فهمیده ایم:

مثلا داریم $2^{3}=2 \times 2 \times 2$ . حال می خواهیم معنی توان های کسری، مثلا $2^{\frac{1}{3}}$ ، را بفهمیم. برای اینکار با مفهوم رادیکال ها آغاز می کنیم.

علامت $\sqrt{~}$ به صورت “ریشه دوم مثبت”، “ریشه مربعی مثبت”، “جذر” و یا “رادیکال” خوانده می شود. همه این اسامی در ریاضی و علوم استفاده می شوند و باید با آنها آشنا باشیم.

ریشه دوم مثبت یک عدد حقیقی غیرمنفی مانند $a$ را با $\sqrt{a}$ نشان می دهند و نتیجهٔ آن یک عدد حقیقی غیر منفی است که مجذورش ( یعنی عدد حاصل از ضرب یک عدد در خودش — یا همان توان دوم ) برابر $a$ می باشد. بنابراین:

وقتی می نویسیم $\sqrt{a} = b$ یعنی داریم $b^{2}=a$ و $b \geq 0$ .

به ریشه های دوم مثبت اعداد، که براساس جدول بالا به دست آمده اند، دقت کنید:

$\sqrt{9}=3,~~~~~~~~\sqrt{25}=5,~~~~~~~~\sqrt{81}=9,~~~~~~~~\sqrt{144}=12$

پرسش: چرا می گوییم ریشه دوم “مثبت”؟

پاسخ:

دقت کنید که از حاصلضرب عدد 3 در خودش، و همچنین $-3$ در خودش، می توان عدد 9 را ساخت:

$3 \times 3~=~9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(-3) \times (-3)~=~9$

بنا به قرارداد، نمادگذاری $\sqrt{9}$ را برای ریشه دوم مثبت، یعنی عدد 3، نگه داشته ایم و ریشه منفی را با $-\sqrt{9}$ نشان می دهیم:

$3 ~=~\sqrt{9}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ -3 ~=~-\sqrt{9}$

این فقط یک قرارداد است و باید با آن کنار بیاییم!

ریشه دوم حالت خاصی از ریشه $n$ اُم است.

ریشه $n$ اُم:

اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد، آنگاه می گوییم $b$ ریشه $n$ اُم عدد $a$ است اگر داشته باشیم:

$b^{n}=a ~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~\sqrt[n]{a}=b$

دقت کنید که اگر $n$ عددی زوج باشد، آنگاه هر دو عدد $a$ و $b$ باید غیرمنفی باشند:

$If~~n~~is~~even,~~then~~~~~a \geq 0~~~ and~~~b \geq 0$

ریشه $n$ اُم عدد $a$ را با $\sqrt[n]{a}$ نشان می دهیم. عدد $n$ را فرجه یا ریشه می نامند و ترکیب $\sqrt[n]{a}$ را می خوانند فرجه $n$ اُم عدد $a$ یا ریشه $n$ اُم عدد $a$ .

مثلا داریم $\sqrt[4]{81}=3$ ، زیرا $3^{4}=81$ . همچنین، دقت کنید که ریشه چهارم یک ریشه زوج است، بنابراین باید عدد زیر رادیکال (یعنی 81) و نتیجه (یعنی 3) غیر منفی باشند؛ که البته هستند!

همچنین داریم $\sqrt[3]{-8}=-2$ ، زیرا $(-2)^{3}=-8$ .

عبارت های زیر در بازه اعداد حقیقی تعریف شده نیستند؛ چرا؟

$\sqrt{-8},~~~~~~~\sqrt[4]{-81},~~~~~~~\sqrt[6]{-27}$

توجه:

دقت کنید که

$\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}$

رادیکال با فرجه 2 پرکاربردترین نوع رادیکال است؛ به همین دلیل، و به خاطر سادگی، معمولا عدد 2 را در فرجه قرار نمی دهیم. بقیه فرجه ها باید دقیقا تعیین شوند.

توجه کنید که

$\sqrt{4^{2}}~=~\sqrt{16}~=~4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sqrt{(-4)^{2}}~=~\sqrt{16}~=~4=|-4|$

بنابراین معادله $\sqrt{a^{2}}=a$ همیشه درست نیست زیرا نتیجه بدست آمده از ریشه دوم عدد ( و در واقع هر رادیکال با فرجه زوج ) باید مثبت باشد.

معادله $\sqrt{a^{2}}=a$ فقط وقتی درست است که $a$ نامنفی باشد:

$a \geq 0 ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~~\sqrt{a^{2}}=a$

معادله $\sqrt{a^{2}}=|a|$ همیشه درست است. در واقع این معادله برای هر فرجه طبیعی از هر عدد حقیقی درست است:

$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$

دیگر ویژگی های مهم رادیکال ها را درادامه جمع بندی کرده ایم.

ویژگی های ریشه $n$ اُم اعداد

ویژگی های زیر برای ریشه $n$ اُم اعداد را بخاطر بسپارید.

ساده سازی عبارت های شامل ریشه $n$ اُم با استفاده از ویژگی های بالا

به دو مثال زیر از ساده سازی عبارت های شامل ریشه $n$ اُم با استفاده از ویژگی های بالا دقت کنید. به ویژه دقت کنید که در هر مرحله از چه ویژگی استفاده کرده ایم.

فاکتورگیری و ترکیب رادیکال ها

اغلب لازم است که عبارت های شامل رادیکال های مشابه را با هم ترکیب کنیم. اینکار را با استفاده از خاصیت توزیع پذیری اعداد حقیقی انجام می دهیم. به مثال ساده زیر دقت کنید:

$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}~=~(2+5)\sqrt{3}~=~7\sqrt{3}$

حال به مثال های زیر دقت کنید:

دقت کنید که در سطر اول از بالاترین عدد مربع کامل (16 و 100 ) در هر رادیکال فاکتور گرفته ایم. در سطر دوم از ویژگی شماره یک استفاده کرده ایم. در سطر سوم نیز از خاصیت توزیع پذیری اعداد حقیقی بهره برده ایم.

حال دو مثال زیر را به صورت دقیق بررسی کرده و تعیین کنید که در هر مرحله از چه ویژگی استفاده کرده ایم:

لطفا دقت کنید که ما در آینده فرض را بر این خواهیم گرفت که ویژگی های ذکر شده تاکنون را در عمل بلد هستیم. بنابراین کمتر از آنها به اسم یاد خواهیم کرد.

تسلط به این ویژگی ها به کمک تمرین و تکرار فراوان به دست می آید.

اشتباه نکنیم!

oops

لطفا دقت کنید که رابطه زیر اصلا درست نیست:

تاکنون، این اشتباه را در تصحیح برگه های امتحانی بسیار مشاهده کرده ام؛ بنابراین احتمالا به دلیلی به صورت اشتباه وارد ذهن دانش آموزان و دانشجویان می شود. هرچند، اگر با دو عدد دلخواه این رابطه رابیازمایید، می توانید به راحتی نشان دهید که اشتباه است. مثلا، اگر داشته باشیم $a=9$ و $b=25$ آنگاه داریم:

توان گویا

توان کسری و یا توان گویا

برای تعریف توان گویا ( و یا توان کسری ) مانند $a^{\frac{1}{3}}$ باید از مفهوم رادیکال استفاده کنیم. برای تعریف نماد $a^{\frac{1}{n}}$ به صورتی که با قوانین توان در توافق باشد، باید داشته باشیم:

$\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^{n}~=~a^{\frac{1}{n}\times n}=~a^{\frac{n}{n} }=a^{1}=a$

یعنی $a^{\frac{1}{n}}$ کمیتی است که وقتی به توان $n$ می رسد برابر $a$ می شود. بنابراین داریم

$a^{\frac{1}{n}} ~=~ \sqrt[n]{a}$

تعریف توان های کسری ( گویا ):

برای هر توان گویای $\frac{m}{n}$ ، که در آن $m$ و $n$ اعداد صحیح هستند و $n > 0$ ، داریم:

$a^{\frac{m}{n}}~=~\left( \sqrt[n]{a} \right)^{m}~~~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~~a^{\frac{m}{n}}~=~ \sqrt[n]{a^{m}}$

اگر $n$ عددی زوج باشد آنگاه عدد حقیقی $a$ باید نامنفی باشد:

$a \geq 0$ .

با استفاده از این تعریف می توان به راحتی اثبات کرد که قوانین توان ( که در ابتدای این جلسه یادآوری شد ) برای توان های کسری هم درست هستند.

مثال از محاسبه عبارت ها با توان گویا

ببینید چطور می توان از تبدیل رادیکال به توان کسری و برعکس برای محاسبات استفاده کرد.

همچنین استفاده از قوانین توان برای محاسبات شامل توان های کسری را در زیر می بینید.

برای تبدیل عبارت های رادیکالی به توان کسری داریم:

در آینده، و به تجربه، خواهید دید که کار کردن با توان های گویا بسیار سریعتر و دقیق تر از کار کردن با رادیکال هست؛ هرچند، هر دو نمادگذاری کاملا هم ارز هستند.

گویا سازی مخرج

برخی اوقات لازم است که رادیکال های موجود در مخرج عبارت های جبری را حذف کنیم. اینکار را می توانیم با ضرب صورت و مخرج کسر در عبارت های مناسب انجام دهیم. به این عملیات “گویاسازی مخرج” می گویند.

مثلا اگر مخرج از نوع $\sqrt{a}$ باشد، صورت و مخرج را در $\sqrt{a}$ ضرب می کنیم. با اینکار، در واقع کسر مورد نظر را در عدد 1 ضرب کرده ایم؛ در نتیجه، نتیجه کسر با گویاسازی مخرج تغییر نخواهد کرد. برای مثال داریم:

$\frac{1}{\sqrt{a}}~=~\frac{1}{\sqrt{a}}~ \times 1 ~=~\frac{1}{\sqrt{a}}~\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}~=~\frac{\sqrt{a}}{a}$

هرچند، در اکثر مواقع کار کمی پیچیده تر است. به سه مثال مقابل از فرایند گویاسازی مخرج دقت کنید:

دقت کنید که ما فقط مخرج را گویا کسر کرده ایم. گویا بودن و یا نبودن صورت کسر فعلا اهمیتی ندارد ( درس های بعد را ببینید. ).

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی رادیکال ها و توان های گویا را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

اسامی مختلف برای علامت ریاضی $\sqrt{~}$ را نام ببرید.
ریشه دوم مثبت یک عدد چه جور عددی است؟ چرا این ریشه مثبت است؟
ریشه $n$ اُم یک عدد چه نوع عددی است؟ آیا این ریشه می تواند منفی باشد؟
چرا رابطه $\sqrt{a^{2}}=a$ همیشه درست نیست؟ این رابطه چه زمانی درست است؟
آیا رابطه $\sqrt{a^{2}}=|a|$ همیشه درست است؟ چرا؟
پنج ویژگی اساسی رادیکال ها را بیان کرده و به فارسی توضیح دهید.
مراحل فاکتورگیری و ترکیب رادیکال ها را با ذکر یک مثال بیان کنید.
توان کسری یک عدد حقیقی را چطور می توان با استفاده از رادیکال ها معرفی کرد؟
مراحل گویاسازی مخرج را با ذکر یک مثال بیان کنید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.