۸- مقدمه ای بر اعداد مختلط

آنچه گذشت: ویژگی های جواب و مدلسازی بوسیله معادلات درجه دوم

جواب کلی معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ به صورت زیر می باشد

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

بر اساس علامت دلتا $\Delta = b^{2}-4ac$ ، جواب های معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ می توانند در سه حالت رخ دهند:

اگر $\Delta >0$ آنگاه معادله درجه دوم دو جواب مجزا دارد.
اگر $\Delta =0$ آنگاه معادله درجه دوم فقط یک جواب دارد (بعضی اوقات جواب مضاعف و یا تبهگن هم می گویند).
اگر $\Delta < 0$ آنگاه معادله درجه دوم جواب حقیقی ندارد.

مجموع ریشه‌ها را با $s$ و ضرب ریشه‌ها را با $p$ نمایش می‌دهند.

مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها:

$s=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$

$p=x_{1} \times x_{2}=\frac{c}{a}$

و روابط دیگر بین ریشه ها:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=s^{2}-2p$

$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=s\times p$

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=s^{3}-(3\times p\times s)$

$x_{1}^{3}=(s+p)^{3}$

$x_{2}^{3}=(s-p)^{3}$

$x_{1}^{2}=(s+p)^{2}$

$x_{2}^{2}=(s-p)^{2}$

چرا اعداد مختلط؟

در درس قبل دیدیم که اگر مبین معادله درجه دوم ( یا همان دلتا ) منفی باشد، معادله مورد نظر هیچ جواب حقیقی ندارد. برای مثال، معادله $x^{2}+4=0$ جواب حقیقی ندارد. در واقع اگر سعی کنیم این معادله را حل کنیم به نتیجه $x^{2}=-4$ می رسیم، یعنی $x=\pm \sqrt{-4}~~~$ .

ولی چنین عبارتی در بازه اعداد حقیقی “ناممکن” است زیرا مربع هر عدد حقیقی مثبت خواهد بود (مثلا $(-3)^{2}=9$ یک عدد مثبت است).

بنابراین نتیجه می گیریم که اعداد منفی ریشه دوم حقیقی ندارند.

هرچند، قبلا دیده ایم که ریشه دوم اعداد منفی در جواب های معادله درجه دوم ظاهر می شود. برای درک همه جواب های معادلات چندجمله ای، از جمله جواب های معادله درجه دوم، ریاضی دانان مجموعه جدیدی از اعداد را اختراع کرده اند که “دستگاه اعداد مختلط” نام دارد.

برای “اختراع” اعداد مختلط ما عدد جدیدی را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$i=\sqrt{-1}~~~~~\Leftrightarrow~~~~~i^{2}=-1$

آنگاه، با استفاده از تعریف این عدد، هر عدد مختلطی را به صورت $a+bi$ می نویسیم که در آن $a$ و $b$ اعداد حقیقی هستند.

با استفاده از اعداد مختلط می توان جواب معادله $x^{2}+2x+2=0$ را به صورت زیر نوشت:

$x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4(1)(2)}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{-1}}{2}=-1\pm i$

تعریف اعداد مختلط

تعریف عدد مختلط ( $complex~number$ ): یک عدد مختلط عددی به شکل

$a+bi$

می باشد که در آن $a$ و $b$ اعداد حقیقی هستند و $i^{2}=-1$ . عدد $a$ را قسمت حقیقی ( $real~part$ ) و عدد $b$ را قسمت موهومی ( $imaginary~part$ ) عدد مختلط $a+bi$ می نامند.

نکته:

دو عدد مختلط با هم برابرند اگر و فقط اگر قسمت حقیقی آن دو برابر باشد و قسمت موهومی آنها نیز برابر باشد:

$a+bi=x+yi~~~~\Leftrightarrow~~~~a=x~~~~and~~~~b=y$ .

به مثال های زیر دقت کنید.

در عدد $3+4i$ قسمت حقیقی برابر 3 و قسمت موهومی برابر 4 است.
در عدد $\frac{1}{2}-\frac{2}{3} i$ قسمت حقیقی برابر $\frac{1}{2}$ و قسمت موهومی برابر $-\frac{2}{3}$ است.
در عدد $6i$ قسمت حقیقی برابر0 و قسمت موهومی برابر 6 است.
در عدد $-7$ قسمت حقیقی برابر $-7$ و قسمت موهومی برابر 0 است.

واضح است که مجموعه اعداد حقیقی زیرمجموعه اعداد مختلط می باشد.

اعدادی مانند $6i$ را اعداد موهومی محض ( $pure~imaginary$ ) می نامند.

همه معادله های درجه دوم در دستگاه اعداد مختلط جواب دارند. مثلا اعداد $2i$ و $-2i$ جواب های معادله $x^{2}=-4$ هستند زیرا

$(2i)^{2}=(2)^{2}(i)^{2}=4(-1)=-4,~~~~~~~~~~~~~~~~~(-2i)^{2}=(-2)^{2}(i)^{2}=4(-1)=-4$

چرا اعداد مختلط؟

درست است که از لفظ “موهومی” برای توصیف اعداد مختلط استفاده می کنیم، ولی این نامگذاری به دلایل تاریخی است و باید توجه کنیم که اعداد مختلط نیز به اندازه اعداد حقیقی واقعی هستند! در واقع همه اعداد (احتمالا به جز اعداد صحیح مثبت) ساخته ذهن بشر هستند و برای تسهیل درک طبیعت اختراع شده اند.

ما اعداد مختلط را یاد میگیریم زیرا این اعداد توصیف کامل و هماهنگی از جواب معادلات به ما ارائه می دهند.

در واقع شما می توانید با نوشتن غ. ق. ق. در مقابل تمامی جواب های معادله درجه دوم با دلتای منفی از آنها عبور کنید ولی برای معادله درجه سوم، و درجات بالاتر، چنین کاری ممکن نیست. مثلا معادله درجه سوم $x^{3}=15x+4$ را در نظر بگیرید. با یک بررسی ساده معلوم می شود که این معادله یک جواب حقیقی برابر 4 دارد. از طرفی، بنا به فرمول ریشه های معادله درجه سوم، که بعدا آن را بحث می کنیم، جواب چنین معادله ای به صورت زیر است:

$x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}$

یعنی در واقع داریم: $\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=4~~~~$ !!!

پرسش طبیعی در اینجا این است که چطور چنین برابری ممکن است. نظریه اعداد مختلط پاسخ این پرسش را در اختیار ما قرار می دهد.

تمرین: برابری های زیر را ثابت کنید:

$(2+i)^{3}=2+11i,~~~~~~~~~~~~~~~(2-i)^{3}=2-11i$

حال با استفاده از این دو تساوی نشان دهید که

$\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}=4$

یکی از مهمترین نتایج اعداد مختلط این است که با استفاده از آنها می توان قضیه اساسی جبر را اثبات کرد. این قضیه (در واقع، یکی از نتایج این قضیه) بیان می کند که هر معادله چند جمله ای درجه $n$

به شکل $a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0$ ، با ضرایب حقیقی $a_{0}$ تا $a_{n}$ ، دقیقا $n$ جواب دارد.

علاوه بر این الزامات ریاضیاتی، برخی از کمیت ها در علوم فیزیکی و مهندسی به صورت کمیت های ذاتا مختلط تعریف می شوند. مثلا در نظریه مدارهای الکتریکی، برخی کمیت های مربوط به مقاومت مدار ذاتا مختلط هستند. بنابراین باید چنین اعدادی را بشناسیم تا بتوانیم در نظریات فیزیکی با آنها کار کنیم.

عملیات بر روی اعداد مختلط

عملیات بر روی اعداد مختلط بسیار شبیه به عملیات بر روی اعداد حقیقی است.

عملیات حسابی بر روی اعداد مختلط (مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) شبیه به کار کردن با اعداد به شکل $a+b\sqrt{c}$ می باشد. تنها تفاوت بین این دو آن است که باید به یاد داشته باشیم $i^{2}=-1~$ .

مثلا به محاسبات زیر دقت کنید:

دقت کنید که در سطر اول جملات را بسط داده و بعد دسته بندی کرده ایم. همچنین، در سطر دوم از خاصیت $i^{2}=-1~$ استفاده کرده ایم. در نتیجه جمله آخر سطر دوم حقیقی است. حال در سطر آخر قسمت های حقیقی و موهومی را به صورت مجزا نوشته ایم.

به همین صورت می توان جمع و تفریق اعداد مختلط را نیز تعریف کرد.

جمع، تفریق و ضرب اعداد مختلط

جمع اعداد مختلط:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

یعنی برای جمع دو عدد مختلط، قسمت های حقیقی دو عدد را با هم و قسمت های موهومی دو عدد را نیز با هم جمع می کنیم.

تفریق اعداد مختلط:

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

یعنی برای تفریق دو عدد مختلط، قسمت های حقیقی دو عدد را از هم کم و قسمت های موهومی دو عدد را نیز از هم تفریق می کنیم.

ضرب اعداد مختلط:

$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

برای ضرب دو عدد مختلف از قوانین ضرب دو جمله ای ها و $i^{2}=-1$ استفاده کنید.

مثال از جمع، تفریق و ضرب اعداد مختلط

نتیجه عبارت های زیر را به صورت $a+bi$ بنویسید:

پاسخ:

تقسیم اعداد مختلط

عملیات تقسیم اعداد مختلط شبیه به عملیات گویاسازی مخرج یک عبارت کسری است که در دوره “مقدمات ریاضی” بحث شد. برای اینکار باید مزدوج یک عدد مختلط را بشناسیم:

عدد مختلطی مانند $z=a+bi$ را در نظر بگیرید. در این صورت، مزدوج مختلط این عدد مختلط به صورت $\bar{z}=a-bi$ تعریف می شود.

توجه کنید که حاصلضرب هر عدد مختلط در مزدوج مختلط آن همیشه یک عدد حقیقی غیرمنفی است:

$\bar{z}z=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

در نتیجه تقسیم اعداد مختلط را می توان به کمک مزدوج اعداد مختلط به دست آورد:

برای ساده سازی نسبت $\frac{a+bi}{c+di}$ باید صورت و مخرج کسر را در مزدوج مختلط مخرج ضرب کرد:

$\frac{a+bi}{c+di}=\left( \frac{a+bi}{c+di} \right) \left( \frac{c-di}{c-di} \right)=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}$

مثال از تقسیم اعداد مختلط

نتیجه عبارت های زیر را به صورت $a+bi$ بنویسید:

پاسخ بخش اول:

پاسخ بخش دوم:

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی اعداد مختلط را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

چرا ریشه دوم اعداد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است؟
چرا ریاضی دانان اعداد مختلط را اختراع کرده اند؟
تعریف عدد مختلط را بنویسید.
ویژگی اصلی $i$ در اعداد مختلط کدام است؟
چند معادله با جواب های مختلط بنویسید.
شرط برابری دو عدد مختلط چیست؟
قواعد جمع، تفریق، ضرب و تقسیم دو عدد مختلط را بنویسید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

بخش حقیقی و مختلط هر کدام از اعداد مختلط زیر را بنویسید.

هر کدام از اعداد توانی زیر را به شکل $a+bi$ بنویسید.

جمع و تفریق های زیر را محاسبه کرده و نتیجه را به شکل $a+bi$ بنویسید.

ضرب های زیر را محاسبه کرده و نتیجه را به شکل $a+bi$ بنویسید.

تقسیم های زیر را محاسبه کرده و نتیجه را به شکل $a+bi$ بنویسید.

درس بعدی: بررسی اعداد مختلط

در جلسه بعد بررسی اعداد مختلط را ادامه خواهیم داد. به ویژه ریشه مربعی اعداد منفی را دقیق تر در نظر گرفته و سپس جواب های مختلط معادلات درجه دوم را بررسی خواهیم کرد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

۸- مقدمه ای بر اعداد مختلط

آنچه گذشت: ویژگی های جواب و مدلسازی بوسیله معادلات درجه دوم

چرا اعداد مختلط؟

تعریف اعداد مختلط

نکته:

چرا اعداد مختلط؟

عملیات بر روی اعداد مختلط

جمع، تفریق و ضرب اعداد مختلط

مثال از جمع، تفریق و ضرب اعداد مختلط

مثال از تقسیم اعداد مختلط

نکات مهم این درس

تمرین

درس بعدی: بررسی اعداد مختلط

منابع درس

نظر بدهید لغو پاسخ

شرکت

لینک ها

پشتیبانی

توصیه

ورود با حساب کاربری سایت شما

Register a new account

Modal title