۹. عبارت های جبری

در درس قبل با توان های گویا و رادیکال ها آشنا شدیم. در اینجا در مورد عبارت های جبری صحبت میکنیم.

ا

آنچه گذشت: رادیکال و توان گویا

 

• تعریف توان های کسری ( گویا ): برای هر توان گویای $\frac{m}{n} $، که در آن $ m $ و $ n $ اعداد صحیح هستند و $ n > 0$، داریم:

 

$ a^{\frac{m}{n}}~=~\left( \sqrt[n]{a} \right)^{m}~~~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~~a^{\frac{m}{n}}~=~ \sqrt[n]{a^{m}} $

 

اگر $ n $ عددی زوج باشد آنگاه عدد حقیقی $ a $ باید نامنفی باشد:

$ a \geq 0 $.

 

• ویژگی های زیر برای ریشه $n$ اُم اعداد را بخاطر بسپارید.

 

 

 

عبارت های جبری

 

چی هست این جبر؟!

 

جبر، به بیان ساده، عبارت است از مطالعه گزاره های ریاضیاتی و قوانین حاکم بر آنها. جبر تقریبا تمام ریاضیات را وحدت می بخشد و از این نظر اهمیت ویژه ای دارد.

در جبر از حروف لاتین ( و بعضی اوقات یونانی ) به جای اعداد استفاده می کنیم. چرا چنین کاری انجام می دهیم؟

 

 

 

به محاسبات زیر دقت کنید:

$(7+5)^{2}~=~7^{2}+5^{2}+2\times 7 \times 5$

 

$(13+18)^{2}~=~13^{2}+18^{2}+2\times 13 \times 18$

 

$(\pi+5.7)^{2}~=~\pi^{2}+5.7^{2}+2\times \pi \times 5.7$

 

دقت کنید که قانون مشخصی در روابط بالا وجود دارد: عدد اول به علاوه عدد دوم به توان دو برابر است با عدد اول به توان دو، به علاوه عدد دوم به توان دو به علاوه دو برابر عدد اول در عدد دوم. شما می توانید هر دو عدد حقیقی دیگر را در قانون اخیر قرار داده و با محاسبه دو طرف تساوی نشان دهید که این قانون برقرار است.

 

برای نشان دادن چنین قوانینی که برای یک مجموعه بزرگ اعداد ( مانند اعداد حقیقی ) برقرار هستند از حروف لاتین به جای اعداد استفاده می کنیم:

 

$(a+b)^{2}~=~a^{2}+b^{2}+2\times a \times b $

 

مفهوم عبارت “جبری” بالا این است که هر دو عددی که به جای حروف لاتین $a$ و $b$ قرار بگیرند، باز هم قانون یاد شده برقرار خواهد بود.

 

منظور از یک عبارت جبری، یک عبارت ریاضیاتی است که در آن از حروف لاتین ( و یونانی ) به جای اعداد استفاده می شود. وجود حروف الفبا به جای اعداد بیانگر کلی بودن عبارت مورد نظر است؛ هرچند، باید همیشه به یاد داشته باشیم که این حروف در واقع جانشین اعداد هستند.

 

حروف لاتین در عبارت های جبری را “متغیر” می نامیم، زیرا آنها نشان دهنده عدد ثابتی نیستند بلکه تغییر می کنند. بنابراین حروف $x$، $y$، $ a $، $ b $ و … را از این به بعد متغیر می نامیم. از طرفی، اعداد ثابت در عبارت های جبری را ثوابت می نامند.

 

مثلا در عبارت جبری

 

$(a+b)^{3}~=~a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

 

حروف $ a $ و $ b $ متغیر هستند در حالی که اعداد 2 و 3 ثابت هستند.

 

تمرین: متغیرها و اعداد ثابت را در هرکدام از عبارت های جبری زیر بنویسید:

 

$5x^{3}-x^{2}-7x+8,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \sqrt{x}+10,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \frac{y-2z}{y^{2}+4}$

 

 

چند جمله ای ها:

 

در جبر، عبارت هایی به شکل کلی $ax^{k}$ را که در آن $a$ عددی حقیقی و $k$ یک عدد صحیح غیر منفی است یک جمله ای می نامند. مثال هایی از یک جمله ای را در زیر می بینید:

 

$$3.5~x^{2},~~~~~~~~~~~~\pi x^{13},~~~~~~ ~~~~~~-\frac{2}{5} y^{6},~~~~~~ ~~~~~~-7t,~~~~~~~~~~~~~~5 $$

 

دقت کنید که عدد ثابت 5 نیز در واقع یک یک جمله ای است زیرا $5=5x^{0}$.

به همین صورت دو جمله ای جمع دو یک جمله ای است، مانند

 

$-1.6~x^{4}+5x,~~~~~~~~~~~~~~~~16 t^{7}-2t^{2} $

 

در حالی که سه جمله ای جمع سه یک جمله ای است، مانند

 

$\pi~z^{4}-3z^{2}+5,~~~~~~~~~~~~~~~~ y^{6}+4y^{3}+3y $

 

تعمیم این مفهوم را چند جمله ای می نامند که کاربرد بسیار زیادی در جبر دارد.

چندجمله ای ($ polynomial $):  یک چندجمله ای بر حسب متغیر $x$ عبارتی به شکل

 

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0}$

 

می باشد که در آن ضرایب $ a_{0} $ تا $ a_{n} $ اعداد حقیقی هستند و $ n $ یک عدد صحیح غیر منفی است.

 

درجه چندجمله ای:

 

بالاترین توان موجود در یک چندجمله ای را درجه چندجمله ای می نامند.

 

جملات چندجمله ای:

 

هر کدام از یک جمله ای های موجود در چندجمله ای ( یعنی هر جمله به شکل $ a_{k}x^{k} $) را یک جمله چندجمله ای می نامند.

 

مثال:

عبارت $5x^{3}-x^{2}-7x+8$ یک چندجمله ای از مرتبه 3 است چون بالاترین توان موجود در این چند جمله ای 3 می باشد. از طرفی عبارت های جبری $ \sqrt{x}+10 $ و $\frac{y-2z}{y^{2}+4}$ چند جمله ای نیستند.

 

 

جمع و تفریق چندجمله ای ها

 

از آنجا که چندجمله ای ها در حالت کلی شامل اعداد حقیقی هستند، برای جمع و تفریق چندجمله ای ها از ویژگی های اعداد حقیقی که در دروس قبل بحث شدند استفاده خواهیم کرد.

 

ایده اصلی برای پیدا کردن نتیجه جمع و تفریق چندجمله ای ها این است که جملات مشابه از نظر توانی را دسته بندی و با هم جمع و یا تفریق کنیم. برای اینکار از خاصیت توزیع پذیری اعداد حقیقی استفاده می کنیم. مثال:

 

$5x^{7}+3x^{7}=(5+3)x^{7}=8x^{7}$

 

یادآوری خاصیت توزیع پذیری اعداد حقیقی:  $ab+ac=a(b+c)~~~$.

 

نکته:

به یاد داشته باشیم که اگر علامت منفی قبل از یک پرانتز ( که شامل جملاتی است ) قرار بگیرد آنگاه وقتی پرانتز را حذف کنیم، علامت هر جمله درون آن پرانتز باید تغییر کند. یعنی

 

$-(b+c)=-b-c$

 

این در واقع یک مورد خاص از ویژگی توزیع پذیری اعداد حقیقی است وقتی $a=-1$ باشد.

 

مثال از جمع و تفریق چندجمله ای ها

 

• به جمع دو چندجمله ای زیر دقت کنید:

 

 

دقت کنید که در سطر دوم جملات با توان مشابه را در کنار هم قرار داده ایم. آنگاه در سطر سوم از خاصیت توزیع پذیری استفاده کرده و حاصل جمع و تفریق جملات با توان مشابه را نوشته ایم.

 

• به تفریق دو چندجمله ای زیر دقت کنید:

 

 

 

دقت کنید که ابتدا اثر علامت منفی بر چندجمله ای دوم را محاسبه کرده ایم ( اسلاید قبل ). آنگاه، در سطر سوم جملات با توان مشابه را در کنار هم قرار داده ایم. در سطر چهارم نیز از خاصیت توزیع پذیری استفاده کرده و حاصل جمع و تفریق جملات با توان مشابه را نوشته ایم.

 

 

ضرب عبارت های جبری

 

برای یافتن نتیجه حاصلضرب چندجمله ای ها، و یا سایر عبارت های جبری، باید از خاصیت توزیع پذیری استفاده کنیم. مثلا در مورد حاصلضرب زیر باید سه بار از خاصیت توزیع پذیری استفاده کنیم:

 

 

عبارت بالا بدین معنی است که باید هر فاکتور ( عامل ) از پرانتز اول را در هر فاکتور از پرانتز دوم ضرب کرده و نتایج را با هم جمع کنیم. این عملیات را بعضی اوقات به صورت زیر هم نشان می دهند:

 

یعنی اولی در اولی، بعلاوه اولی در دومی، بعلاوه دومی در اولی بعلاوه دومی در دومی.

به مثال زیر دقت کنید:

 

 

 

مثال از ضرب عبارت های جبری

 

اگر بخواهیم یک دوجمله ای را در یک سه جمله ای ضرب کنیم، آنگاه باید به دفعات بیشتر از خاصیت توزیع پذیری استفاده کنیم. مثال زیر را ببینید:

 

 

همین محاسبه را می توان به شکل جدولی هم انجام داد. به مراحل اینکار دقت کنید:

 

 

ضرب عبارت های جبری را گاهی اوقات “بسط دادن” نیز می گویند. عکس این کار را نیز فاکتورگیری می نامند که موضوع درس بعدی است.

 

 

اتحادها: قوانین ضرب پرکاربرد چندجمله ای ها

 

برخی انواع ضرب عبارت های جبری چنان پرکاربرد هستند که باید آنها را به خاطر بسپاریم ( پس از آنکه شیوه اثبات آنها را به درستی فهمیدیم ). این نوع قوانین ضرب را اتحاد می نامند. برخی از اتحادهای مهم را در زیر آورده ایم:

 

 

نکته اصلی در استفاده از این فرمول ها، و در واقع هر فرمول دیگری در جبر، استفاده از اصل جایگذاری است.

 

 

اصل جایگذاری

 

اصل جایگذاری: می توان هر حرف در یک فرمول را با هر عبارت جبری دیگری جایگزین کرد.

 

مثلا فرض کنید که می خواهیم نتیجه $(x^{2}+y^{3})^{2}$ را به دست آوریم. برای اینکار، از اتحاد شماره 2 بالا استفاده کرده و به جای $A$ مقدار $ x^{2} $ و به جای $B$ مقدار $ y^{3} $ را جایگزین خواهیم کرد. به مراحل انجام کار دقت کنید:

 

 

در جلسات آینده این اصل را مکرر به کار خواهیم بست.

 

 

اثبات اتحادها

 

اثبات اتحاد ها بهترین راه برای به خاطر سپردن و یادگیری شیوه استفاده از آنهاست. به همین دلیل لازم است که اثبات این روابط پرکاربرد را به خوبی بدانیم.

 

• اثبات اتحاد 1 که به نام اتحاد مزدوج معروف است:

 

$(A+B)(A-B)=A^{2}-AB+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}$

 

 

• اثبات اتحاد 2 که به نام اتحاد مربع ( توان دوم ) یک دوجمله ای معروف است:

 

$(A+B)^{2} =(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$

 

 

• اثبات اتحاد 3:

 

$(A-B)^{2} =(A-B)(A-B)=A^{2}-AB-BA+B^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$

 

 

• اثبات اتحاد 4 که به نام اتحاد مکعب ( توان سوم ) یک دوجمله ای معروف است:

 

$(A+B)^{3} =(A+B)(A+B)^{2}=(A+B) (A^{2}+2AB+B^{2})$

 

$~=~A^{3}+2A^{2}B+AB^{2}+BA^{2}+2AB^{2}+B^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$

 

 

• تمرین: اتحاد شماره 5 را اثبات کنید.

 

 

معنی هندسی اتحادها

 

علاوه بر اثبات جبری، دریافتن معنی هندسی اتحادها نیز می تواند در درک آنها به ما کمک کند. مثلا، معنی هندسی اتحاد مربع یک دوجمله ای از شکل زیر واضح است:

 

 

مساحت مربعی به طول $a+b$ برابر است با $ (a+b)^{2} $. از طرفی این مساحت برابر است با مساحت دو مربع به طول های $a$ و $b$ (یعنی $a^{2}+b^{2}$). به علاوه مساحت دو مستطیل به طول و عرض $a$ و $b$ (یعنی $2ab$) همانطور که شکل بالا نشان می دهد:

 

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$

 

تمرین: آیا می توانید معنی هندسی اتحادهای دیگر را با رسم شکل بیان کنید؟

 

 

جایگذاری؛ و یا چطور از اتحادها استفاده کنیم؟

 

در ادامه با نحوه استفاده از اتحادها به کمک چند مثال بهتر آشنا می شویم.

مثال ۱ : مقدار عبارت $(3x+5)^{2}$ را بیابید.

 

پاسخ: در اتحاد مربع دوجمله ای جایگذاری های $A=3x$ و $B=5$ را انجام دهید. در نتیجه خواهیم داشت:

 

$ (3x+5)^{2}=(3x)^{2}+2(3x)(5)+5^{2}=9x^{2}+30x+25 $

 

 

مثال ۲ : مقدار عبارت $(x^{2}-2)^{3}$ را بیابید.

 

پاسخ: در اتحاد مکعب دوجمله ای ( اتحاد شماره 5 جدول بالا ) جایگذاری های $A=x^{2}$ و $B=2$ را انجام دهید. در نتیجه خواهیم داشت:

 

$ (x^{2}-2)^{3}=(x^{2})^{3}-3(x^{2})^{2}(2)+3(x^{2})(2^{2})-2^{3}=x^{6}-6x^{4}+12x^{2}-8 $

 

 

مثال ۳ : مقدار عبارت $(2x-\sqrt{y})(2x+\sqrt{y})$ را بیابید.

 

پاسخ: در اتحاد مزدوج جایگذاری های $A=2x$ و $B=\sqrt{y}$ را انجام دهید. در نتیجه خواهیم داشت:

 

$ (2x-\sqrt{y})(2x+\sqrt{y})=(2x)^{2}-(\sqrt{y})^{2}=4x^{2}-y $

 

 

نکات مهم این درس

 

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی عبارت های جبری را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

 

• جبر چیست؟
• چرا در جبر از حروف به جای اعداد استفاده می کنیم؟
• عبارت جبری چیست؟
• متغیر در یک عبارت جبری چیست؟ ثابت چیست؟ سه مثال از عبارت های جبری نوشته و متغیر و ثابت را در هر مثال مشخص کنید.
• منظور از یک جمله ای، دو جمله ای و سه جمله ای را توضیح دهید.
• چند جمله ای را به دقت تعریف کنید.
• منظور از درجه چندجمله ای چیست؟
• در جمع و تفریق چندجمله ای ها از کدام خاصیت اعداد حقیقی بیشتر از همه استفاده می کنیم؟
• حاصل $-(b+c)$ را با حذف پرانتز بنویسید.
• پنج اتحاد پرکاربرد را نوشته و اثبات کنید.
• معنی هندسی اتحاد مربع یک دوجمله ای را با رسم شکل توضیح دهید.

 

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

 

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

 

 

تمرین درس عبارت های جبری

 

• کدام یک از عبارت های جبری زیر چند جمله ای هستند؟

 

 

 

• پاسخ جمع و تفریق چندجمله ای های زیر را پیدا کنید.

 

 

 

 

• پاسخ ضرب های زیر را بیابید.

 

$(x-8)(x+5)~=~?$

$(2y-11)^{2}~=~?$

$(5-z)(5+z)~=~?$

 

 

• در هر یک از چندجمله های زیر، نوع چندجمله ای ( یک جمله ای، دو جمله ای و … ) را تعیین کنید. همچنین، جملات چندجمله ای را به تفکیک بنویسید. به علاوه درجه چندجمله ای را نیز بیان کنید.

 

 

 

• حاصل جمع و تفریق چندجمله ای های زیر را بیابید.

 

 

• حاصل ضرب عبارت های جبری زیر را بیابید.

 

 

 

• دو اتحاد زیر را اثبات کنید.

 

 

 

• نتیجه عبارت های جبری زیر را با استفاده از اتحادها بیابید.

 

 

 

• حاصلضرب عبارت های جبری زیر را بیابید.

 

 

 

• اتحاد زیر را اثبات کنید.

 

 

 

• اتحادهای زیر را اثبات کنید. توجه کنید که این ها اتحادهای بسیار مهمی هستند که در محاسبات آینده ما به کار خواهند آمد.

 

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$

 

$(x+y+z)^{3}=x^3+3 x^2 y+3 x^2 z+3 x y^2+6 x y z+3 x z^2+y^3+3 y^2 z+3 y z^2+z^3$

$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})~=~x^3-y^3$

$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})~=~x^3+y^3$

 

 

درس بعدی: فاکتورگیری

 

در این درس، ضرب عبارت های جبری را آموختیم. همچنین با برخی اتحادهای پرکاربرد آشنا شدیم. در درس بعد خواهیم آموخت که چطور عبارت های جبری طولانی را به صورت خلاصه تر بنویسیم. این عمل را فاکتورگیری می نامند. برای تسلط به فاکتورگیری باید اتحادها را به خوبی بشناسیم.

 

 

 

 

منابع درس

 

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)