۱. مفهوم تابع

در این دوره با توابع و کاربردهایشان آشنا خواهیم شد. این درس به معرفی مفهوم تابع اختصاص دارد.

آنچه گذشت:

در دوره مقدمات ریاضی با مفاهیم زیر آشنا شدیم و کاربردشان را یاد گرفتیم:

قواعد کسرها:

توان و محاسبات توانی:

اتحادها و تجزیه:

در دوره ریاضیات پایه: معادلات و نمودارها این مفاهیم و کاربردشان را آموختیم:

صفحه مختصات:

پیدا کردن شیب خط راست آن:

برخی معادلات و نامعادلات و روش های حل آنها:

مفهوم تابع: چرا تابع؟!

تابع، قانون یا رابطه ای است که بیان می کند چطور یک کمیت به کمیت دیگری وابسته است.

بسیاری از رویدادها در دنیای واقعی از قوانینی دقیق پیروی می کنند، بنابراین می توان آنها را با توابع توصیف کرد.

برای مثال، قانونی وجود دارد که رابطه بین میزان سقوط چترباز برحسب زمان را مشخص می کند. این قانون یک تابع است و با دانستن این تابع می توان زمان لازم برای بازکردن چتر و یا رسیدن به زمین را تشخیص داد.

در این دوره بر توابع، نمودار و رفتار آنها تمرکز خواهیم کرد.

مفهوم تابع: توابع همه جا هستند

توابع در زندگی روزمره

در تقریبا همه پدیده های فیزیکی مشاهده می کنیم که کمیتی به کمیت (و یا کمیت های) دیگر وابسته است. برای مثال، قد فرد به سن او بستگی دارد؛ دمای هوا به اینکه در چه روز (و فصلی) از سال هستیم، وابسته است؛ و هزینه بسته پستی نیز بنا به وزن آن بسته تعیین می شود. بنابراین، از نظر ریاضیاتی می گوییم:

قد انسان تابعی از سن اوست.
دما تابع تاریخ است.
هزینه بسته پستی تابع وزن بسته است.

نمودار چنین توابعی را در زیر مشاهده می کنید.

به تعدادی دیگر از کمیت هایی که تابع هستند توجه کنید:

مساحت یک دایره تابع شعاع آن دایره است.
تعداد باکتری ها در یک محیط تابع زمان است.
وزن یک فضانورد تابع فاصله او تا زمین است.
قیمت یک محصول تابع تقاضا برای آن محصول است.
دمای آب خروجی از یک شیر تابع زمان است ( شکل زیر را ببینید. ).

تمرین: آیا شما می توانید توابع دیگری را نام ببرید؟

لطفا دقت کنید که یک کمیت می تواند به یک، دو و یا چند کمیت دیگر وابسته باشد. مثلا، هزینه بسته پستی در واقع تابعی از وزن و فاصله مبدا تا مقصد است. این موارد را توابع چند متغیره می نامند که قسمت مهمی از ریاضی مدرن را تشکیل می دهد. ما در این مجموعه کتاب ها فقط با توابع یک متغیره سر و کار خواهیم داشت.

تعریف تابع

یک تابع مشخص نشان دهنده یک قانون معین است که بر اعداد عمل می کند.

برای اینکه درباره توابع بحث کنیم لازم است که برای آنها نام انتخاب کنیم. این نامها معمولا به صورت $f$، $g$، $h$ و … انتخاب می شوند. حرف $f$ معمول ترین نام برای نشان دادن تابع (function) است.

توجه: دقت کنید که تاکنون از حروف انگلیسی برای نشان دادن متغیرها (به جای اعداد) استفاده می کردیم؛ از این به بعد می خواهیم از این حروف برای نشان دادن قوانین عمل کننده بر اعداد هم استفاده کنیم. البته اینکار را به صورتی انجام خواهیم داده که تفاوت بین متغیر (عدد) و تابع (قانون) بخوبی واضح خواهد بود.

مثلا فرض کنید $f$ تابعی است که اعداد را به توان دو می رساند. در این صورت می نویسیم

$f(x)=x^{2}$

به عنوان مثال داریم:

$f(2)=2^{2}=4,~~~~~~~~~~~~~f(3)=3^{2}=9,~~~~~~~~~~~~~f(3.5)=3.5^{2}=12.25$

$f(\sqrt{5})=(\sqrt{5})^{2}=5,~~~~~~~~~~~~~f(\pi)=\pi^{2} \approx 9.87, ~~~~~~~~~~~~~f(t)=t^{2}$

یعنی حاصل عمل تابع $f$ بر هر موجودی این است که آن موجود به توان دو می رسد!

تعریف تابع: تابع $ f$ قانونی است که به هر عضو $x$ از مجموعه $A$ دقیقا یک عضو، به نام $f(x)$، در مجموعه $B$ نظیر می کند.

مجموعه های $A$ و $B$ معمولا مجموعه اعداد حقیقی، و یا زیربازه ای از آن، هستند.

علامت $f(x)$ را می خوانیم “تابع $f $ از $ x $”، یا “$f $ از $ x $” و یا “مقدار $f $ در $ x $”.

مجموعه $A$ را دامنه تابع (domain) و مجموعه $B$ را برد تابع (range) می نامند. برد تابع در واقع مجموعه تمام خروجی های ممکن تابع است.

اعضای مجموعه دامنه تابع را متغیر مستقل نامیده و معمولا با $ x $ نشان می دهیم. همچنین، اعضای مجموعه برد تابع را متغیر وابسته نامیده و با $ y $ نشان می دهیم.

بنابراین وقتی می نویسیم $ y =f(x)$، کمیت $ x $ متغیر مستقل و کمیت $ y $ متغیر وابسته است.

بهتر است به تابع به عنوان یک ماشین نگاه کنیم. شکل زیر را ببینید. در این دیدگاه، اگر $ x $ در دامنه تابع موجود باشد، آنگاه با ورود $ x $ به ماشین $f$، توسط ماشین پذیرفته شده و پس از طی یک سری فرایند خروجی $ f(x)$ تحویل داده خواهد شد.
۱
دامنه تابع: همه ورودی های ممکن به ماشین تابع.

برد تابع: همه خروجی های ممکن از ماشین تابع.

دیدگاهی دیگر برای تصور تابع

راه دیگر برای تصور عملکرد تابع، به جز دیدگاه ماشینی که در بالا بیان شد، نمودار پیکانی تابع است. شکل زیر را ببینید.

هر پیکان در چنین نموداری، عددی از مجموعه دامنه $A$ را به عددی در مجموعه برد $B$ وصل می کند.

هرچند، بنا به تعریف تابع، هر ورودی فقط باید به یک خروجی متصل شود و نه بیشتر. بنابراین، شکل نمودار سمت چپ یک تابع را نشان می دهد ولی نمودار سمت راست چنین نیست.

چطور یک تابع را تحلیل کنیم؟

فرض کنید که تابع $f$ با رابطه زیر بیان شده است:

$f(x)=x^{2}+4$

رابطه بالا به ما می گوید که که تابع $f$ در ابتدا ورودی را به توان دو می رساند و سپس نتیجه را با عدد 4 جمع می کند. شکل زیر را ببینید.

به پیدا کردن مقادیر زیر دقت کنید:

$f(3)=3^{2}+4=13$

$f(-2)=(-2)^{2}+4=8$

$f(\sqrt{5})=(\sqrt{5})^{2}+4=9$

دامنه تابع $f$ مجموعه همه ورودی های ممکن برای این تابع است. بنابراین، از آنجایی که ما می توانیم مقدار $f(x)=x^{2}+4$ را برای هر ورودی حقیقی $x $ محاسبه کنیم، می گوییم که دامنه این تابع، مجموعه اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ است.

برد تابع $f$ نیز مجموعه همه خروجی های ممکن تابع است. از آنجا که برای همه اعداد حقیقی داریم $x^{2} \geq 0$، می توان نتیجه گرفت که $x^{2}+4 \geq 4$؛ پس همه خروجی های $f$ به صورتی هستند که $f(x) \geq 4$. یعنی $\left\lbrace y ~|~ y~ \geq 4 ~\right\rbrace =\left[~4,~\infty \right) $

نکته

لطفا دقت کنید که در عبارت $f(x)$

حرف $ x $ نشان دهنده یک عدد است ( معمولا عددی حقیقی ).
در حالی که حرف $f$ نشان دهنده یک قانون است ( مثلا رادیکال، توان دوم، بعلاوه 7 و … ).
قانون مورد نظر در هر مورد تعیین شده و محاسبات بر اساس آن ادامه می یابد.

نکات مهم این درس

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی توابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

چرا توابع مهم هستند؟
مثال های روزمره ای از چند تابع بیان کنید.
تابع را تعریف کنید.
چه چیزی تابع را از یک رابطه ( ضابطه ) کلی تفکیک می کند؟
شیوه های مختلف خواندن عبارت $f(x)$ را بیان کنید.
دامنه تابع چیست؟ برد تابع چیست؟
متغیر مستقل چیست؟ متغیر وابسته کدام است؟
دو دیدگاه شهودی رایج نسبت به توابع ( دیدگاه ماشینی و دیدگاه نمودار پیکانی ) را توضیح دهید.
در عبارت $f(x)$ متغیر کدام است؟ قانون کدام است؟

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

نحوه عمل هر کدام از توابع زیر را به فارسی بیان کنید. همچنین، دامنه آنها را تعیین کنید.

تابع $f(x)=(x-4)^{2}+3$ را در نظر بگیرید. نحوه عمل این تابع را به فارسی بیان کرده و جدول مقادیر زیر را تکمیل کنید.

با توجه به تعریف تابع، کدام یک از جدول های زیر می تواند نشان دهنده یک تابع باشد؟

نحوه عمل هر کدام از توابع زیر را به فارسی بیان کنید. همچنین، دامنه آنها را تعیین کنید.

یک نمودار ماشینی و یک نمودار پیکانی برای هر کدام از دو تابع زیر رسم کنید. برای هر مورد چهار ورودی کافی است.

برای دو تابع زیر، جداول را تکمیل کنید.

درس بعدی: بررسی مفهوم تابع

در جلسه بعد مفهوم تابع را بیشتر مورد وارسی قرار خواهیم داد. به ویژه یاد میگیریم که چطور مقدار یک تابع داده شده را تعیین کنیم. همچنین، شیوه تعیین دامنه تابع را مورد بررسی دقیق تر قرار خواهیم داد. هرچند، یکی از موضوعات اصلی در این کتاب و کتاب های آینده، تعیین دامنه و برد توابع خواهد بود. در انتها نیز با چهار روش نشان دادن توابع آشنا خواهیم شد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

—–

امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.

درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.

شرکت

لینک ها

توصیه