۲- رسم نمودار و تقاطع نمودار با محورها

در جلسه قبل با صفحه مختصات آشنا شدیم. در ادامه رسم نمودار و تقاطع نمودار با محورها را بررسی خواهیم کرد.

آنچه گذشت: صفحه مختصات، فاصله بین دو نقطه و نقطه میانی بین دو نقطه

روش پیدا کردن مختصات یک نقطه: از نقطه مورد نظر به موازات محور $y$ خطی عمودی رسم کنید. محل تلاقی این خط با محور $x$ را مولفه $x$ آن نقطه می گویند ( مثلا $ a $). به همین صورت، از نقطه مورد نظر به موازات محور $x$ خطی افقی رسم کنید. محل تلاقی این خط با محور $y$ را مولفه $y$ آن نقطه می گویند (مثلا $ b $). بنابراین مختصات نقطه مورد نظر را با $ \left( a,~b \right) $ و یا $P \left( a,~b \right) $ نشان می دهند.

فاصله بین دو نقطه $A \left(x_{1},~y_{1} \right)$ و $B \left(x_{2},~y_{2} \right)$ برابر است با:

$ d \left(A,~B \right) = \sqrt{( x_{2}-x_{1} )^{2}+ (y_{2}-y_{1})^{2}}$

مختصات نقطه میانی بین دو نقطه $A(x_{1},~y_{1})$ و $B(x_{2},~y_{2})$ به صورت زیر است:

$\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},~ \frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right)$

رسم نمودار معادلات با استفاده از نقطه یابی

اصل بنیادی هندسه تحلیلی

یک معادله دو متغیره، مانند $y=x^{2}+1$، بیان کننده یک رابطه بین دو متغیر است.

نقطه $(a,~b)$ در معادله یاد شده صدق می کند اگر با جایگذاری مختصات این نقطه در آن معادله، یعنی $x\rightarrow a$ و $ y\rightarrow b$، طرفین رابطه با هم برابر باشند. یعنی در مثال بالا اگر داشته باشیم $b=a^{2}+1~$، آنگاه می گوییم نقطه $(a,~b)$ در معادله $y=x^{2}+1$ صدق می کند.

مثلا نقطه $(3,~10)$ در معادله $y=x^{2}+1$ صدق می کند زیرا $10=3^{2}+1$؛ ولی نقطه $(1,~3)$ در معادله $y=x^{2}+1$ صدق می کند زیرا $3\neq 1^{2}+1$.

در شکل زیر، همه نقاط روی نمودار ( یعنی نقاط قرمزرنگ ) در معادله $y=x^{2}+1$ صدق می کنند و تمام نقاط دیگر صفحه مختصات در این معادله صدق نمی کنند. این مشاهدات ما را به سمت اصل بنیادی هندسه تحلیلی راهنمایی می کنند:

اصل بنیادی هندسه تحلیلی: نقطه $(x,~y) $ بر روی نمودار یک معادله قرار دارد اگر و فقط اگر مختصات نقطه در آن معادله صدق کنند.

نمودار یک معادله

نمودار یک معادله که بر حسب متغیرهای $x $ و $ y $ نوشته شده است مجموعه همه نقاط $(x,~y) $ در صفحه مختصات است که در معادله مورد نظر صدق می کنند.

یکی از اصلی ترین روش های رسم نمودار یک معادله، و در واقع شهودی ترین روش رسم نمودار، استفاده از تکنیک نقطه یابی است.

تکنیک نقطه یابی برای رسم نمودار: بر اساس این روش، ما تا حد امکان نقاطی را که در معادله صدق می کنند پیدا کرده و آنها را در یک جدول، مانند جدول پایین، می نویسیم. سپس، این نقاط را در صفحه مختصات یافته و در انتها نقاط را به هم وصل می کنیم. شکل بالا را ببینید.

به رسم نمودار خط $y=2x-3$ در شکل قبل دقت کنید.

واضح است که تعداد نقاط موجود بر روی یک نمودار بینهایت است و بنابراین ناممکن است که همه این نقاط را در جدول نوشت و آنها را رسم کرد. هرچند، هرچه تعداد نقاط بیشتری رسم کنیم دیدگاه بهتری نسبت به رفتار کلی نمودار به دست می آوریم و بنابراین نمودار بهتر رسم می شود. در واقع، معمولا پس از رسم حداقل شش نقطه طرح کلی نمودار معلوم می شود. اگرچه، بعدا اثبات می کنیم که برای رسم یک خط دو نقطه هم کافی است!

رسم نمودار یک معادله درجه دوم

نمودار معادله درجه دوم $y=x^{2}-2$ را با استفاده از نقطه یابی رسم کنید.

پاسخ: به نقاط روی این نمودار که در جدول زیر نوشته شده اند دقت کنید. این نقاط را یافته و سپس آنها را به هم وصل می کنیم تا نمودار شکل بالا به دست آید.

نمودار معادلات درجه دوم را سهمی می گویند. سهمی ها را در کتاب مقاطع مخروطی ( کتاب دوازدهم ) به صورت مفصل بررسی خواهیم کرد.

رسم نمودار معادله قدرمطلق

نمودار معادله قدرمطلق $y=|x|$ را با استفاده از نقطه یابی رسم کنید.

پاسخ: یادآوری قدرمطلق از کتاب مقدمات ریاضی:

به نقاط روی این نمودار که در جدول زیر نوشته شده اند دقت کنید. این نقاط را یافته و سپس آنها را به هم وصل می کنیم تا نمودار شکل بالا به دست آید.

نکته: در نمودار عبارت های جبری شامل قدرمطلق معمولا باید انتظار نقاط تیز مانند شکل بالا را داشته باشیم.

رسم نمودار با استفاده از نرم افزارهای محاسب آنلاین

خوشبختانه هم اکنون وبسایت هایی وجود دارند که به راحتی نمودار معادلات را در اختیار شما قرار می دهند. در زیر چند نمونه از این وبسایت ها را معرفی می کنیم. به جز وبسایت اول ( باحساب ) که به زبان فارسی است، بقیه وبسایت ها به زبان انگلیسی هستند؛ ولی معمولا کار کردن با آنها بسیار ساده است. در این میان، وولفرام آلفا که پایه نرم افزار متمتیکا است، با اختلاف بهترین نرم افزار محاسب آنلاین است، زیرا امکانات بسیار متنوعی دارد.

برای دیدن شکل کلی دو وبسایت اول را در ادامه میبینید.

همچنین می توانید بسیاری از نرم افزارهای محاسب را بر روی گوشی خود نصب کرده و از آنها استفاده کنید.

رسم نمودار چند معادله با استفاده از متمتیکا

تقاطع نمودار با محورهای مختصات

تقاطع نمودار با محورها

تعریف: مولفه $x$ نقطه ای که نمودار یک معادله محور $x$ ها را در آن قطع می کند، “تقاطع با محور $x$” می نامند. این نقطه تقاطع را می توان با قرار دادن مقدار $y=0$ در معادله مورد نظر یافت.

این نقطه را گاهی طول از مبدا هم می نامند.

مثلا در شکل زیر سه تقاطع با محور $x$ وجود دارد.

توجه: تقاطع، از لحاظ لغوی، به معنی محل قطع و برخورد است.

تعریف: مولفه $y$ نقطه ای که نمودار یک معادله محور $y$ ها را در آن قطع می کند، “تقاطع با محور $y$” می نامند. این نقطه تقاطع را می توان با قرار دادن مقدار $x=0$ در معادله مورد نظر یافت.

این نقطه را گاهی عرض از مبدا هم می نامند.

مثلا در شکل زیر دو تقاطع با محور $y$ وجود دارد.

تقاطع نمودار با محورها — مثال

پرسش: تقاطع معادله $y=x^{2}-2$ با محورهای $x$ و $y$ را بیابید.

پاسخ: برای پیدا کردن تقاطع معادله مورد نظر با محور $x$، در معادله مذکور مقدار $y=0$ را قرار می دهیم.

پس معادله مورد نظر محور $x$ ها را در $x=\pm \sqrt{2}$ قطع می کند. شکل را ببینید.

برای پیدا کردن تقاطع معادله مورد نظر با محور $y$، در معادله مذکور مقدار $x=0$ را قرار می دهیم.

پس معادله مورد نظر محور $y$ ها را در $y=-2$ قطع می کند. شکل را ببینید.

پرسش: تقاطع معادله بیضی $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ با محورهای $x$ و $y$ را بیابید. بیضی ها را در کتاب مقاطع مخروطی به صورت مفصل بررسی خواهیم کرد.

پاسخ: برای پیدا کردن تقاطع معادله مورد نظر با محور $x$، در معادله مذکور مقدار $y=0$ را قرار می دهیم.

پس معادله مورد نظر محور $x$ ها را در $x=\pm 3$ قطع می کند. شکل را ببینید.

برای پیدا کردن تقاطع معادله مورد با محور $y00$، در معادله مذکور مقدار $x=0$ را قرار می دهیم.

پس معادله مورد نظر محور $y$ ها را در $y=\pm 2$ قطع می کند. شکل را ببینید.

پرسش: معادله $y= x^{3}+3x^{3}-x-3 $ را در نظر بگیرید.
ا
الف) نمودار این معادله را در بازه $[-5~,3]$ رسم کنید.
ب) تقاطع نمودار با محورهای $x$ و $y$ را از روی شکل بیابید.
پ) پاسخ یافته شده در قسمت ب را به صورت جبری اثبات کنید.

پاسخ:

الف) نمودار این معادله در شکل زیر رسم شده است.

ب) محل تلاقی نمودار با محور $x$ ها در نقاط $x=-3,~-1,~1$ و محل تلاقی نمودار با محور $y$ ها در $y=-3$ می باشد.

پ) با جایگذاری $x=0$ می توان به راحتی محل تلاقی با محور $y$ ها را در $y=-3$ تایید کرد. همچنین، با جایگذاری هرکدام از مقادیر $x=-3,~-1,~1$ در معادله مورد نظر می توان به راحتی به $y=0$ رسید:

نکات مهم درس رسم نمودار

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی رسم نمودار و تقاطع نمودار با محورهای مختصات را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

اصل بنیادی هندسه تحلیلی را بیان کنید.
تکنیک نقطه یابی برای رسم نمودار را شرح دهید.
چه تعداد نقطه برای رسم نمودار کافی است؟
شکل کلی نمودار معادلات درجه دوم را توضیح دهید. نام دیگر این نوع معادلات چیست؟
شکل کلی نمودار معادله $y=|x|$ چگونه است؟
دو وبسایت برای رسم نمودارها را نام ببرید. بهترین وبسایت و یا نرم افزار از نظر شما کدام است؟
چه نقطه ای را تقاطع نمودار با محور $x$ ها می نامند؟ اینگونه نقاط را چطور می توان به روش جبری پیدا کرد؟
چه نقطه ای را تقاطع نمودار با محور $y$ ها می نامند؟ اینگونه نقاط را چطور می توان به روش جبری پیدا کرد؟
چطور می توان نقاط تقاطع با محورها را به روش رسم نمودار یافت؟
معادله یک بیضی را بنویسید.

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

تمرین

در هرکدام از تمرین های زیر تعیین کنید که آیا نقاط داده شده بر روی معادله مورد نظر قرار دارند یا نه.

هر کدام از معادلات زیر را با استفاده از روش نقطه یابی رسم کنید. جدول نقاط را در هر مورد به دقت بنویسید.
درستی پاسخ خود را با استفاده از یک وبسایت یا نرم افزار محاسب چک کنید.

نمودار معادلات زیر را با استفاده از یک وبسایت محاسب رسم کنید.

نقاط تلاقی هرکدام از معادلات زیر با محورهای عمودی و افقی را بیابید.

در شکل های زیر، تعدادی معادله و نمودار مربوط به آنها داده شده اند. نقاط تلاقی هرکدام از معادلات با محورهای عمودی و افقی را از روی شکل بیابید. سپس درستی جواب بدست آمده را به روش جبری اثبات کنید.

هر کدام از معادلات زیر را با استفاده از وبسایت محاسب زیر رسم کنید:

https://www.bahesab.ir/calc/diagram

سپس، نقاط تلاقی هرکدام از معادلات با محورهای عمودی و افقی را از روی شکل بیابید.

درس بعدی: دایره و تقارن نمودارها

در جلسه بعد با یکی از مهم ترین معادلات جبری، یعنی معادله دایره، آشنا خواهیم شد. خواهیم دید که بسیاری از ویژگی های هندسی دایره را می توان به سادگی در صفحه مختصات به صورت شهودی دید و اثبات کرد. هرچند، بررسی دقیق تر دایره به کتاب مقاطع مخروطی موکول خواهد شد.

به علاوه، با سه تقارن بسیار مهم معادلات و نمودارها نسبت به محور افقی، محور عمودی و مبدا مختصات آشنا خواهیم شد.

منابع درس

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

—–

امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.

درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.

شرکت

لینک ها

توصیه