۱۱- حل نامعادلات
در درس قبل با حل انواع دیگری از معادلات آشنا شدیم. در اینجا به بررسی حل نامعادلات میپردازیم.
ا
آنچه گذشت: حل انواع دیگر معادلات
- برخی معادلات را می توان با استفاده از فاکتورگیری و ویژگی زیر حل کرد:
$AB=0~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~A=0~~~~or~~~~B=0$
ا این ویژگی بیان می کند که اگر حاصلضرب دو فاکتور در هم صفر باشد آنگاه حداقل یکی از آن فاکتورها برابر صفر خواهد بود.
- اشتباه نکنیم: هیچوقت طرفین یک معادله را بر عبارتی که شامل متغیر است تقسیم نکنید مگر آنکه مطمئن باشید آن عبارت نمی تواند صفر باشد ( یعنی در هر صورت غیر صفر است ). تقسیم بر صفر اشتباه است!
- در مواردی که با عبارت های جبری کسری سر و کار داریم، جواب های “خارج از قلمرو درستی” معادلات ممکن است باعث عبارت های تقسیم بر صفر شوند که قابل قبول نیستند.
- در مواردی که با عبارت های جبری رادیکالی کار می کنیم، جواب های “خارج از قلمرو درستی” ممکن است به دلیل مجذور کردن طرفین رخ دهند. به عنوان مثال می دانیم $-1 \neq 1$، ولی اگر همین معادله را به توان دو برسانیم داریم $(-1)^{2} = 1^{2}$. بنابراین معادله مجذور شده ممکن است شامل جواب های جعلی باشد.
- معادله ای مانند $aW^{2}+bW+c=0$، که در آن $W $ یک عبارت جبری است، را یک معادله شبه مربعی می نامند. این گونه معادلات را، همانطور که در ادامه خواهیم دید، می توان با جایگذاری عبارت های جبری و تبدیل آنها به معادلات درجه دوم حل کرد.
نامعادلات
نامعادلات هم داریم!
برخی مسائل در ریاضیات منجر به معادلات (equality) می شوند در حالی که برخی مسائل دیگر به “نامعادله” می رسند. یک نامعادله (inequality) بسیار شبیه به یک معادله است با این تفاوت که در نامعادلات از یکی از علامت های
$ >,~\geq,~<,~\leq$
به جای علامت تساوی استفاده می کنیم.
به عنوان مثال، نامعادله زیر را در نظر بگیرید:
$4x+7 \leq 19$
در جدول زیر می بینیم که برخی اعداد در این نامعادله صدق کرده و برخی دیگر صدق نمیکنند.
منظور ما از حل یک نامعادله، که شامل یک متغیر مانند $\mathbf{x}$ می باشد، آن است که همه مقادیر این متغیر را پیدا کرده به طوری که نامعادله مورد نظر درست باشد.
برخلاف معادلات که معمولا تعداد محدودی جواب دارند، نامعادلات معمولا تعداد نامحدودی جواب دارند که تشکیل یک بازه و یا اجتماعی از بازه ها می دهند.
شکل زیر تفاوت بین جواب های یک معادله و نامعادله را به خوبی نشان می دهد.
قوانین نامعادله ها
برای حل نامعادلات ما از قوانین زیر استفاده می کنیم تا متغیر مساله را به یک طرف نامعادله منتقل کنیم. این قوانین به ما می گویند که چه وقت دو نامعادله با هم هم ارز هستند (از علامت$\Leftrightarrow$ برای نشان دادن هم ارزی استفاده می کنیم). در این قوانین، حروف $A$، $B$ و $C$ نشان دهنده اعداد حقیقی و یا عبارت های جبری هستند. در ادامه این قوانین را برای مورد $\leq$ بیان می کنیم؛ هرچند، قوانین مورد نظر برای همه علائم نامساوی درست هستند.
- 1. با اضافه کردن یک مقدار مشخص به دو طرف یک نامعادله، نامعادله هم ارز جدیدی حاصل خواهد شد.
$A \leq B ~~~~~\Leftrightarrow~~~~~A+C \leq B +C $
- 2. با کم کردن یک مقدار مشخص از دو طرف یک نامعادله، نامعادله هم ارز جدیدی حاصل خواهد شد.
$A \leq B ~~~~~\Leftrightarrow~~~~~A-C \leq B -C $
- 3. با ضرب کردن یک مقدار مشخص مثبت در دو طرف یک نامعادله، نامعادله هم ارز جدیدی حاصل خواهد شد.
$if~~C>0~~~\Rightarrow~~~ A \leq B ~~~~~\Leftrightarrow~~~~~CA \leq CB $
- 4. با ضرب کردن یک مقدار مشخص منفی در دو طرف یک نامعادله، نامعادله هم ارز جدیدی حاصل خواهد شد ولی جهت نامعادله برعکس می شود.
$if~~C<0~~~\Rightarrow~~~ A \leq B ~~~~~\Leftrightarrow~~~~~CA \geq CB $
- 5. اگر دو طرف یک نامعادله مثبت باشند، آنگاه با معکوس کردن عددها جهت نامعادله عوض می شود.
$if~~A>0~~~and~~~B>0~~~\Rightarrow~~~ A \leq B ~~~~~\Leftrightarrow~~~~~\frac{1}{A} \geq \frac{1}{B} $
- 6. نامعادله ها را می توان جمع کرد.
$if~~A\leq B~~~and~~~C \leq D~~~\Rightarrow~~~ A + C \leq B+D $
- 7. نامعادله ها خاصیت انتقالی دارند.
$if~~A\leq B~~~and~~~B \leq C~~~\Rightarrow~~~ A \leq C $
به ویژه به قوانین شماره 3 و 4 دقت کنید. مثلا اگر طرفین نامساوی $3<5$ را در 2 ضرب کنیم داریم $6<10$، ولی اگر همین نامساوی را در $-2$ ضرب کنیم خواهیم داشت $-6>-10$. بنابراین، مهم است که به تغییر جهت نامساوی در چنین حالت هایی دقت کنیم.
حل نامعادلات خطی
نامعادلات خطی
یک نامعادله را نامعادله خطی می نامند اگر همه جملات آن نامعادله ثابت باشند و یا ضریب ثابتی از متغیر با توان یک باشند.
مثال: نامعادله خطی زیر را حل کنید.
پاسخ:
دقت کنید که در سطر دوم از طرفین معادله مقدار $9x$ را کم کرده ایم در حالی که در سطر سوم طرفین معادله را ساده کرده ایم. در سطر چهارم نیز طرفین معادله را در $\frac{-1}{6}$ ضرب کرده ایم در نتیجه، جهت نامعادله عوض شده است. بازه جواب های این نامعادله در زیر نشان داده شده است.
حل همزمان دو نامعادله خطی
مثال: نامعادله خطی $~4 \leq 3x-2 < 13~$ را حل کنید.
پاسخ: دقت کنید که در اینجا در واقع دو نامعادله داریم: $4 \leq 3x-2$ و $ 3x-2 < 13$. جواب مورد نظر ما مجموعه همه مقادیر $ x $ است که در هر دو نامعادله صدق می کند. با استفاده از قوانین 1 و 3 بالا داریم:
بنابراین بازه جواب عبارت است از $\left[2,~5 \right) $. بازه جواب این نامعادله در زیر نشان داده شده است.
حل نامعادلات غیرخطی
نامعادلات غیرخطی
یک نامعادله را نامعادله غیرخطی می نامند اگر شامل جملات با توان دوم و بالاتر (و کلا جملات غیرخطی) از متغیر باشد. برای حل این نامعادلات از فاکتورگیری و اصل زیر استفاده می کنیم:
علامت حاصلضرب دو عبارت جبری و یا عبارت های جبری کسری:
- ۱. اگر عبارت های ضرب شده و یا کسری شامل تعداد زوجی از یک عامل ( فاکتور ) منفی باشند، آنگاه نتیجه آن توان زوج مثبت خواهد بود.
- ۲. اگر عبارت های ضرب شده و یا کسری شامل تعداد فردی از یک عامل ( فاکتور ) منفی باشند، آنگاه نتیجه آن توان فرد منفی خواهد بود.
مثلا، نامعادله $x^{2}-5x \leq -6$ را در نظر بگیرید. با انتقال جمله $-6$ به سمت چپ داریم:
$(x-2)(x-3) \leq 0$
شکل این نامعادله به ما می گوید که حاصلضرب دو عبارت $(x-2)(x-3) $ باید منفی و یا صفر باشد. بنابراین، برای حل این معادله باید تعیین کنیم که هر عبارت در کجا صفر بوده و کجاها مثبت و یا منفی است. دلیل این کار این است که علامت عبارت جبری حاصلضرب به علامت فاکتورها بستگی دارد. جزییات را در مثال بعد آورده ایم و از نکات زیر نیز استفاده کرده ایم.
نکاتی برای حل نامعادلات غیرخطی
- 1. همه جملات را به یک سمت منتقل کنید: نامعادله را به صورتی بازنویسی کنید که همه جملات غیرصفر در یک طرف نامعادله قرار گرفته و در طرف دیگر فقط صفر داشته باشیم. اگر برخی جملات غیرصفر کسری هستند، آنگاه آنها را با استفاده از مخرج مشترک بازنویسی کنید.
- 2. تجزیه کنید: سمت غیر صفر نامساوی را به عامل های تشکیل دهنده تجزیه کنید.
- 3. بازه های مهم را بیابید: مقادیری را که در آن هر عامل صفر می شود تعیین کنید. این مقادیر، محور اعداد حقیقی را به زیر بازه هایی تقسیم می کند. این زیر بازه ها را در نظر داشته باشید.
- 4. یک جدول بسازید و بازه ها را تعیین علامت کنید: در ستون اول یک جدول هر کدام از عامل ها را نوشته و در سطر اول بازه های مهم بخش قبل را یادداشت کنید. حال از مقادیر موجود در هر زیربازه برای تعیین علامت هر فاکتور استفاده کنید. در سطر آخر این جدول، با ضرب و یا تقسیم علامت ها، علامت کلی عبارت در هر زیربازه را مشخص کنید.
- 5. نامعادله را حل کنید: از مقادیر پیدا شده در سطر آخر جدول استفاده کرده و تعیین کنید که در کدام بازه ها نامعادله برقرار است. همچنین مشخص کنید که آیا نقاط انتهایی بازه ها در نامعادله صدق می کند یا نه (وقتی نامعادله به صورت $\geq $ و یا $\leq $ بیان شده است، به چنین کاری نیاز داریم).
نکته بسیار مهم
روشی که در ادامه می آید، و بر اساس پنج راهکار بالاست، فقط در صورتی درست عمل می کند که همه جملات غیرصفر در یک طرف نامساوی قرار داشته باشند. اگر نامعادله مورد نظر در ابتدا به این شکل نوشته نشده است، حتما آن را به صورت توضیح داده شده در نکته اول اسلاید بالا تبدیل کنید.
مثال اول از حل نامعادلات غیرخطی
نامعادله $x^{2}-5x \leq -6$ را حل کنید.
۱. همه جملات را به یک سمت منتقل کنید:
۲. تجزیه کنید:
۳. بازه های مهم را بیابید:
۴. یک جدول بسازید و بازه ها را تعیین علامت کنید:
البته می توان از چنین شکلی نیز برای تعیین علامت جملات استفاده کرد:
برای تعیین علامت هر بازه می توان از نقطه ای دلخواه درون آن بازه استفاده کرد:
۱
۵. نامعادله را حل کنید:
سوال این است که در کجا عبارت جبری $(x-2)(x-3)$ کوچکتر و یا مساوی صفر است؟ و بنا به دو جدول بالا، در بازه زیر عبارت جبری مورد نظر کوچکتر و یا مساوی صفر است.
بازه جواب را بر روی محور اعداد در شکل زیر می بینید.
مثال دوم از حل نامعادلات غیرخطی
نامعادله $2x^{2}- x > 1$ را حل کنید.
۱. همه جملات را به یک سمت منتقل کنید:
۲. تجزیه کنید:
۳. بازه های مهم را بیابید:
۴. یک جدول بسازید و بازه ها را تعیین علامت کنید:
۵. نامعادله را حل کنید:
سوال این است که در کجا عبارت جبری $(2x+1)(x-1)$ بزرگتر از صفر است؟ و بنا به جدول بالا، در بازه زیر عبارت جبری مورد نظر بزرگتر از صفر است.
بازه جواب را بر روی محور اعداد در شکل زیر می بینید.
مثال سوم از حل نامعادلات غیرخطی: جملات توان دار
نامعادله $x(x-1)^{2}(x-3)<0$ را حل کنید.
۱. همه جملات را به یک سمت منتقل شده اند.
۲. جملات تجزیه شده اند.
۳. بازه های مهم را بیابید:
$x=0,~x=1,~x=3$ صفر می شوند. بنابراین، محور مختصات به صورت زیر تجزیه می شود:
۴. یک جدول بسازید و بازه ها را تعیین علامت کنید:
به مثبت بودن عامل $ (x-1)^{2} $ در همه جا، به جز $x=1$، دقت کنید.
۵. نامعادله را حل کنید:
سوال این است که در کجا عبارت جبری $x(x-1)^{2}(x-3) $ کوچکتر از صفر است؟ و بنا به جدول بالا، در بازه زیر عبارت جبری مورد نظر کوچکتر از صفر است.
بازه جواب را بر روی محور اعداد در شکل زیر می بینید.
دقت کنید که در نقطه $x=1$، عبارت جبری $x(x-1)^{2}(x-3) $ صفر می شود؛ بنابراین، نقطه $x=1$ در نامعادله مورد نظر صدق نمی کند و از بازه جواب ها حذف می شود.
مثال چهارم از حل نامعادلات غیرخطی: جملات کسری
نامعادله $\frac{1+x}{1-x} \geq 1$ را حل کنید.
۱. همه جملات را به یک سمت منتقل کنید:
۲. جملات تجزیه شده اند.
۳. بازه های مهم را بیابید:
۴. یک جدول بسازید و بازه ها را تعیین علامت کنید:
۵. نامعادله را حل کنید:
سوال این است که در کجا عبارت جبری $\frac{2x}{1-x} $ بزرگتر یا مساوی با صفر است؟ و بنا به جدول بالا، در بازه زیر عبارت جبری مورد نظر بزرگتر یا مساوی با صفر است.
بازه جواب را بر روی محور اعداد در شکل زیر می بینید.
دقت کنید که در نقطه $x=1$، مخرج عبارت جبری $\frac{2x}{1-x} $ صفر می شود؛ بنابراین، نقطه $x=1$ نمی تواند جواب معادله مورد نظر باشد و از بازه جواب ها حذف می شود.
لطفا دقت کنید که این روش تعیین علامت بعدها در تعیین رفتار توابع، با استفاده از مشتقات اول و دوم، بسیار کاربردی خواهد بود. بنابراین لازم است که این روش را به خوبی بیاموزیم.
نکات مهم درس حل نامعادلات
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی روش های حل نامعادلات را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- تفاوت معادلات و نامعادلات را بیان کنید. چند نامعادله به عنوان مثال بنویسید.
- منظور از حل نامعادله چیست؟
- چرا جواب معادلات معمولا یک یا چند نقطه است در حالی که جواب نامعادلات معمولا از بازه ها تشکیل می شود؟
- هفت قانون حاکم بر نامعادلات را با عبارات ریاضی بیان کرده و معنی فارسی آنها را بیان کنید.
- چه نامعادله ای را نامعادله خطی می نامند؟
- چه نامعادله ای را نامعادله غیرخطی می نامند؟
- چرا اگر عبارت های ضرب شده و یا کسری شامل تعداد زوجی از یک عامل ( فاکتور ) منفی باشند، آنگاه نتیجه آن توان زوج مثبت خواهد بود؟
- چرا اگر عبارت های ضرب شده و یا کسری شامل تعداد فردی از یک عامل ( فاکتور ) منفی باشند، آنگاه نتیجه آن توان فرد مثبت خواهد بود؟
- پنج راهکار اصلی برای حل معادلات غیرخطی را بیان کنید.
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین های درس حل نامعادلات
- فرض کنید مجموعه $S$ به صورت زیر تعریف شده است:
۱تعیین کنید که کدام عضو مجموعه $S$ در هر کدام از نامعادلات زیر صدق می کند.
- جواب نامعادلات خطی زیر را بیابید. جواب ها را با نمادگذاری بازه ای و همچنین بر روی محور اعداد نشان دهید.
- جواب نامعادلات غیرخطی زیر را بیابید. جواب ها را با نمادگذاری بازه ای و همچنین بر روی محور اعداد نشان دهید.
- جواب نامعادلات غیرخطی و کسری زیر را بیابید. جواب ها را با نمادگذاری بازه ای و همچنین بر روی محور اعداد نشان دهید.
- تعیین کنید که عبارت های جبری زیر در چه بازه ای از اعداد حقیقی تعریف شده اند.
یادآوری: دامنه درستی عبارت های جبری را در درس های یازدهم و دوازدهم از کتاب “مقدمات ریاضی” بحث کرده ایم.
درس بعدی: حل معادلات و نامعادلات شامل قدرمطلق
در جلسه بعد درباره حل معادلات و نامعادلات شامل قدرمطلق بحث خواهیم کرد.
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)
—–
امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.
درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.