۱. طرح درس: مدلسازی ریاضی
مدلسازی ریاضی
- ریاضیات و مدلسازی جهان
- چطور مدلسازی کنیم
- چگونه از این مجموعه درس استفاده کنیم
دلیل اصلی ما برای مطالعه ریاضی توصیف (مدل سازی) دنیای واقعی است. ما این کار را با ایجاد تناظر بین اشیاء در دنیای واقعی و موجودات ریاضیاتی (اعداد، اشکال هندسی و …) انجام می دهیم. در ادامه این درس، در مورد مفاهیم مدلسازی بیشتر صحبت خواهیم کرد. فرض کنید درآمد هر ساعت کار (Work) شما برابر W می باشد. حال اگر شما به تعداد (Number)برابر N ساعت در طول روز کار کنید، آنگاه حقوق (Pay) روزانه شما برابر با درآمد به ازای هر ساعت کار شما، ضرب در تعداد ساعات روزانه کاری خواهد بود. به زبان ریاضی می توان نوشت
$P=N \times W $
رابطه بالا در همه زمان ها و همه مکان ها درست است! این ویژگی روابط جبری است. از آنجا که این روابط بر پایه منطق ریاضی نوشته شده اند، کلی هستند و همیشه می توان از آنها استفاده کرد
نکته:
در ادامه کلمات انگلیسی که علامت های جبری از آنها استخراج شده اند به صورت خلاصه گفته خواهند شد. اینکار به یادآوری روابط و علامت ها کمک خواهد کرد.
مثال اول:
فرض کنید فردی در هر ساعت ٩دلار درآمد دارد. با استفاده از رابطه صفحه قبل به سوالات زیر پاسخ دهید:
- اگر این فرد ٣۵ساعت در هفته کار کند، درآمد هفتگی او چقدر است؟
- اگر این فرد بخواهد یک کتاب ریاضی، به قیمت (Price) ١٢۶دلار، تهیه کند باید چند ساعت برای خرید کتاب کار کند؟
پاسخ ۱:
داریم N=35$$ و W=9$$. بنابراین حقوق هفتگی فرد برابر است با
$ P=N \times W= 35 \times 9=315$
پاسخ۲:
تعداد ساعات کاری مورد نیاز برای تهیه کتاب برابر است با
$ P=N \times W ~~~~\Rightarrow~~~~ N=\frac{P}{W}= \frac{126}{9}=14$
پس باید ١۴ساعت برای تهیه کتاب ریاضی کار کند.
مثال دوم:
کوهنوردی از مدل زیر برای تغییرات دما بر حسب ارتفاع استفاده می کند
\[ T = 20- 10 h \]
در اینجا دما (Temperature) را با T و ارتفاع (height) را با h نشان داده ایم. همچنین، دما بر حسب درجه سلسیوس و ارتفاع برحسب کیلومتر اندازه گیری شده اند.
- در جدولی تغییرات دما از ارتفاع ٠ تا ارتفاع ۵ کیلومتر، با تغییرات یک کیلومتر، را به دست آورید.
- در چه ارتفاعی دما برابر ◦ ۵ درجه می شود؟
پاسخ ۱:
دما را با جایگزینی ارتفاع h در فرمول بالا بدست می آوریم. مثلا در ارتفاع h = ۴ km داریم
\[ h = 4 ~~~~\Rightarrow~~~~ T = 20 – 10 \times 4 = -20^o \]
به همین ترتیب دما در ارتفاعات دیگر را به دست آورده و در جدول زیر گزارش می کنیم.
پاسخ ۲:
اگر دما برابر T = ۵ درجه باشد، آنگاه ارتفاعی که این دما در آن رخ می دهد به صورت زیر پیدا می شود:
\[ T = 20 – 10 \times h \]
\[ 5 = 20 – 10 \times h \]
حال از طرفین رابطه بالا ۲۰- را کم می کنیم:
\[ -15 = – 10 \times h \]
طرفین رابطه بالا را بر ۱۰- تقسیم می کنیم:
\[ \frac{-15}{-10} = h \]
یعنی در ارتفاع h=۱.۵ km$ $ دما برابر ۵ درجه می شود.
مدلسازی ریاضی – فرآیندی لازم برای فهم طبیعت پیرامون
- ما معمولا بر اساس داده های محیط پیرامون خود (داده های فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد و …) یک مدل ریاضیاتی می سازیم. این مرحله را ”مدل سازی” می گویند که اساسا بر مبنای تجربه بنا شده است.
- سپس سعی می کنیم با استفاده از آن مدل رفتار محیط پیرامون خود را پیش بینی کنیم. این مرحله را ”استفاده از مدل ” می نامند.
- در اکثر موارد در حین استفاده از مدل درمی یابیم که مدل مورد استفاده چندان دقیق نیست و بنابراین آن را بهبود می بخشیم. پیشرفت های علمی نیز همگی به این طریق اتفاق می افتند.
احتمالا بهترین روش برای یادگیری مدل سازی ریاضی، مطالعه مثال هایی از مدل سازی است. ما در انتهای هر موضوع مثال هایی از مدل سازی را، بر حسب موضوعات مطرح شده در آن موضوع، مرور خواهیم کرد. مثلا در بحث توابع نمایی و لگاریتمی خواهیم آموخت که چطور تکثیر باکتری ها را با توابع نمایی مدل سازی کنیم. و یا در بحث توابع مثلثاتی می آموزیم که چطور می توان حرکت فنر (و در واقع هر حرکت نوسانی دیگر) را به وسیله توابع مثلثاتی مدل سازی و توصیف کرد.
یک مثال ساده: کدام خودرو مصرف سوخت کمتری دارد؟
میزان ”مایل طی شده بر گالون” عبارت است از تعداد مایل طی شده توسط خودرو به ازای هر گالون سوخت. می خواهیم چنین مفهومی را به صورت دقیق ریاضیاتی بیان کنیم.
فرض کنید خودرویی به ازای دو گالون مصرف سوخت، مسافتی برابر ١٠٠ مایل را طی می کند. در این صورت مایل طی شده بر گالون، که آن را با M نشان می دهیم، برابر است با
\[ M=\frac{100 miles}{2 gallons} = 50 mi/gal \]
مدلسازی:
اگر تعداد مایل طی شده توسط ماشین را با N و میزان گالون مصرف شده توسط آن را با G نشان دهیم، می توان به راحتی ”مایل طی شده بر گالون” را به صورت زیر تعریف کرد:
\[ M=\frac{N}{G} \]
پرسش:
کدام یک از دو خودروی زیر از لحاظ ”مایل طی شده بر گالون” مناسبتر است؟
مثال:
خودرویی را در نظر بگیرید که برای طی مسافت ٢٣٠ مایل به میزان ۱۰/۵ گالون سوخت مصرف می کند. مایل طی شده بر گالون را برای این خودرو محاسبه کنید.
پاسخ:
برای حل این مساله، تعداد مایل طی شده توسط این ماشین، یعنی N=۲۳۰ mi و میزان گالون مصرف شده توسط آن را، یعنی G=۱۰/۵ gal را در رابطه ”مایل طی شده بر گالون” قرار می دهیم.
\[ M=\frac{N}{G} = \frac{230 mi}{10.5 gal} = 21.9 mi/gal \]
پرسش:
خودروی مورد سوال در مثال بالا نسبت به کدام یک از دو خودروی نشان داده شده در شکل قبل از لحاظ ”مایل طی شده بر گالون” بهتر است؟
شاخه های مختلف ریاضی برای مدلسازی پدیده ها ابداع شده اند
- جبر
- مثلثات
- آنالیز
- حساب
- حساب دیفرانسیل و انتگرال
- ترکیبیات
- هندسه
- نظریه اعداد
- آمار و احتمالات
- توپولوژی
در این مجموعه درس ما بیشترین تاکید را بر یادگیری جبر و مثلثات خواهیم داشت. همچنین، مباحثی در هندسه تحلیلی ، آمار و احتمال را در نظر خواهیم گرفت. هرچند، هدف اصلی ما آمادگی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال خواهد بود.
آیا این مجموعه درس برای شما مناسب است؟
- این مجموعه درس برای همه دانش آموزان دبیرستانی مناسب خواهد بود. در واقع در ریاضیات مقدماتی (دوره حاضر) همه پیشنیازهای دوره های بعدی را خواهیم آموخت. بنابراین، اگر نسبت به آموخته های ریاضی خود مشکوک هستید کافی است که دوره مقدماتی را با دقت ببینید.
- مهم ترین مرحله در آموزش ریاضی بدون شک حل تمرین، و چک کردن نتایج حل تمرین است. در انتهای هر درس به میزان کافی تمرین برای تثبیت مفاهیم و اشراف به محاسبات در نظر گرفته شده است. پس از حل این تمرین ها حتما از درستی پاسخ خود مطمئن شوید (به کمک معلم، دوستان و …).
یادگیری فرایند ” حل مساله ”
یادگیری فرآیند حل مساله یکی از کلیدی ترین اهداف ریاضی است. بنا به ایده جورج پولیا، روند حل مساله شامل چهار مرحله کلی زیر است:
- مساله را بفهمید: مجهول چیست؟ معلومات کدامند؟ شرایط داده شده چیستند؟
- طرحی برای حل مساله بریزید؛ از مشابهت ها استفاده کنید. موارد جزیی را بیازمایید. مساله را به چند زیر مساله تقسیم کنید. استنتاج و استقراء را به کار ببرید.
- طرح خود را اجرا کنید.
- به نتایج خود به دیده منطقی بنگرید و درستی آنها را بیازمایید.
روند درس
روند این درس ها شامل پنج قسمت کلیدی است.
- یادآوری مطالب مرتبط گذشته
- متن درس
- جمع بندی نکات مهم درس (به صورت پرسش های کوتاه)
- تمرین ها
- معرفی موضوع جلسه بعد (برای مطالعه شخصی شما).
نکات مهم درس مدلسازی ریاضی
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ایده های اصلی مدل سازی ریاضی را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- دلیل اصلی ما برای مطالعه ریاضی چیست؟
- شاخه های مختلف ریاضیات را نام ببرید.
- توضیح دهید که چرا در مدل سازی ریاضی از حروف انگلیسی استفاده می کنیم؟
- رابطه مدل سازی ریاضی و داده های تجربی چیست؟
- چرا مدل می سازیم؟
- بهترین روش برای یادگیری مدل سازی ریاضی چیست؟
- چهار مرحله کلیدی حل مساله را نام ببرید
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین های درس مدلسازی ریاضی
- مالیات ($tax$) خرید در کشوری به صورت $T=0.06x$ محاسبه می شود که در آن $T$ میزان مالیات خرید و $x$ قیمت کالاست. اگر قیمت کالا $x=120$ باشد، مالیات پرداخت شده برای آن چقدر خواهد بود؟
-
اگر متحرکی با سرعت ($velocity$) ثابت $v$ حرکت کند آنگاه این متحرک در زمان ($time$) برابر $ t $ به اندازه مسافت ($ distance $) برابر $ d $ معادل با $d=vt$ جابه جا خواهد شد. اگر سرعت ماشین برابر $ 70~km/h $ باشد، این ماشین در زمان دو ساعت چه مسافتی را طی خواهد کرد؟
-
حجم ($ volume $) استوانه ای به شعاع ($ radius $) برابر $ r $ و ارتفاع $ h $ به صورت $V=\pi r^{2}h$ محاسبه می شود. حجم استوانه ای به شعاع 3 اینچ و ارتفاع 5 اینچ را بیابید.
درس بعدی: اعداد حقیقی و ویژگی های آنها
در جلسه بعد با اساسی ترین موجود ریاضی، یعنی عدد، آشنا خواهیم شد. همچنین، یاد خواهیم گرفت که می توان مجموعه های متفاوتی از اعداد را تعریف کرد. به علاوه، درباره ویژگی های بارز هر کدام از این مجموعه ها بحث خواهیم کرد. هرچند، مهم ترین کار ما تعریف ویژگی های مشترک این مجموعه ها خواهد بود.
فهم مجموعه اعداد حقیقی، و چهار عمل اصلی تعریف شده برای آن، پایه بحث های آینده خواهد بود.
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)
—–
امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.
درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.