۱۰- حل انواع دیگر معادلات
تا به حال با حل معادله درجه دوم آشنا شدیم. در دو جلسه قبل نیز اعداد مختلط و ويژگی هایشان را بررسی کردیم. در اینجا به مطالعه حل انواع دیگر معادلات از جمله معادلات چندجمله ای، معادلات کسری و معادلات توانی میپردازیم.
ا
آنچه گذشت: اعداد مختلط
- تعریف عدد مختلط: یک عدد مختلط عددی به شکل $a+bi $ می باشد که در آن $a$ و $b $ اعداد حقیقی هستند و $i^{2}=-1$. عدد $a$ را قسمت حقیقی و عدد $b $ را قسمت موهومی عدد مختلط $a+bi $ می نامند.
- نکته: دو عدد مختلط با هم برابرند اگر و فقط اگر قسمت حقیقی آن دو برابر باشد و قسمت موهومی آنها نیز برابر باشد:
$a+bi=x+yi~~~~~\Leftrightarrow~~~~~a=x~~~and~~~b=y~~~~$
- عدد مختلطی مانند $z=a+bi$ را در نظر بگیرید. در این صورت، مزدوج مختلط این عدد مختلط به صورت $\bar{z}=a-bi$ تعریف می شود.
- جمع اعداد مختلط:
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
- تفریق اعداد مختلط:
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
- ضرب اعداد مختلط:
$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $
- تقسیم اعداد مختلط:
$\frac{a+bi}{c+di}=\left( \frac{a+bi}{c+di} \right) \left( \frac{c-di}{c-di} \right)=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}$
- اگر $-r$ یک عدد حقیقی منفی باشد آنگاه ریشه دوم اصلی $-r$ برابر $\sqrt{-r}=i\sqrt{r}$ می باشد. دو ریشه $-r$ برابر $~i\sqrt{r}~$ و $~-i\sqrt{r}~$ هستند.
حل انواع دیگر معادلات: معادلات چندجمله ای
تاکنون یاد گرفته ایم که چطور معادلات درجه اول و درجه دوم را حل کنیم. در این بخش با حل برخی معادلات دیگر، از جمله برخی معادلات با درجه بالاتر از 2، معادلات شامل رادیکال ها و معادلات کسری آشنا خواهیم شد.
برخی معادلات را می توان با استفاده از فاکتورگیری و ویژگی زیر حل کرد:
$AB=0~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~A=0~~~~or~~~~B=0$
این ویژگی بیان می کند که اگر حاصلضرب دو فاکتور در هم صفر باشد آنگاه حداقل یکی از آن فاکتورها باید برابر صفر باشد.
به مثال های زیر دقت کنید.
مثال از حل یک معادله با فاکتورگیری
مثال: معادله $x^{5}=9x^{3}$ را حل کنید.
پاسخ:
درستی جواب ها چک کنید.
دقت کنید که تقسیم کردن این معادله بر $x^{3}$ اشتباه خواهد بود زیرا با اینکار جواب $x=0$ را از دست خواهیم داد. بنابراین:
اشتباه نکنیم:
هیچوقت طرفین یک معادله را بر عبارتی که شامل متغیر است تقسیم نکنید مگر آنکه مطمئن باشید آن عبارت نمی تواند صفر باشد ( یعنی در هر صورت غیر صفر است ). چرا؟! چون تقسیم بر صفر اشتباه است.
مثال از حل یک معادله با گروه بندی عبارت ها
مثال: معادله زیر را حل کنید.
پاسخ:
درستی جواب ها چک کنید.
دقت کنید که در سطر اول جملات را گروهبندی کرده ایم. در سطر دوم عامل های مشترک از گروه ها را فاکتورگیری کرده ایم. به این ترتیب، عامل مشترک $x+3$ پدیدار می شود که در سطر بعدی از آن فاکتور می گیریم. در سطر چهارم از اتحاد مزدوج استفاده کرده ایم. و در سطر پنجم از برابری حاصلضرب فاکتورها با صفر نتیجه منطقی گرفته ایم و در سطر آخر ریشه ها را یافته ایم.
مثال از حل یک معادله شامل عبارت های کسری
مثال: معادله زیر را حل کنید.
پاسخ:
دقت کنید که در سطر اول، دو طرف معادله را در مخرج مشترک کسرها ضرب کرده ایم. در سطر های دوم و سوم نیز عبارت های حاصل شده را بسط داده ایم. در سطرهای چهارم و پنجم نیز نتایج را ساده کرده ایم. همچنین، در سطر ششم چند جمله ای درجه دوم را تجزیه کرده و در دو سطر بعدی ریشه ها را پیدا کرده ایم.
درستی جواب ها چک کرده و می بینیم که $ x=3$ نمی تواند جواب درست این معادله باشد زیرا مخرج معادله اصلی را صفر می کند. پس این جواب قابل قبول نیست.
حل انواع دیگر معادلات: معادلات شامل رادیکال ها
معادلات رادیکالی
توجه: در هنگام حل معادلات رادیکالی حتما باید جواب نهایی خود را چک کنیم. مثال بعد دلیل این نکته را نشان می دهد.
مثال: معادله زیر را حل کنید.
پاسخ:
روند حل معادله، مقادیر $x=-\frac{1}{4}$ و $x=1$ را به عنوان جواب پیشنهاد می کند. با قرار دادن این دو مقدار در معادله اصلی داریم:
$x=-\frac{1}{4}~~~~\Rightarrow~~~~2(-\frac{1}{4})=1-\sqrt{2-(-\frac{1}{4})}=1-\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{1}{2}$
از اینجا می بینیم که دو طرف معادله برابرند و بنابراین $x=-\frac{1}{4}$ واقعا جواب معادله است. در حالی که $x=1$ جواب معادله نیست:
$x=1~~~~\Rightarrow~~~~2(1) \neq 1-\sqrt{2-1}=0~~~~$
درست بودن جواب ها را حتما چک کنیم.
وقتی یک معادله را حل می کنیم ممکن است به یک و یا چند جواب “خارج از قلمرو درستی” معادله برخورد کنیم. این جواب ها به نظر درست می آیند زیرا از جواب معادله نهایی بدست آمده اند، ولی در معادله اولیه صدق نمی کنند. پس نمی توانند درست باشند. در دو مثال قبلی به ترتیب مقادیر $x=3$ و $x=1$ جواب های “خارج از قلمرو درستی” بودند.
وقتی که با عبارت های جبری کسری سر و کار داریم، جواب های “خارج از قلمرو درستی” ممکن است باعث عبارت های تقسیم بر صفر شوند که قابل قبول نیستند.
در مواردی که با عبارت های جبری رادیکالی کار می کنیم، جواب های “خارج از قلمرو درستی” ممکن است به دلیل مجذور کردن طرفین رخ دهند. به عنوان مثال می دانیم $-1 \neq 1$، ولی اگر همین معادله را به توان دو برسانیم داریم $(-1)^{2} = 1^{2}$. بنابراین معادله مجذور شده ممکن است شامل جواب های جعلی باشد.
به این دلایل همیشه بهتر است درستی جواب ها را با جایگذاری مقادیر به دست آمده در “معادله اولیه” چک کنیم.
حل انواع دیگر معادلات: معادلات شبیه به معادله مربعی
معادلات شبه مربعی
معادله ای مانند $aW^{2}+bW+c=0$، که در آن $W $ یک عبارت جبری است، را یک معادله شبه مربعی می نامند. این گونه معادلات را، همانطور که در ادامه خواهیم دید، می توان با جایگذاری عبارت های جبری و تبدیل آنها به معادلات درجه دوم حل کرد.
مثال: معادله درجه چهارم زیررا حل کنید.
پاسخ: از جایگذاری $W=x^{2}$ استفاده می کنیم:
درستی جواب ها را چک کنید.
مثالی دیگر از معادلات شبه مربعی
مثال: معادله زیر را حل کنید.
پاسخ: از جایگذاری $W=1+\frac{1}{x}$ استفاده می کنیم:
حال با توجه به اینکه داریم $W=1+\frac{1}{x}$، می توان مقادیر متغیر اولیه را به صورت زیر پیدا کرد:
درستی جواب ها را چک کنید.
حل معادلات با توان های کسری
مثال: معادله زیر را حل کنید.
پاسخ: از جایگذاری $W=x^{\frac{1}{6}}$ استفاده می کنیم:
نشان دهید که $ x=1$ در معادله اولیه صدق می کند در حالی که $ x=64$ جواب درستی نیست.
نکات مهم این درس
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی روش های حل معادلات چندجمله ای، معادلات شامل رادیکال ها و معادلات شبه مربعی را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- چرا نباید در هنگام حل معادلات، آنها را بر عبارتهای جبری که ممکن است صفر شوند تقسیم کنیم؟
- از معادله $AB=0$ چه نتیجه ای می توان درباره پارامترهای $A $ و $ B $ گرفت؟
- روش حل معادله با استفاده از فاکتورگیری را توضیح دهید.
- روش حل معادله بوسیله گروهبندی را توضیح دهید.
- چطور می توان معادلات شامل رادیکال ها را حل کرد؟
- چرا لازم است درستی جواب معادلات رادیکالی را حتما چک کنیم؟
- معادلات شبه مربعی چه نوع معادلاتی هستند؟
- روش حل معادلات شبه مربعی را توضیح دهید.
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین
- همه جواب های حقیقی معادلات زیر را بیابید.
- همه جواب های حقیقی معادلات زیر را بیابید.
- همه جواب های حقیقی معادلات زیر را بیابید.
- همه جواب های حقیقی معادلات زیر را بیابید.
- همه جواب های حقیقی معادلات زیر را بیابید.
درس بعدی: حل نامعادلات
در جلسه بعد نامعادلات را بررسی خواهیم کرد.
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)
—–
امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.
درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.