۱۱. عبارت های جبری گویا – بخش اول

در درس قبل با مبحث فاکتورگیری آشنا شدیم. در این درس مبحث عبارت های جبری گویا را شروع میکنیم.

ا

آنچه گذشت: عبارت های جبری، اتحادها و فاکتورگیری

 

• جبر عبارت است از مطالعه گزاره های ریاضیاتی و قوانین حاکم بر آنها. در جبر از حروف لاتین ( و بعضی اوقات یونانی ) به جای اعداد استفاده می کنیم.

 

• برخی انواع ضرب عبارت های جبری چنان پرکاربرد هستند که باید آنها را به خاطر بسپاریم ( پس از آنکه شیوه اثبات آنها را به درستی فهمیدیم ). این نوع قوانین ضرب را اتحاد می نامند. جدول زیر را برای لیستی از اتحادهای پرکاربرد ببینید.

 

• در جلسه پیش آموختیم که چطور می توان عبارت های جبری را تجزیه (فاکتورگیری) کرد. همچنین آموختیم که برای تجزیه عبارت های جبری باید با اتحادها آشنا باشیم.

 

 

 

 

عبارت جبری گویا

 

نسبت دو عبارت جبری را یک عبارت کسری ($ fractional~~ expression $) می نامند. به چهار مثال زیر دقت کنید:

 

 

از طرف دیگر، عبارت جبری گویا ($ rational ~~expression $) نوعی عبارت کسری است که در آن هر دو عبارت صورت و مخرج چندجمله ای باشند.

 

هر سه عبارت بالا، از سمت چپ، عبارت جبری گویا هستند ولی چهارمی یک عبارت جبری گویا نیست. چرا؟

 

در این جلسه و جلسه بعد خواهیم آموخت که چطور عملیات جبری را بر عبارت های جبری گویا اعمال کنیم.

 

دامنه اعتبار (درستی) یک عبارت جبری

 

در حالت کلی ممکن است که یک عبارت جبری برای همه اعداد حقیقی تعریف نشده باشد. “دامنه” ($ domain $) یک عبارت جبری مجموعه ای از اعداد حقیقی است که متغیر آن عبارت جبری مجاز به پذیرفتن آن اعداد است. به جدول زیردقت کنید.

 

• مثال یک:

• عبارت جبری $\frac{1}{x}$ به ازای تمام اعداد حقیقی  $ x $ به جز $ x=0 $ تعریف شده است زیرا، بنا به مباحث جلسات قبل، عبارت $\frac{1}{0}$ تعریف نشده است.

 

• مثال دو:

• عبارت جبری $\sqrt{x}$ به ازای تمام اعداد حقیقی غیر منفی $ x $ تعریف شده است ( از مباحث جلسات قبل، به یاد داریم که عبارت زیر رادیکال نباید منفی باشد. ).

 

• مثال سه:

• عبارت جبری $\frac{1}{\sqrt{x}}$ به ازای تمام اعداد حقیقی مثبت $ x $  تعریف شده است زیرا، از طرفی عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد ( یعنی $ x \geq 0 $) و از طرفی مخرج کسر نمی تواند صفر باشد ($x \neq 0$). از اینجا نتیجه می گیریم که دامنه این عبارت جبری مجموعه اعداد مثبت است: $ x>0~~ $.

 

دقت کنید که دامنه عبارت جبری سوم اشتراک دامنه های دو عبارت جبری قبلی است.

 

• مثال چهار:

• دامنه عبارت جبری $2x^{2}+3x+1$ برای همه اعداد حقیقی تعریف شده است زیرا هر کدام از جملات آن، یعنی $2x^{2}$، $3x$ و $1$ برای همه اعداد حقیقی $x$ تعریف شده است. پس دامنه این عبارت جبری $ \mathbb{R} $ می باشد.

 

• مثال پنج:

• برای تعیین دامنه عبارت جبری $\frac{x}{x^{2}-5x+6}$ در ابتدا مخرج را تجزیه می کنیم:

 

$\frac{x}{x^{2}-5x+6}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}$

 

صورت کسر به ازای همه مقادیر متغیر  $x$ تعریف شده است. از طرفی مخرج این عبارت جبری گویا باید غیر صفر باشد. این مخرج به ازای مقادیر 2 , 3 از متغیر  $x$ صفر می شود. بنابراین مقادیر یاد شده نمی توانند در دامنه این عبارت جبری باشند. پس درواقع دامنه این عبارت جبری همه اعداد حقیقی به جز مقادیر 2 و 3 می باشد:

 

$\left\lbrace x| x \neq 2 ~~and~~ x \neq 3 \right\rbrace$

 

یادآوری: به یاد می آوریم که اگر داشته باشیم  $ ab=0 $ آنگاه $ a=0 $، یا $ b=0 $ و یا هر دو مقدار $ a $ و $ b $ برابر صفر هستند:

$ ab=0 ~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~ a=0~~or~~b=0 ~~~~~~~~~~$

 

حال عبارت جبری $\frac{\sqrt{x}}{x-5}$ را در نظر بگیرید. نخست توجه می کنیم که برای خوش تعریف-بودن صورت کسر متغیر $x$ نمی تواند منفی باشد:

$x \geq 0~~$.

همچنین، از آنجا که تقسیم بر صفر بی معنی است، مخرج کسر هم نمی تواند صفر باشد:

$x \neq 5$

بنابراین دامنه این عبارت جبری به صورت مقابل است:

$\left\lbrace x| x \geq 0 ~~and~~ x \neq 5 \right\rbrace~~~~~~$

 

 

ساده سازی عبارت های جبری گویا

 

برای ساده سازی عبارت های جبری گویا ما صورت و مخرج را تجزیه کرده و و سپس از ویژگی زیر برای ساده سازی عبارت مورد نظر استفاده می کنیم:

 

$\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}$

 

این ویژگی به ما اجازه می دهد که فاکتورهای مشترک را از صورت و مخرج “حذف” کنیم. به مثال زیر دقت کنید:

 

ساده سازی کنید:

 

 

دقت کنید که دامنه عبارت جبری مورد نظر

$\left\lbrace x| x \neq 1 ~~and~~ x \neq -2 \right\rbrace~~$

می باشد. دامنه، حتی پس از ساده سازی نیز، به همین صورت باقی خواهد ماند. این نکته مهمی است و بعدا درباره آن بیشتر بحث خواهیم کرد.

 

 

اشتباه رایج: نمی توان جمله  $x^{2}$ را از صورت و مخرج عبارت $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-2}$ حذف کرد به این دلیل ساده که جمله $x^{2}$ فاکتور مشترک صورت و مخرج نیست.

 

 

ضرب و تقسیم عبارت های جبری گویا

 

ضرب عبارت های جبری گویا

 

برای ضرب عبارت های جبری گویا از ویژگی زیر استفاده می کنیم:

 

$\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}=\frac{A \times C}{B \times D}$

 

عبارت بالا به این معنی است که برای ضرب دو عبارت کسری، باید صورت ها را در هم و مخرج ها را در هم ضرب کنیم.

 

مثال: ضرب دو عبارت جبری گویای زیر را انجام داده و نتیجه را ساده کنید.

 

 

دقت کنید که در ابتدا عبارت های جبری را تجزیه کرده و سپس در هم ضرب کرده ایم. این کار لازم نیست ولی برای ساده سازی نهایی بسیار مفید است؛ زیرا اگر در ابتدا ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج را انجام دهیم با چهارجمله ای های درجه سوم سر و کار خواهیم داشت که ساده سازی آنها چندان ساده نیست.

 

تقسیم عبارت های جبری گویا

 

برای تقسیم عبارت های جبری گویا از ویژگی زیر استفاده می کنیم:

 

$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D}=\frac{A}{B} \times \frac{D}{C}=\frac{A \times D}{B \times C}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} =\frac{A \times D}{B \times C}$

 

عبارت بالا، سمت چپ، به این معنی است که برای تقسیم دو عبارت کسری، کسر دوم را معکوس کرده ( معکوس کسر دوم یعنی $ \frac{D}{C} $) و سپس دو کسر را در هم ضرب می کنیم.

 

به خاطر سپردن قاعده “دور در دور، نزدیک در نزدیک” هم می تواند مفید باشد. به عبارت سمت راست دقت کنید.

 

مثال: تقسیم دو عبارت جبری گویای زیر را انجام داده و نتیجه را ساده کنید.

 

 

 

نکات مهم درس عبارت های جبری گویا – بخش اول

 

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی عبارت های جبری گویا را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

 

• عبارت کسری چیست؟
• عبارت جبری گویا چه نوع عبارت کسری است؟
• مفهوم دامنه یک عبارت جبری را توضیح دهید.
• چطور می توانیم دامنه یک عبارت جبری را به دست آوریم.
• اگر داشته باشیم $ab=0$ آنگاه چه نتایجی می توان درباره پارامترهای  $a $ و $ b $ گرفت؟
• چطور می توان یک عبارت جبری گویا را ساده سازی کرد؟
• آیا دامنه عبارت جبری گویا پس از ساده سازی تغییر می کند؟
• قاعده ضرب عبارت های جبری گویا را بنویسید.
• قاعده تقسیم عبارت های جبری گویا را بنویسید.

 

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

 

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

 

 

تمرین

 

• کدام یک از عبارت های جبری زیر گویا هستند؟

 

 

 

• دامنه عبارت های جبری زیر را بیابید.

 

 

 

• عبارت های جبری گویای زیر را ساده سازی کنید.

 

 

 

• ضرب و تقسیم عبارت های جبری گویای زیر را محاسبه و نتیجه را ساده سازی کنید.

 

 

 

 

درس بعدی: عبارت های جبری گویا — بخش دوم

 

در درس بعد جمع و تفریق عبارت های جبری گویا را بحث خواهیم کرد. همچنین کارکردن با کسرهای مرکب را خواهیم آموخت. به علاوه، می آموزیم که چطور صورت و مخرج کسرها را گویا کنیم. در انتها نیز درباره برخی اشتباهات رایج در جبر عبارت های گویا توضیح خواهیم داد.

 

 

منابع درس

 

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)