۴. محور اعداد حقیقی، مجموعه اعداد و بازه ها
در درس قبل، چهار عمل اصلی در اعداد حقیقی را بررسی کردیم. در این درس به محور اعداد حقیقی، مجموعه اعداد و بازه ها خواهیم پرداخت.
ا
آنچه گذشت: ویژگی های چهار عمل اصلی
در جلسه قبل ویژگی های قرینه اعداد حقیقی را بررسی کردیم، که به طور خلاصه شامل موارد زیر است:
همچنین ویژگی های کسرها را با هم مرور کردیم:
در این جلسه در مورد محور اعداد حقیقی، مجموعه اعداد و بازه ها با هم یاد میگیریم.
محور اعداد حقیقی
ویژگی های محور اعداد حقیقی
اعداد را می توان بر روی یک خط جهت دار، مطابق شکل زیر، نشان داد. این خط جهت دار را “محور”، محور اعداد و یا محور اعداد حقیقی می نامند.
جهت مثبت محور را معمولا به سمت راست در نظر می گیرند. هر چند این جهت اختیاری است، ولی قرارداد بسیار معمول به سمت راست است.
برای نشان دادن اعداد بر روی محور در ابتدا باید نقطه ای را به عنوان “مبدا” و یا نقطه صفر محور ($x=0$) انتخاب کنیم. اعداد مثبت در سمت راست مبدا و اعداد منفی در سمت چپ آن قرار می گیرند.
همچنین، باید نقطه ای را به طول یک ( به عنوان واحد اندازه گیری ) در سمت راست محور تعیین کنیم. طول همه نقاط نسبت به این واحد ( یکه ) سنجیده می شود.
نقطه متناظر با هر عدد حقیقی را “مختصه” آن نقطه ($point$) می نامند و آن را با $P$ و یا دیگر حروف لاتین نشان می دهند. محور اعداد حقیقی را محور مختصات، محور حقیقی و یا به سادگی محور نیز می گویند.
محور مختصات یکی از بزرگترین اکتشافات ریاضی است زیرا رابطه شهودی بسیار خوبی بین جبر و هندسه ارائه می کند. ما اغلب یک نقطه بر روی محور را به هر عدد حقیقی نسبت می دهیم و از آن به بعد درباره آن نقطه “فکر می کنیم”! تسلط به محور مختصات برای فهم مطالب آینده اهمیت اساسی دارد.
اعداد حقیقی ترتیب دارند؛ یعنی هر عدد حقیقی از یک سری اعداد بزرگتر است و از بقیه اعداد کوچکتر است. این ترتیب را می توان به راحتی بر روی محور اعداد حقیقی مشاهده کرد.
می گوییم عدد حقیقی $a$ کوچکتر از عدد حقیقی $b$ است، و می نویسیم $a<b$، اگر $b-a$ مثبت باشد. از لحاظ هندسی این گزاره بدان معناست که بر روی محور اعداد، عدد $b$ در سمت راست عدد $a$ قرار گرفته است. محور اعداد حقیقی در شکل بالا را مجددا ببینید و چند رابطه کوچکتری را بیان کنید. به طور مثال:
$$-\sqrt{2}<\sqrt{2}~~~~~~~~~~~~~\sqrt{2}<\sqrt{3}~~~~~~~~~~~~~\sqrt{5}<\pi~~~~~~~~~~~~~\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$$
$$-4.9<-4.7~~~~~~~~~~~~~-4<-3~~~~~~~~~~~~~-2<-\sqrt{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~-\frac{1}{16}<\frac{1}{8}$$
به صورت معادل می توانیم بگوییم عدد حقیقی $b$ بزرگتر از عدد حقیقی $a$ است، و بنویسیم $b>a$.
چند رابطه بزرگتری را در شکل بالا (محور اعداد حقیقی) بیابید. به طور مثال
$$0.33333333 > \frac{1}{4}~~~~~~~~~~~~~5>4.9999999~~~~~~~~~~~~~-3>-\pi~~~~~~~~~~~~~\pi>\sqrt{5}$$
عبارت $a~ \leq b $ (می خوانیم $a$ کوچکتر یا مساوی $b$) به این معناست که یا $a<b$ و یا $a=b$.
عبارت $a~ \geq b $ (می خوانیم$a$ بزرگتر یا مساوی $b$) به این معناست که یا $a>b$ و یا $a=b$.
مجموعه ها
مجموعه عبارت از دسته ای از اشیاء ( اعداد و … ) است. این اشیاء را “عضو مجموعه” می نامند. اگر$S$ یک مجموعه باشد، آنگاه عبارت $a \in S$ (بخوانید $a $ عضو $S$) به این معنی است که $a $ عضو مجموعه $S$ می باشد.
همچنین عبارت $b \notin S$ (بخوانید $b $ عضو $S$ نیست) به این معنی است که $b $ عضوی از مجموعه $S$ نیست.
مثال:
مجموعه اعداد صحیح $\mathbb{Z}$ را در نظر بگیرید. عدد $-2$ عضو مجموعه $\mathbb{Z}$ است. بنابراین:
$-2 \in \mathbb{Z}~~$
ولی عدد پی عضو مجموعه اعداد صحیح نیست. پس
$\pi \notin \mathbb{Z}~~$
برخی مجموعه های اعداد را می توان به کمک آکولاد (دو ابرو) نشان داد. به عنوان مثال، مجموعه همه اعداد صحیح و مثبت کوچکتر از 7 را می توان به صورت زیر نوشت:
$$A~=~\left\lbrace 1,~2,~3,~4,~5,~6 \right\rbrace$$
دقت کنید که اعضاء متفاوت مجموعه به کمک کاما (,) از هم تفکیک شده اند. مجموعه $A$ را می توان به کمک نمادگذاری ریاضی زیر هم نوشت:
$$A~=~\left\lbrace x \mid x \in \mathbb{Z}~~and~~0<x<7 \right\rbrace$$
یعنی “$ A $ مجموعه همه اعداد $ x $ است به طوری که $ x $ یک عدد صحیح است ($ x \in \mathbb{Z} $) و $ 0<x<7 $”.
بدانید:
برخی به جای علامت $ \mid $ از علامت $ : $ استفاده می کنند:
$$A~=~\left\lbrace x : x \in \mathbb{Z}~~and~~0<x<7 \right\rbrace$$
همچنین می توان به جای $and$ از $\&$ استفاده کرد.
اجتماع دو مجموعه
اگر $S$ و $T$ دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه ای که شامل همه اعضای هر دو مجموعه $S$ و $T$ است را اجتماع دو مجموعه $S$ و $T$ می نامند و با علامت $S \cup T$ نشان می دهند ( بخوانید $S$ اجتماع $T$). دقت کنید که اعضای مجموعه $S \cup T$ عضو $S$ و یا $T$ و یا هر دو مجموعه هستند.
اشتراک دو مجموعه
اگر $S$ و $T$ دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه ای که شامل اعضای مشترک دو مجموعه $S$ و $T$ است را اشتراک دو مجموعه $S$ و $T$ می نامند و با علامت $S \cap T$ نشان می دهند ( بخوانید $S$ اشتراک $T$). دقت کنید که اعضای مجموعه
$S \cap T$ عضو هر دو مجموعه $S$ و $T$ هستند.
مجموعه تهی
مجموعه تهی مجموعه است که هیچ عضوی ندارد. این مجموعه را با علامت $\varnothing$ نشان می دهند.
مثال
اگر داشته باشیم
$$S~=~\left\lbrace 1,~2,~3,~4,~5 \right\rbrace ~~~~~~~~~~~T=~\left\lbrace ~4,~5,~6,~7~ \right\rbrace ~~~~~~~~~~~~~~V=~\left\lbrace ~6,~7,~8 \right\rbrace$$
آنگاه مجموعه های $S \cup T$، $S \cap T$ و $S \cap V$ را بیابید.
پاسخ:
اجتماع دو مجموعه $S $ و $ T$ :
$S \cup T ~=~\left\lbrace 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7~ \right\rbrace~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
اشتراک دو مجموعه $S $ و $ T$:
$S \cap T ~=~\left\lbrace 4,~5 \right\rbrace~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
اشتراک دو مجموعه $S $ و $ V$ :
$S \cap V ~=~\varnothing~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
بازه ها
انواع خاصی از مجموعه های اعداد حقیقی، به نام “بازه ها”، در حسابان ( حساب مشتقات و انتگرال ها ) بسیار مورد استفاده هستند. بازه ها در واقع ناحیه هایی از محور حقیقی هستند. برخی از انواع بازه های پرکاربرد را در زیر معرفی کرده ایم:
بازه باز $\left( a,~b\right)$
اگر $a<b$ باشد آنگاه بازه باز از $a$ تا $b$ شامل همه اعداد بین دو عدد $a$ و $b$ است ( به جز $a$ و $b$). این بازه باز را با $\left( a,~b\right)$ نشان می دهند. شکل بالا را ببینید. در این شکل، توخالی بودن نقاط ابتدایی و انتهایی بازه به این معناست که نقاط $a$ و $b$ جزو مجموعه مورد نظر ما نیستند.
بازه بسته $\left[ a,~b\right]$
اگر $a<b$ باشد آنگاه بازه بسته از$a$ تا $b$ شامل همه اعداد بین دو عدد $a$ و $b$ است (و همچنین $a$ و $b$). این بازه بسته را با $\left[ a,~b\right]$ نشان می دهند. شکل بالا را ببینید. در این شکل، توپر بودن نقاط ابتدایی و انتهایی بازه به این معناست که نقاط $a$ و $b$ جزو مجموعه مورد نظر ما هستند.
توجه کنید که علامت $\left( ~,~\right)$ برای نشان دادن دو-سر-باز بودن بازه و علامت $\left[ ~,~\right]$ نشان دهنده دو- سر-بسته بودن بازه هاست. امکانات دیگر هم وجود دارد که در اسلاید بعد می بینید.
انواع بازه ها
در شکل بالا، به ترتیب از بالا به پایین داریم:
- بازه باز $a$ تا $b$
- بازه بسته $a$ تا $b$
- بازه از سمت چپ بسته و از سمت راست باز$a$ تا $b$
- بازه از سمت چپ باز و از سمت راست بسته $a$ تا $b$
- بازه از سمت چپ باز $a$ تا بینهایت $\infty$
- بازه از سمت چپ بسته $a$ تا بینهایت $\infty$
- بازه از سمت راست باز $-\infty$ تا $b$
- بازه از سمت راست بسته $-\infty$ تا $b$
- مجموعه تمام اعداد حقیقی $\left( -\infty ~,~\infty \right)$
درباره بینهایت
علامت $\infty$ برای نشان دادن بینهایت استفاده می شود.
دقت کنید که بینهایت یک عدد نیست!
مثلا بازه $\left(~a~,~ \infty \right)$ به این معنی است که این بازه هیچ نقطه نهایی ( محدودیت ) در سمت راست ندارد و تا مقادیر نامحدود به سمت راست ادامه دارد.
بینهایت فیزیکی معمولا به مقادیر بسیار بزرگ در مساله مورد نظر اشاره دارد. مثلا، در مقایسه با قطر زمین ($6370~km$)، قطر کهکشان راه شیری ($\approx 10^{17}~km$) بسیار بزرگتر است. پس نسبت دومی به اولی در “فیزیک” بینهایت در نظر گرفته می شود. این روش برای مسائل فیزیکی به خوبی جواب می دهد.
به صورت شهودی، بینهایت در ریاضی از هر عدد مد نظر ما بزرگتر است.
مثال
درشکل زیر هر بازه را بر روی محور اعداد حقیقی نشان داده ایم:
نتیجه اجتماع و اشتراک دو بازه مشخص شده در زیر را محاسبه کرده و حاصل را بر روی محور اعداد حقیقی نشان دهید.
در ابتدا حاصل اجتماع و اشتراک را محاسبه می کنیم:
حال نتایج را بر روی محور اعداد نشان می دهیم:
نکات مهم این درس
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های محور اعداد، مجموعه ها و بازه ها را به درستی توصیف کرده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- مبدا، مختصه و جهت محور در محور اعداد را توضیح دهید.
- اگر $a>b$ باشد، آنگاه عدد $a$ در سمت راست عدد $b$ قرار دارد و یا سمت چپ آن؟ همچنین، $a-b$ مثبت است و یا منفی؟
- اگر $a<b$ باشد، آنگاه عدد $a$ در سمت راست عدد $b$ قرار دارد و یا سمت چپ آن؟ همچنین، $a-b$ مثبت است و یا منفی؟
- معنی عبارات $a \leq b$ و $ a \geq b $ را توضیح دهید.
- مجموعه چیست؟ عضو مجموعه چیست؟ معنی عبارات $a \in A$ و $a \notin A$ چیست؟
- معنی عبارت زیر چیست؟
- $A~=~\left\lbrace n \mid n \in \mathbb{N}~~and~~5<n<15 \right\rbrace$
- اجتماع و اشتراک دو مجموعه را تعریف کنید. مجموعه تهی چیست؟
- بازه ها چه نوع مجموعه ای هستند؟
- در نمادگذاری جبری، بازه بسته را با چه علامتی نشان می دهیم؟ بر روی محور اعداد این بازه را چگونه نشان می دهیم؟
- در نمادگذاری جبری، بازه باز را با چه علامتی نشان می دهیم؟ بر روی محور اعداد این بازه را چگونه نشان می دهیم؟
- تفاوت بینهایت فیزیکی و ریاضیاتی را شرح دهید.
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین
- بین عبارت های زیر یکی از نماد های $ < $، $ > $ و یا $ = $ را به کار ببرید:
- درستی یا نادرستی هرکدام از عبارت های زیر را تعیین کنید.
- هر یک از گزاره های زیر را به صورت یک نامساوی بنویسید:۱. $ x $ مثبت است.
۲. $t $ کمتر از 4 است.
۳. $ a $ بزرگتر یا مساوی $ \pi $ است.
۴. $ x $ کوچکتر از $\frac{1}{3}$ و بزرگتر از $ -5 $ است.
- برای سه مجموعه داده شده $A$، $B$ و $C$ مجموعه های خواسته شده را بیابید.
- برای سه مجموعه داده شده $A$، $B$ و $C$ مجموعه های خواسته شده را بیابید.
- هر بازه زیر را به صورت نامساوی نوشته و سپس آن را بر روی محور اعداد حقیقی نشان دهید:
$$\left(~ -4,~0~ \right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(~ 3,~7~ \right]$$
$$\left[~ 2,~11~ \right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left[~ -3,~-1~ \right]$$
$$\left[~ -1,~\infty~ \right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(~ -\infty,~5~ \right]$$
- نامساوی های زیر را به صورت بازه نوشته و سپس آن را بر روی محور اعداد حقیقی نشان دهید:
$$x \leq 1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2 \leq x \leq 2$$
$$-3 < x \leq 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x \geq -5$$
$$x <-4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{\pi}{3}<x<\pi$$
- بازه های نشان داده شده در زیر را به صورت مجموعه و همچنین با استفاده از نمادگذاری معمول بازه ها بنویسید.
- مجموعه های زیر را بر روی محور اعداد نشان دهید.
درس بعدی: قدر مطلق اعداد؛ فاصله بین اعداد بر محور حقیقی
در جلسه بعد درباره فاصله دو عدد بر روی محور افقی بحث خواهیم کرد. خواهیم دید که این مفهوم به مفهوم قدرمطلق یک عدد بسیار نزدیک است.
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)