۲. اعداد حقیقی و ویژگی های آنها
در درس قبل با مفهوم مدلسازی ریاضی آشنا شدیم. حال به ادامه مبحث مقدمات ریاضی با بررسی اعداد حقیقی و ویژگی های آنها خواهیم پرداخت.
آنچه گذشت: مدلسازی ریاضی؛ راهی برای فهم پدیده ها و بکارگیری طبیعت
- ما معمولا بر اساس داده های محیط پیرامون خود (داده های فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد و …) یک مدل ریاضیاتی می سازیم. این مرحله را ”مدل سازی” می گویند که اساسا بر مبنای تجربه بنا شده است.
- سپس سعی می کنیم با استفاده از آن مدل رفتار محیط پیرامون خود را پیش بینی کنیم. این مرحله را ”استفاده از مدل ” می نامند.
- البته، در اکثر موارد در حین استفاده از مدل درمی یابیم که مدل مورد استفاده چندان دقیق نیست و بنابراین آن را بهبود می بخشیم. پیشرفت های علمی نیز همگی به این طریق اتفاق می افتند.
- اساس مدلسازی ریاضی مفهوم عدد است که امروز به آن خواهیم پرداخت.
کاربرد اعداد
ما در دنیای واقعی از اعداد برای اندازه گیری و مقایسه مقادیر مختلف استفاده می کنیم.
برای مثال، تعداد نفرات یک کلاس، طول یک میز، سرعت قطار، جرم (وزن)، دما، فشار خون، انرژی، نیرو، زاویه، سن، زمان، هزینه و … را با استفاده از اعداد می سنجیم.
با استفاده از اعداد همچنین می توان رابطه بین کمیت های متفاوت را بیان و پیدا کرد. مثلا رابطه بین شعاع یک دایره و مساحت آن، رابطه بین شعاع یک کره و حجم آن، رابطه بین سرعت با جابجایی و زمان، رابطه بین میزان درآمد و تخصص و … را می توان با استفاده از اعداد نشان داد.
همه اندازه گیری ها و محاسبات یاد شده در بالا، و اکثر محاسبات دیگر، را می توان با استفاده از اعداد حقیقی انجام داد که در این درس به آن خواهیم پرداخت.
مروری بر مجموعه های اعداد
- مجموعه اعداد طبیعی (که برای شمردن استفاده می شوند):
\[ 1, 2, 3, … \]
- مجموعه اعداد صحیح که شامل اعداد طبیعی، قرینه آنها (اعداد صحیح با علامت منفی) و صفر می شود:
\[ …, ~~-3, ~~ -2, ~~ -1,~~ 0, ~~1,~~ 2, ~~ 3, ~~…\]
- اعداد گویا را می توان با استفاده از نسبت اعداد صحیح ساخت،یعنی m/n که در آن m و n اعدادی صحیح هستند. مثلا:
\[ \frac{1}{3},~~ -\frac{5}{4}, ~~ 8=\frac{8}{1},~~ 0.23=\frac{23}{100}\]
نکته:
مجموعه اعداد گویا شامل مجموعه اعداد صحیح، و بنابراین اعداد طبیعی، می باشد.
یادآوری بسیار مهم:
تقسیم بر صفر بی معنی است؛ بنابراین، ترکیباتی مانند $\frac{5}{0}$، $-\frac{1}{0}$ و $\frac{0}{0}$ بی معنی هستند.
به نمادگذاری مجموعه های اعداد در زیر دقت کنید:
جالب است بدانید که در این دسته بندی، N نمایش دهنده اعداد طبیعی یا Natural numbers است. همچنین Z برای اعداد صحیح یا Integer numbers استفاده می شود که ابتدای کلمه اعداد یعنی Zahlen درزبان آلمانی است. برای اعداد اعشاری یا Rational Numbers از Q استفاده می کنند که حرف اول کلمه Quotient در انگلیسی است و اعداد حقیقی یا Real numbers نیز با حرف R نمایش داده می شوند.
- مجموعه اعداد گنگ یا Irrational numbers که نمی توان آنها را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت و با حرف P نمایش داده می شوند. مانند:
\[ \sqrt{2},~~-\sqrt{5},~~\sqrt[3]{7},~~\pi=3.14159265… , ~~e=2.71828…, ~~\frac{2}{\pi^3 e}\]
می توان به روش های گاه بسیار پیچیده نشان داد که این اعداد را نمی توان به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت و در نتیجه این اعداد گنگ هستند.
نکته:
همه انواع اعداد بالا مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل می دهند. به شکل زیر و رابطه بین این مجموعه ها دقت کنید.
نکته:
همه اعداد حقیقی را می توان به صورت اعشاری نوشت. هرچند، اگر عدد مورد نظر گویا باشد، آنگاه صورت اعشاری آن تکرارپذیراست.
\[ \frac{1}{2}=0.500…=0.5\bar{0}, ~~ -\frac{2}{3}=-0.666…=-0.\bar{6} \]
توجه:
علامت ¯ بر روی رقم اعشاری نشان دهنده تکرار شدن آنها است.
مثال های دیگر:
\[ \frac{9}{7}=1.285714285714…=1.\bar{285714} \]
\[ \frac{157}{495}=0.3171717…=0.3\bar{17} \]
دقت کنید که در مورد اخیر علامت ¯ فقط بر روی ١٧ قرار گرفته است.
نکته:
اگر عدد مورد نظر ما گنگ باشد آنگاه به هیچ عنوان تکرار پذیر نیست.
\[ \sqrt{3}=1.73205080…, ~~~~\sqrt[3]{2}=1.2599210… \]
بنابراین عدد π در واقع ”به صورت تقریبی” برابر است با
\[ \pi \approx 3.14159265 \]
توجه:
علامت $\approx $ را بخوانید ”تقریبا برابر است با”.
دقت کنید که ارقام اعشاری عدد پی تکرار نمی شوند.
جالب است بدانید غیاث الدین جمشید کاشانی، در سال ٨٠٢ شمسی، عدد پی را تا ١۶رقم اعشار محاسبه کرد. این محاسبه تا ١٨٠سال بعد بی رقیب باقی ماند.
تبدیل صورت اعشاری عدد گویا به صورت کسری آن
عدد گویای زیر را می خواهیم به شکل کسری بنویسیم
\[ x=3.5474747… \]
ایده حل این سوال این است که عدد مورد نظر را در توان های مناسب ١٠ضرب کنیم. سپس، با انجام عمل تفریق، می توان کسر مورد نظر را یافت.
جواب مورد نظر به صورت $ \frac{3512}{990} $ به دست می آید.
تمرین:
عدد ۲/۲۷۶۴۲۲۶۴۲۲۶۴۲… را به صورت کسری بنویسید.
نکته:
همه اعداد با رقم اعشار تکرار شونده گویا هستند. چرا؟
لطفا به موارد استفاده اعداد حقیقی توجه کنید: اعداد طبیعی برای شمردن استفاده می شوند. اعداد منفی برای نشان دادن بدهی، و یا دمای زیر صفر و ،… استفاده می شوند. اعداد گویا برای نشان دادن نسبت ها ) نیم لیتر، دو سوم پیمانه و … (استفاده می شوند. اعداد گنگ نیز
برای پیدا کردن برخی فواصل مورد نیاز هستند) قطر مربعی به طول یک.
رفتار عدد حقیقی در مقابل صفر و یک
بسیاری از ویژگی های اعداد حقیقی را تاکنون با آنها مواجه شده اید. برخی از این ویژگی ها حتی بدیهی به نظر می رسند؛ هرچند، باید توجه داشت که تقریبا همه نتایج مربوط به اعداد حقیقی را می توان از همین ویژگی های به ظاهر بدیهی استنتاج کرد. بنابراین بهتر است آنها را به دقت فرا بگیریم.
- جمع عدد حقیقی با صفر: حاصلجمع هر عدد حقیقی با صفر برابر همان عدد است؛ یعنی
\[ a + 0 = a \]
- ضرب عدد حقیقی در صفر: حاصلضرب هر عدد حقیقی در صفر برابر صفر است؛ یعنی
\[ a \times 0 = 0 \]
- ضرب عدد حقیقی در یک: حاصلضرب هر عدد حقیقی در یک برابر همان عدد است؛ یعنی
\[ a \times 1 = a \]
ویژگی های جابجایی، و شرکت پذیری و توزیع پذیری اعداد حقیقی
-
ویژگی جابجا پذیری:
جمع و ضرب اعداد حقیقی جابجا پذیر است؛ یعنی
\[ a + b = b + a \]
\[ a \times b = b \times a \]
بنابراین، وقتی دو عدد حقیقی را جمع می کنیم (و یا در هم ضرب می کنیم) ترتیب جمع کردن (و یا ضرب کردن) اهمیتی ندارد. مثال
\[ 2 + 9 = 9 + 2 \]
\[ 3 \times 7 = 7 \times 3 \]
نکته:
توجه کنید که بنا به یک نمادگذاری بسیار معمول در ریاضی داریم
\[ a \times b = ab \]
-
ویژگی شرکت پذیری
\[\left( a~+~b \right) ~+~c=a~+~ \left( b~+~c \right)\]
\[\left(~ a ~ b ~\right)~c =a~ \left(~b~c~ \right)\]
بنا به روابط بالا، وقتی سه عدد حقیقی را با هم جمع می کنیم ( و یا در هم ضرب می کنیم ) مهم نیست اول کدام دو عدد با هم جمع ( و یا در هم ضرب ) شوند. به طور مثال
\[\left( \sqrt[3]{5}~+~\pi \right) ~+~7= \sqrt[3]{5}~+~ \left( \pi~+~7 \right)\]
\[\left(~ 2.5 ~\times 4 ~\right)~\times~11 =2.5~\times~ \left(~4~\times~11~ \right)\]
-
ویژگی توزیع پذیری
\[ a\left(b~+~c \right)=ab~+~ac\]
\[\left(b~+~c \right)a =ab + ac \]
بنا بر این روابط، وقتی یک عدد حقیقی را در مجموع دو عدد دیگر ضرب می کنیم، نتیجه با وقتی که عدد اول را در هر کدام از دو عدد بعدی ضرب کرده و سپس جمع می کنیم یکسان خواهد بود. به طور مثال
\[ 5 ~\times~ \left(8~+~11 \right)=5~\times~8~+~5~\times~11\]
\[\left(8~+~11 \right)~\times~5 =5~\times~8~+~5~\times~11\]
ا
توجه: برای فهم اتحادها، فاکتورگیری و … باید این ویژگی ها را به خوبی بدانیم.
به توصیف طرح وار مقابل برای فهم خاصیت توزیع پذیری دقت کنید.
نکات مهم این درس
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید انواع مجموعه های اعداد را به درستی توصیف کرده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- مجموعه اعداد طبیعی را بنویسید. این اعداد برای چه محاسباتی مورد استفاده قرار می گیرند؟
- مجموعه اعداد صحیح را بنویسید. این اعداد برای چه محاسباتی مورد استفاده قرار می گیرند؟
- مجموعه اعداد گویا را بنویسید. این اعداد برای چه محاسباتی مورد استفاده قرار می گیرند؟
- مجموعه اعداد گنگ را بنویسید. این اعداد برای چه محاسباتی مورد استفاده قرار می گیرند؟
- مجموعه اعداد حقیقی را توصیف کنید. این اعداد برای چه محاسباتی مورد استفاده قرار می گیرند؟
- رابطه زیرمجموعه ای بین انواع اعداد حقیقی ( طبیعی، صحیح، گویا و گنگ ) را با رسم شکل توضیح دهید.
- ترکیباتی مانند $\frac{3}{0}$ جزو کدام دسته از اعداد هستند؟
- چطور می توان یک عدد اعشاری گویا را به صورت کسری بازنویسی کرد؟
- علامت $\bar{~}$ بر روی ارقام اعشار نشان دهنده چه رفتاری از عدد است؟
- رفتار عدد حقیقی در مقابل صفر و یک را توضیح دهید.
- ویژگی جابجا پذیری اعداد حقیقی را بنویسید و مفهوم آن را بیان کنید. استدلال کنید که آیا این ویژگی برای زیرمجموعه های اعداد حقیقی ( طبیعی، صحیح، گویا و گنگ ) نیز درست است یا خیر.
- ویژگی شرکت پذیری اعداد حقیقی را بنویسید و مفهوم آن را بیان کنید. استدلال کنید که آیا این ویژگی برای زیرمجموعه های اعداد حقیقی ( طبیعی، صحیح، گویا و گنگ ) نیز درست است یا خیر.
- ویژگی توزیع پذیری اعداد حقیقی را بنویسید و مفهوم آن را بیان کنید. استدلال کنید که آیا این ویژگی برای زیرمجموعه های اعداد حقیقی ( طبیعی، صحیح، گویا و گنگ ) نیز درست است یا خیر.
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و درونی سازی مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین
- در مجموعه اعداد حقیقی زیر، زیرمجموعه های اعداد طبیعی، صحیح، گویا و گنگ را به صورت مجزا بنویسید.
- در مجموعه اعداد حقیقی زیر، زیرمجموعه های اعداد طبیعی، صحیح، گویا و گنگ را به صورت مجزا بنویسید.
- در هر کدام از محاسبات زیر کدام یک از ویژگی های اعداد حقیقی به کار رفته است؟
- از ویژگی های اعداد حقیقی استفاده کرده و عبارت های زیر را به صورتی بنویسید که پرانتز نداشته باشند.
درس بعدی: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد حقیقی
در جلسه بعد ویژگی های جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد حقیقی را معرفی و بحث خواهیم کرد. این ویژگی ها برای فهم محاسبات ریاضی اهمیت بنیادی دارند.
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)