۴. تشخیص توابع

در درس قبل با نمودار توابع آشنا شدیم. در این درس به بررسی نحوه تشخیص توابع به کمک نمودار و همچنین رابطه آنها خواهیم پرداخت و با برخی توابع پرکاربرد آشنا خواهیم شد.

آنچه گذشت: نمودار تابع

 

• نمودار یک تابع: اگر $f $ تابعی با دامنه $A$ باشد، آنگاه نمودار این تابع مجموعه زوج مرتب های $~\left\lbrace (x,~f(x)) ~|~x \in A \right\rbrace ~ $ می باشد که در صفحه مختصات رسم شده است. به عبارت دیگر، نمودار تابع $f $ نمودار معادله $ y=f(x) $ می باشد.

 

• تابعی به شکل $f(x)=mx+b$ را تابع خطی می نامیم زیرا شکل این تابع نمودار یک خط را، با شیب $m$ و عرض از مبدا $b$ نشان می دهد (پارامترهای $m$  و $b$ ثابتند).

 

• اگر $b$ یک ثابت باشد، تابعی به شکل $f(x)= b$ را یک تابع ثابت می نامیم زیرا همه خروجی های آن عدد ثابت $b$ هستند.

 

•  اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد، توابعی به شکل $f(x)=x^{n}$ را توابع توانی و توابع به شکل $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ را توابع رادیکالی می نامند.

 

• برای رسم توابع می توانید از نرم افزارها و وبسایت های محاسب استفاده کنید. درک دامنه و برد توابع برای رسم نمودار آنها بسیار مهم است.

 

• جزء صحیح یک عدد بیشترین عدد صحیحی است که کمتر یا مساوی آن عدد است. تابع جزء صحیح را به صورت $f(x)= \lfloor x \rfloor$ نشان می دهند. همچنین، سقف یک عدد کوچکترین عدد صحیح بزرگتر (یا مساوی) آن عدد است. تابع سقف را به صورت $f(x)= \lceil x \rceil$ نشان می دهند.

 

 

 

تشخیص توابع با توجه به نمودار آنها

 

آزمون خط عمودی برای تشخیص توابع

 

نمودار یک تابع، یک منحنی در صفحه $xy$ است. هرچند، این سوال به صورت طبیعی وجود دارد که کدام منحنی ها در صفحه $xy$ نشان دهنده توابع هستند؟ این پرسش را می توانیم به وسیله آزمون خط عمود پاسخ دهیم:

 

آزمون خط عمود: یک منحنی رسم شده در دستگاه مختصات نشان دهنده منحنی یک تابع است اگر و فقط اگر هر خط عمودی منحنی را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

 

سوال:‌ چرا آزمون خط عمود به درستی جواب می دهد؟

پاسخ:

• اگر هر خط عمودی $x=a$ منحنی را فقط در یک نقطه مانند $(a,~b)$ قطع کند، آنگاه به ازای هر ورودی فقط یک خروجی خواهیم داشت؛ بنابراین، نمودار مورد نظر نشان دهنده یک تابع است. شکل پایین سمت چپ را ببینید.
• از طرفی، اگر هر خط عمودی $x=a$ منحنی را در دو نقطه ( و یا بیشتر ) مانند $(a,~b)$ و $(a,~c)$ قطع کند، آنگاه به ازای هر ورودی دو خروجی خواهیم داشت؛ بنابراین، نمودار مورد نظر نشان دهنده یک تابع نیست. شکل سمت راست را ببینید.

 

 

 

استفاده از آزمون خط عمود

 

کدام یک از نمودارهای زیر نشان دهنده یک تابع است؟

 

 

• تابع: $(b)$ و $(c)$
• تابع نیست: $(a)$ و $(d)$

 

 

تشخیص توابع با توجه به رابطه آنها

 

رابطه جبری یک تابع چه ویژگی خاصی دارد؟

 

هر معادله ای بین دو متغیر $x$ و $y$ نشان دهنده یک رابطه بین این دو متغیر است.

برای مثال، معادله $y-x^{2}=0$ رابطه ای را بین دو متغیر $x$ و $y$ تعریف می کند.

1

سوال:‌ آیا این رابطه نشان دهنده یک تابع است؟

1

فراموش نکنیم که هر تابعی یک رابطه است، ولی هر رابطه لزوما یک تابع نیست.

 

پاسخ: برای یافتن پاسخ، معادله مورد نظر را برای پیدا کردن $y$ حل می کنیم:

 

$y=x^{2} $

 

بنا به این معادله، رابطه ای وجود دارد که برای هر مقدار $x$ فقط یک مقدار برای $y$ به دست می دهد. پس این معادله در واقع نشان دهنده یک تابع است:

 

$\mathbf{f(x)=x^{2}} $

 

لطفا توجه کنید که نمودار معادله بالا در آزمون خط عمود هم صدق می کند.

 

از طرف دیگر، همانطور که گفته شد، همه رابطه ها تابع نیستند. مثال های بعد را ببینید.

 

 

مثال 1: آیا معادله $y-x^{2}=2$ یک تابع است؟

 

پاسخ: پارامتر $y$ را بر حسب پارامتر $x$ می یابیم:

 

$y-x^{2}=2~~~~~~\Rightarrow~~~~~~y=x^{2}+2$

 

بنا به این معادله، رابطه ای وجود دارد که برای هر مقدار $x$ فقط یک مقدار برای $y$ به دست می دهد. پس این معادله در واقع نشان دهنده یک تابع است. آزمون خط عمود تابع را در شکل زیر ببینید.

 

 

 

مثال 2: آیا معادله $x^{2}+y^{2}=4$ یک تابع است؟

 

پاسخ: پارامتر $y$ را بر حسب پارامتر $x$ می یابیم:

 

$x^{2}+y^{2}=4~~~~~~\Rightarrow~~~~~~y^{2}=4-x^{2}~~~~~~\Rightarrow~~~~~~y =\pm \sqrt{4-x^{2}}$

 

بنا به این معادله، رابطه ای وجود دارد که برای هر مقدار $x$ دو مقدار برای $y$ به دست می دهد. پس این معادله ( که معادله یک دایره است ) نشان دهنده یک تابع نیست. آزمون خط عمود این معادله را در زیر مقابل ببینید.

 

 

 

برخی توابع پرکاربرد

 

نمودار و معادله برخی توابع پرکاربرد را در زیر ملاحظه می کنید. به ویژه به دامنه و برد هر تابع دقت کنید.

 

 

 

 

 

نکات مهم درس تشخیص توابع

 

انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی تشخیص توابع را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:

 

• آزمون خط عمودی برای تشخیص نمودار توابع را بیان کنید.
• توضیح دهید که چرا این آزمون به درستی نمودار یک تابع را، از یک نمودار کلی، تشخیص می دهد.
• آیا نمودار یک بیضی نشان دهنده یک تابع است؟
• چطور توابع را با استفاده از معادله آنها تشخیص می دهید؟
• معادله کلی توابع خطی را بنویسید. نمودار کلی این توابع چگونه است؟ دامنه و برد این توابع چه بازه ای را تشکیل می دهند؟
• معادله کلی توابع توانی را بنویسید. نمودار کلی این توابع چگونه است؟ دامنه و برد این توابع چه بازه ای را تشکیل می دهند؟ توابع توانی با توان های زوج و فرد را به صورت مجزا بحث کنید.
• معادله کلی توابع رادیکالی را بنویسید. نمودار کلی این توابع چگونه است؟ دامنه و برد این توابع چه بازه ای را تشکیل می دهند؟ توابع رادیکالی با فرجه های زوج و فرد را به صورت مجزا بحث کنید.
• معادله کلی توابع توانی با توان منفی را بنویسید. نمودار کلی این توابع چگونه است؟ دامنه و برد این توابع چه بازه ای را تشکیل می دهند؟

 

اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.

 

فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.

 

 

تمرین

 

• با استفاده از آزمون خط عمود، تعیین کنید که آیا نمودارهای زیر تابع هستند یا خیر.

 

 

 

• با استفاده از آزمون خط عمود، تعیین کنید که آیا نمودارهای زیر تابع هستند یا خیر. اگر نمودار مورد نظر نشان دهنده یک تابع است، دامنه و برد تابع را معین کنید.

 

 

 

• تعیین کنید که آیا معادله های داده شده در زیر تابع هستند یا خیر.

 

 

درس بعدی: استخراج اطلاعات از نمودار توابع

نمودار یک تابع اطلاعات بسیاری را درباره دامنه و برد تابع، ریشه های تابع، کاهشی و یا افزایشی بودن تابع و نقاط کمینه و بیشینه تابع به ما می دهد. در دو جلسه بعد خواهیم آموخت که چطور می توان این اطلاعات را از نمودار توابع استخراج کرد.

 

 

 

منابع درس

 

Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)

Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)

 

—–

امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.

 درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.