۴- خط و شیب خط
در درس قبل با دایره و تقارن نمودارها آشنا شدیم. در این درس به بررسی خط و شیب خط میپردازیم.
ا
آنچه گذشت: دایره و تقارن نمودارها
ا
- تقارن نسبت به محور $x$ : می گوییم نمودار نسبت به محور $x$ متقارن است اگر به ازای هر نقطه $(x,~y)$ بر روی نمودار، نقطه $(x,~-y)$ هم بر نمودار موجود باشد (شکل بالا، سمت راست).
- تقارن نسبت به محور $y$ : می گوییم نمودار نسبت به محور $y$ متقارن است اگر به ازای هر نقطه $(x,~y)$ بر روی نمودار، نقطه $(-x,~y)$ هم بر نمودار موجود باشد (شکل بالا، وسط).
- تقارن نسبت به مبدا مختصات : می گوییم نمودار نسبت به مبدا مختصات، یعنی نقطه $(0,~0)$، متقارن است اگر به ازای هر نقطه $(x,~y)$ بر روی نمودار، نقطه $(-x,~-y)$ هم بر نمودار موجود باشد (شکل بالا، سمت چپ).
- معادله دایره : معادله دایره ای به شعاع $r$ و مرکز $(h,~k)$ به صورت زیر است:
$ (x-h)^{2}+(y-k)^{2} =r^{2}$
شیب خط
بسیاری از اشکال روزمره از تعدادی پاره خط تشکیل شده اند. به همین دلیل، خط را می توان یکی از پر کاربردترین اشکال هندسی دانست. از طرفی، بسیاری از معادلات در فیزیک و دیگر علوم نیز رفتاری خطی دارند؛ یعنی، میزان تغییر ثابتی را در طول زمان و … نشان می دهند. بنابراین، شناخت رفتار یک خط می تواند در دیگر علوم نیز مفید باشد.
اولین نکته ای که در رفتار یک خط خود را نشان می دهد میزان مایل بودن آن است. خوشبختانه، میزان مایل بودن خط را می توان به راحتی با تعریف مفهوم شیب خط اندازه گرفت.
شیب یک خط، عبارت است از میزان جابه جایی در راستای عمودی تقسیم بر میزان جابه جایی در راستای افقی.
مثلا، شیب جاده در شکل بالا (سمت راست) $ \frac{8}{100}$ است در حالی که شیب سقف خانه برابر $ \frac{1}{3}$ می باشد. همچنین، شیب راهرو در شکل بالا (سمت چپ) $\frac{1}{12}$ است.
شیب خط یکتاست!
لطفا دقت کنید که وقتی شیب یک خط را اندازه می گیریم، مهم نیست که چقدر از مبدا جابه جا شویم، و یا چقدر در جهت عمودی بالا برویم. در واقع بنا به قضیه تالس مقدار شیب ثابت خواهد بود. مثلا در شکل بالا شیب خط را می توان به صورت نسبت $\frac{A}{B}$ و همچنین $\frac{D}{C}$ نوشت؛ هرچند، نکته اینجاست که بنا به قضیه تالس این دو نسبت با هم برابرند:
$\frac{A}{B}=\frac{D}{C}$
قضیه تالس: اگر خط راستی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شود، دو ضلع دیگر را به یک نسبت میبرد.
بنا به منابع تاریخی یونان باستان، تالس ریاضیدان یونانی با استفاده از این قضیه توانست ارتفاع هرم خئوپس را به دست آورد.
آیا با توجه به شکل پایین می توانید روش تالس را توضیح دهید؟
نتیجه مهم: مقدار شیب خط یکتاست.
شیب خط در دستگاه مختصات
با توجه به جهت انتخاب شده برای محورها در صفحه مختصات، شیب یک خط می تواند منفی هم باشد. برای درک این موضوع به دو مثال زیر دقت کنید.
آتشنشانی از نردبان بالا می رود. بنابراین مولفه عمودی و افقی موقعیت او به صورت مداوم در حال افزایش است. به عبارت دیگر، تغییرات هم در جهت $x$ و هم در جهت $y$ مثبت است. در نتیجه شیب هم مثبت خواهد بود.
حال اسکی بازی را در نظر بگیرید که در حال پایین آمدن از یک شیب است. مولفه افقی موقعیت اسکی باز به صورت مداوم در حال افزایش است در حالی که مولفه عمودی موقعیت او به صورت مداوم در حال کاهش است. به عبارت دیگر، تغییرات در جهت $x$ مثبت بوده در حالی که تغییرات در جهت $y$ منفی است. در نتیجه شیب هم منفی خواهد بود.
در ادامه می خواهیم شیب خط را در صفحه مختصات به صورتی تعریف کنیم که تفاوت بین این دو نوع خط را لحاظ کند.
تعریف شیب خط در دستگاه مختصات و چند نکته مهم
تعریف: شیب $m $ یک خط غیر عمودی که از نقاط $ A(x_{1},~y_{1}) $ و $B(x_{2},~y_{2}) $ عبور می کند برابر است با
$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
شیب خط عمودی تعریف نشده است، چون شامل تقسیم عدد بر صفر است. برخی اوقات می گویند شیب خط عمودی بینهایت است.
دقت کنید که بنا به قضیه تالس هر دو نقطه دیگر بر روی خط، مانند $A^{\prime}$ و $B^{\prime}$، را نیز می توان برای پیدا کردن شیب خط استفاده کرد؛ نتیجه یکسان خواهد بود:
$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y^{\prime}_{2}-y^{\prime}_{1}}{x^{\prime}_{2}-x^{\prime}_{1}}$
مهم نیست که کدام نقطه را نقطه شماره 1 و کدام را نقطه شماره 2 در نظر بگیریم؛ نتیجه بدست آمده از شیب از این انتخاب مستقل خواهد بود. هرچند مهم است که هر نقطه در صورت کسر شماره 1 فرض شد، در مخرج کسر هم همان نقطه شماره 1 فرض شود.
کدام خط ها شیب مثبت، منفی، صفر و یا تعریف نشده دارند؟
با توجه به تعریف شیب خط $ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ ، به شکل زیر توجه کنید:
- خطوطی که به سمت شمال شرق می روند شیب مثبت دارند؛ یعنی تغییرات در جهت افقی و عمودی آنها هم علامت است.
- خطوطی که به سمت شمال غرب می روند شیب منفی دارند؛ زیرا تغییرات در جهت افقی و عمودی آنها با علامت مخالف اتفاق می افتد.
- خطوطی که افقی هستند، یعنی به سمت شرق می روند، شیب صفر دارند؛ زیرا تغییرات در جهت عمود آنها صفر است: $ \frac{0}{x_{2}-x_{1}}=0$
- خطوطی که عمودی هستند، یعنی به سمت شمال می روند، شیب شان تعریف نشده است؛ زیرا تغییرات در جهت عمود آنها غیر صفر و تغییر در جهت افق صفر است: $ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{0}$
محاسبه شیب خط
دو نقطه از خط زیر داده شده است. شیب آن را بیابید.
پاسخ: برای یافتن جواب نقطه $P$ را به عنوان نقطه 1 و نقطه $Q$ را به عنوان نقطه 2 در نظر می گیریم. در این صورت با استفاده از فرمول شیب داریم:
$ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{5-1 }{8-2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
توجه مهم: دقت کنید که حتی اگر نقطه $P$ را به عنوان نقطه 2 و نقطه $Q$ را به عنوان نقطه 1 در نظر می گرفتیم، باز هم همین نتیجه به دست می آمد:
$ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1-5 }{2-8}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$
بعدها در مبحث حساب مشتقات مفهوم شیب را تعمیم داده و به مفهوم مشتق تابع در یک نقطه خواهیم رسید. همچنین، خواهیم آموخت که مشتق تابع در یک نقطه برابر شیب خط مماس بر آن نقطه است.
معادله خط با استفاده از شیب و یک نقطه از آن
در اینجا موضوع اصلی ما این خواهد بود که چطور می توانیم معادله خط را بیابیم. برای اینکار، و با توجه به موقعیت، روش های متفاوتی وجود دارد که درباره همه آنها بحث خواهیم کرد.
پیدا کردن معادله خط با استفاده از شیب و یک نقطه از آن: فرض کنید که شیب خط $m$ را می دانیم. همچنین، یکی از نقاط روی خط به مختصات $P_{1}(x_{1},~y_{1})$ را نیز به ما داده اند. در این صورت می خواهیم وابستگی مختصات یک نقطه دلخواه مانند $P(x ,~y )$ را بیابیم.
بنا به تعریف شیب خط داریم:
$m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~y-y_{1}=m\left( x-x_{1} \right)$
معادله خطی با شیب $m $ که از نقطه $(x_{1},~y_{1})$ می گذرد به صورت زیر است:
$ y-y_{1}=m\left( x-x_{1} \right)$
مثال
الف) معادله خطی با شیب $-\frac{1}{2}$ که از نقطه $(1 ,~-3 )$ می گذرد را بیابید.
ب) خط را رسم کنید.
پاسخ الف: با توجه به اطلاعات مساله داریم $m=-\frac{1}{2}$، $x_{1}=1$ و $y_{1}=-3$. بنابراین معادله خط به صورت زیر به دست می آید:
$ y-y_{1}=m\left( x-x_{1} \right) ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~y-(-3)=-\frac{1}{2}\left( x-1 \right)$
و یا
$ 2y+6=- x+1$
که به صورت نهایی زیر نوشته می شود:
$ x+2y+5=0$
پاسخ ب: برای رسم این خط، ابتدا دستگاه مختصات را رسم کرده و نقطه $P$ به مختصات $(1 ,~-3 )$ را در آن مشخص می کنیم. حال، اینکه شیب برابر $ -\frac{1}{2}$ می باشد بدان معنی است که وقتی 2 واحد به سمت راست جابجا می شویم، خط به اندازه یک واحد پایین می آید. از اینجا می توانیم نقطه دیگر یعنی $Q$ را بیابیم. در انتها باید خط را از طرفین ادامه دهیم.
معادله خط گذرنده از دو نقطه مشخص
یک خط را در نظر بگیرید که از نقاط $A(x_{1},~y_{1})$ و $B(x_{2},~y_{2})$ عبور می کند. شیب آن برابر است با
$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
حال می توانیم فرمول خط مورد نظر را با استفاده از فرمول “خط با شیب معلوم و گذرنده از یک نقطه مشخص” بدست آوریم:
$ y-y_{1}=m\left( x-x_{1} \right) ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left( x-x_{1} \right) $
البته اگر از نقطه $B(x_{2},~y_{2})$ نیز استفاده کنیم به نتیجه یکسانی می رسیم:
$ y-y_{2}=m\left( x-x_{2} \right) ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~y-y_{2}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left( x-x_{2} \right)$
به مثال بعد دقت کنید.
مثال از معادله خط گذرنده از دو نقطه مشخص
معادله خطی که از نقاط $ (-1,~2)$ و $ (3,-4)$ عبور می کند را بیابید.
شیب این خط برابر است با
$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-4-2}{3-(-1)}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$
حال با در نظر گرفتن نقطه اول داریم:
$y-y_{1}=m\left( x-x_{1} \right) ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~y-2=-\frac{3}{2}\left( x +1 \right) $
$ 2y-4=-3x-3 ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~ 3x+2y-1=0$
اگر از نقطه دوم نیز استفاده کنیم به نتیجه یکسانی می رسیم:
$ y-y_{2}=m\left( x-x_{2} \right) ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~y+4=-\frac{3}{2}\left( x-3 \right) $
$ 2y+8=-3x+9 ~~~~~~~ \Rightarrow~~~~~~~~ 3x+2y-1=0$
آزمودن جواب: دقت کنید که خط رسم شده از هر دو نقطه مورد اشاره عبور کرده است.
معادله خط با استفاده از شیب و عرض از مبدا خط
یک مورد بسیار مهم از یافتن معادله خط وقتی رخ می دهد که شیب $m$ و عرض از مبدا $b$ در اختیار ماست. این مورد البته یک حالت خاص از مورد بخش قبل است. در این حالت داریم:
$ m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}~~~~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~~y-b=m\left( x-0 \right)$
معادله خط با شیب $m $ و عرض از مبدا $ b $ به صورت زیر است:
$ y =m x +b $
مثال 1: معادله خطی با شیب 3 و عرض از مبدا $-2$ به صورت زیر است:
$ y=3x-2$
مثال 2: معادله خطی به صورت $3y-2x=1$ می باشد. شیب این خط و عرض از مبدا آن را بیابید.
پاسخ: برای اینکه شیب و عرض از مبدا این خط را بیابیم باید آن را به شکل $ y =m x +b$ تبدیل کنیم.
$3y-2x=1~~~~~ \Rightarrow~~~~~3y=2x+1~~~~~ \Rightarrow~~~~~y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$
پس شیب این خط برابر $\frac{2}{3}$ و عرض از مبدا آن برابر $\frac{1}{3}$ می باشد.
نکات مهم این درس
انتظار این است که در انتهای این درس شما بتوانید ویژگی های اصلی شیب خط و معادله آن را به درستی توضیح داده و برخی کاربردهای آنها را بیان کنید. به ویژه انتظار می رود که بتوانید پرسش های زیر را پاسخ گویید:
- چند شکل شبیه به خط در زندگی روزمره را نام ببرید.
- شیب خط چه کمیتی را نشان می دهد؟ تعریف هندسی آن را بنویسید.
- قضیه تالس را بیان کنید.
- توضیح دهید که چطور می توان با استفاده از قضیه تالس ارتفاع یک ساختمان بلند را اندازه گرفت.
- توضیح دهید که چرا شیب یک خط مستقل از نقاط انتخاب شده برای محاسبه آن است.
- تعریف شیب یک خط با دو نقطه مشخص در دستگاه مختصات را بنویسید.
- خطوطی با شیب مثبت، شیب منفی، شیب صفر و شیب بینهایت در دستگاه مختصات رسم کنید.
- اگر شیب و نقطه ای بر روی یک خط را داشته باشیم، معادله آن خط چگونه بدست خواهد آمد؟
- اگر دو نقطه بر روی یک خط را داشته باشیم، معادله آن خط چگونه بدست خواهد آمد؟
- اگر شیب و عرض از مبدا یک خط را داشته باشیم، معادله آن خط چگونه بدست خواهد آمد؟
اگر درباره هرکدام از مفاهیم یاد شده بالا مشکلی احساس می کنید، لطفا درس را یک بار دیگر مرور کنید.
فراموش نکنیم که بهترین راه برای درک و ” درونی سازی” مفاهیم ریاضی حل مساله است. به همین دلیل سعی کنید دانسته های خود را با حل سوالات زیر محک زده و تقویت کنید.
تمرین
- در هر کدام از تمرینات زیر، خطی از نقاط $P$ و $Q$ می گذرد. شیب این خط را بیابید. معادله خط را نیز بنویسید.
- شیب چهار خط رسم شده، $l_{1}$ تا $l_{4}$، را بیابید.
- یک دستگاه مختصات رسم کنید. خطی از نقطه $(0,~0)$ عبور می کند. اگر شیب آن برابر هر کدام از مقادیر زیر باشد، معادله خط را نوشته و خط را رسم کنید.
الف) 1 ،
ب) 0 ،
پ) 0.5،
ت) 2 ،
ث) $-1$
- برای هر کدام از قسمت های زیر یک دستگاه مختصات رسم کنید. آنگاه خط داده شده با شیب و عرض از مبدا معلوم را رسم کنید. معادله خط را بنویسید.
الف) شیب $3$ و عرض از مبدا $-2$،
ب) شیب $0.4$ و عرض از مبدا $4$،
پ) شیب $-1$ و عرض از مبدا $-3$
- برای هر کدام از قسمت های زیر یک دستگاه مختصات رسم کنید. آنگاه خط داده شده با شیب و یک نقطه معلوم را رسم کنید. معادله خط را بنویسید.
الف) شیب $-1.5$ و نقطه $(1,~-1)$
ب) شیب $2$ و نقطه $(-1,~2)$
پ) شیب $-0.3$ و نقطه $(1,~5)$
درس بعدی: ویژگی های خط
در جلسه بعد با معادله عمومی خط در صفحه آشنا خواهیم شد. همچنین ویژگی های خطوط موازی و عمود بر هم را بررسی خواهیم کرد.
ا
ا
منابع درس
Algebra and Trigonometry, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 4th edition (January 13, 2015)
Precalculus: Mathematics for Calculus, by James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson, Cengage Learning; 7th edition (January 1, 2015)
—–
امیدوارم این درس برای شما مفید بوده باشد. لطفا اگر سوال یا نظری در مورد این درس دارید، با ما درمیان بگذارید.
درس ها و دوره های دیگری در زمینه ریاضیات، فیزیک و نجوم هم در سایت ما (علمستان) قرار داده شده اند که میتوانید نگاهی به آنها بیندازید.